証明の「宝石」が80年前の記録を破り、素数に関する新たな知見をもたらす

この物語 のオリジナル版はQuanta Magazineに掲載されました。

数学者は問題に正面から取り組もうとする時もあれば、横道に逸れる時もあります。特にリーマン予想のように、数学的な利害関係が大きい場合にはそれが顕著です。リーマン予想の解決にはクレイ数学研究所から100万ドルの賞金がかけられています。リーマン予想の証明は、素数の分布について数学者にさらなる確信を与えると同時に、他の多くの帰結も示唆するため、数学における最も重要な未解決問題と言えるでしょう。

数学者たちはリーマン予想をどのように証明すればいいのか全く分かっていません。しかし、リーマン予想の例外となる可能性の数が限られていることを示すだけで、有用な結果を得ることができます。「多くの場合、これはリーマン予想そのものと同じくらい有効です」とオックスフォード大学のジェームズ・メイナード氏は述べています。「このことから、素数についても同様の結果が得られます。」

5月にオンラインに投稿された画期的な研究結果において、マサチューセッツ工科大学のメイナード氏とラリー・ガス氏は、特定の種類の例外の数に新たな上限を設定し、80年以上前に樹立された記録をついに破りました。「これはセンセーショナルな結果です」とラトガース大学のヘンリック・イワニエツ氏は述べました。「非常に、非常に、非常に困難な作業です。しかし、これはまさに宝石のような成果です。」

この新たな証明は、数直線上の短い間隔に素数がいくつ存在するかについてのより良い近似値を自動的に導き出し、素数の振る舞いに関する他の多くの洞察を提供することになる。

慎重な回避

リーマン予想は、リーマンゼータ関数と呼ばれる数論における中心的な公式に関する主張である。ゼータ（ζ）関数は、単純な和の一般化である。

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ⋯。

この級数は、項がどんどん増えていくにつれて、任意の大きさになります。数学者はこれを発散させると言います。しかし、もし次のようにまとめると、

1 + 1/2 ² + 1/3 ² + 1/4 ² + 1/5 ² + ⋯ = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 +⋯

^{π 2} /6、つまり約1.64になります。リーマンの驚くほど強力なアイデアは、このような級数を関数に変換することでした。

ζ( s ) = 1 + 1/2 ^s + 1/3 ^s + 1/4 ^s + 1/5 ^s + ⋯。

したがって、ξ(1) は無限大ですが、ξ(2) = π ² /6 となります。

s を複素数とすると、非常に興味深いことが起こります。複素数は2つの部分から成ります。「実数部」は日常的に使われる数で、「虚数部」は日常的に使われる数に -1 （数学ではiと書きます）の平方根を掛けたものです。複素数は平面上にプロットすることができ、実数部はx軸、虚数部はy軸に取ります。例えば、ここでは 3 + 4 iです。

ゼータ関数は複素平面上の点を入力として受け取り、他の複素数を出力します。複素数によっては、ゼータ関数がゼロになることがあります。これらのゼロが複素平面上のどこに位置しているかを解明することは、数学における最も興味深い問題の一つです。

1859年、ベルンハルト・リーマンは、すべての零点が2本の直線上に集中していると予想しました。ゼータ関数を拡張して負の入力に対して計算できるようにすると、すべての負の偶数、すなわち−2、−4、−6などに対して零点となることがわかります。これは比較的簡単に証明できるため、これらは自明な零点と呼ばれます。リーマンは、関数の他のすべての零点（非自明な零点）の実部は1/2であり、したがってこの垂直線上に位置すると予想しました。

これはリーマン予想であり、その証明は非常に困難でした。数学者は、すべての非自明な零点は必ず零点から1点の間の実部を持つことを知っていますが、零点の中には例えば0.499のような実部を持つものがある可能性を排除できません。

彼らができることは、そのようなゼロが極めて稀であることを示すことです。1940年、アルバート・インガムというイギリスの数学者は、実部が1/2に等しくないゼロの数の上限を確立しました。これは今日でも数学者が基準として用いています。

数十年後の1960年代から70年代にかけて、他の数学者たちはインガムの結果を、数直線上を進むにつれて素数がどのように密集または分散するか、そして素数が他のパターンを形成する可能性があるかについての記述に変換する方法を発見しました。ほぼ同時期に、数学者たちは実部が3/4より大きい零点に対するインガムの境界を改善する新しい手法も導入しました。

しかし、最終的に、制限すべき最も重要なゼロは、実部がちょうど3/4であるゼロであることが判明しました。「素数に関する多くの注目を集めた研究結果は、実部が3/4であるゼロに対する私たちの理解によって制限されていました」とメイナード氏は言います。

約10年前、メイナードはインガムの推定値を特定の零点についてどのように改善するか考え始めた。「これは解析数論の中でも私のお気に入りの問題の一つでした」と彼は言う。「もう少し頑張れば改善できる、といつも思っていました」。しかし、何年経っても、何度戻っても行き詰まってしまっていた。「まるで吸い込まれるように、そして私が思っているよりもずっと無害に見えたのです」

そして2020年初頭、コロラド州での会議に向かう飛行機の中で、メイナードは一つのアイデアを思いつきました。もしかしたら、調和解析と呼ばれる数学の別の分野のツールが役に立つかもしれない、と。

同じ会議に出席していた調和解析の専門家、ラリー・ガスも、たまたま既に同じような考えを持っていました。「でも、解析的整数論については全くよく知りませんでした」と彼は言います。メイナードは昼食をとりながら、整数論の側面からガスに説明し、テストケースを与えました。ガスは数年間断続的に研究を重ねましたが、調和解析で学んだ手法が通用しないことに気付きました。

しかし彼は問題について考えるのをやめず、新たなアプローチを試し続けました。2月にメイナードと再び連絡を取り、二人はそれぞれの視点を融合させながら、本格的に協力し始めました。そして数ヶ月後、ついに成果が生まれました。

数学的な賭け

ガスとメイナードは、解決したい問題を別の問題に変換することから始めました。実部が1/2ではない零点がある場合、ディリクレ多項式と呼ばれる関連関数は非常に大きな出力を生成する必要があります。結果として、リーマン予想に例外がほとんど存在しないことを証明することは、ディリクレ多項式があまりに大きくなることはあり得ないことを示すことと同義です。

数学者たちはその後、もう一つの翻訳作業を行いました。まず、ディリクレ多項式を用いて行列、つまり数値表を作成しました。「数学者は行列を見るのが大好きです。行列は私たちが本当によく理解しているものの一つだからです」とガス氏は言います。「耳を澄ませて、あらゆるところに行列があることに気づく準備をするのです。」

行列は、長さと方向で定義されるベクトルと呼ばれる数学的な矢印に「作用」して、別のベクトルを生成することができます。通常、行列はベクトルの長さと方向の両方を変化させます。しかし、行列に作用させたときに長さのみが変化し、方向は変化しない特殊なベクトルも存在します。これらは固有ベクトルと呼ばれます。数学者は、これらの変化の大きさを固有値と呼ばれる数値を用いて測定します。

ガス氏とメイナード氏は、問題を行列の最大固有値に関する問題に書き換えました。最大固有値が大きくなりすぎないことを証明できれば、問題は解決します。そのために、彼らは複雑な和を与える公式を用い、その和における正と負の値が可能な限り互いに打ち消し合うような方法を探しました。「相殺効果をもたらす対称性を見つけるには、順序を並べ替えるか、正しい角度から見なければなりません」とガス氏は言います。

そのプロセスには、いくつか驚くべきステップが含まれていました。その中には、「私にとって最も重要なアイデアは、今でも少し魔法のように思えます」とメイナード氏は言います。ある時点で、彼らは和を単純化するために、一見明白なステップを踏むべきでした。しかし、彼らはそれをより長く複雑な形のままにしました。「一見すると全く馬鹿げたことをしているように見えることをしているのです。標準的な単純化を拒否しているのです」とメイナード氏は言います。「そして、これによって多くのことが失われます。つまり、今ではこの和の簡単な上限値を得ることができなくなっているのです。」

しかし、長い目で見れば、これは有利な動きだった。「チェスではこれをギャンビットと呼びます。盤上でより良い位置を得るために駒を犠牲にするのです」とメイナードは言った。ガスはこれをルービックキューブに例えた。時には、前の動きを取り消してすべてを悪化させ、ようやく正しい場所にもっと多くの色を配置する方法を見つけなければならないこともあるのだ。

「明らかな改善を放棄して、後で取り戻せると期待するのは、本当に勇気がいることです」と、オックスフォード大学の数学者でメイナード氏の元指導教官であるロジャー・ヒース＝ブラウン氏は述べた。「それは、私が考えていた全てのことと矛盾しています。」

実際、彼はこの問題に取り組んだ自身の経験について、「今考えてみると、そこで行き詰まってしまったのです」と付け加えました。

メイナード氏は、ガス氏が数論学者ではなく調和解析学者としての専門知識を持っていたからこそ、この戦略が可能になったと述べた。「彼は生まれつきこうしたルールを叩き込まれているわけではないので、型にはまらない物事を考える方が楽だったのです。」

最終的に、彼らは最大固有値の十分な上限を得ることができ、それはひいてはリーマン予想に対する潜在的な反例の数のより良い上限につながりました。彼らの研究はグースにインスピレーションを与えた調和解析のアイデアから始まりましたが、最終的にはそれらのより複雑な手法を除外することができました。「今や、これはまさに私が40年前に試みていたようなことのように見えます」とヒース＝ブラウンは言いました。

実部が3/4である零点の数についてより適切な上限を与えることで、ガスとメイナードは素数の分布に関する結果を自動的に証明しました。例えば、ある区間内に素数がいくつ存在するかという推定値は、区間が短くなるほど精度が低下します。この新たな研究により、数学者は良好な推定値を得られる区間をより短くすることが可能になりました。

数学者たちは、この証明によって素数に関する他の命題も改善されるだろうと考えている。ガス氏とメイナード氏の手法をさらに推し進める余地がありそうだ。しかし、「リーマン予想そのものを解くには、これらの手法は適切ではないと感じています」とメイナード氏は述べた。「どこか別のところから、何か大きなアイデアが必要になるでしょう。」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得 て転載されました。