微積分を破った鋸歯状関数

この物語 のオリジナル版はQuanta Magazineに掲載されました。

微積分は強力な数学ツールです。しかし、17世紀に発明されてから数百年の間、その基盤は不安定でした。その中核となる概念は、正確で正式な定義ではなく、直感と非公式な議論に根ざしていました。

エディンバラ大学の数学・科学史家マイケル・バラニー氏によると、これを受けて二つの学派が生まれた。フランスの数学者たちは概して、現状維持に満足していた。彼らはむしろ、微積分を物理学の問題に応用することに関心を寄せていた。例えば、惑星の軌道を計算したり、電流の挙動を研究したりすることだ。しかし19世紀になると、ドイツの数学者たちが従来の考え方を覆し始めた。彼らは長年信じられてきた仮定を覆す反例を探し始め、最終的にそれらの反例を用いて微積分をより安定した、より永続的な基盤の上に置いた。

こうした数学者の一人にカール・ヴァイエルシュトラスがいます。ヴァイエルシュトラスは幼い頃から数学の才能を示していましたが、父親から財政と行政を学ぶよう圧力をかけられ、プロイセンの官僚になることを視野に入れました。大学の授業に飽きたヴァイエルシュトラスは、ほとんどの時間を酒とフェンシングに費やしていたと言われています。1830年代後半、学位を取得できなかった後、彼は中学校の教師となり、数学や物理学から習字や体操まで、あらゆる科目を教えました。

ワイエルシュトラスは40歳近くになるまでプロの数学者としてのキャリアをスタートさせませんでした。しかし、彼は数学界に画期的な発明をもたらし、数学の分野に革命を起こすことになります。

微積分の柱

1872年、ワイエルシュトラスは、数学者たちが微積分について理解していると思っていたすべてを脅かす関数を発表しました。彼は、特にフランス学派の数学界の巨匠たちから、無関心、怒り、そして恐怖に直面しました。アンリ・ポアンカレはワイエルシュトラスの関数を「常識に対する暴挙」と非難し、シャルル・エルミートはそれを「嘆かわしい悪」と呼びました。

ワイエルシュトラスの結果がなぜそれほど不安を抱かせるものだったのかを理解するには、まず微積分学における最も基本的な 2 つの概念、連続性と微分可能性を理解することが役立ちます。

連続関数とは、その名の通り、途切れや飛躍のない関数です。このような関数では、鉛筆を離すことなく、任意の点から他の任意の点への軌跡を描くことができます。

微積分学は、主に連続関数がどれだけ速く変化するかを求める学問です。大まかに言えば、与えられた関数を垂直ではない直線で近似することで機能します。

この曲線上の任意の点において、「接線」、つまりその点付近の曲線を最もよく近似する線を引くことができます。接線の傾き、つまり勾配は、その点における関数の変化の速さを表します。導関数と呼ばれる別の関数を定義することで、元の関数の各点における接線の傾きを求めることができます。導関数がすべての点で存在する場合、元の関数は微分可能であると言えます。

不連続点を含む関数は微分可能ではありません。つまり、不連続点を近似する接線を引くことができないため、導関数はそこに存在しません。しかし、連続関数であっても、すべての点で微分可能であるとは限りません。次のような「絶対値」関数を考えてみましょう。

このV字曲線の左側では、接線は下向きに傾いています。右側では、接線は上向きに傾いています。一番下の頂点では、傾きが急激に方向を変えます。関数の微分は、他のすべての点で明確に定義されているにもかかわらず、その点では存在しません。

19世紀の数学者のほとんどは、このことに動揺しませんでした。彼らはこれを孤立した現象と捉えていました。関数が連続である限り、導関数が定義されない点は有限個しか存在し得ないと彼らは主張しました。それ以外の点では、関数は滑らかで美しい曲線を描くはずです。言い換えれば、関数がジグザグに動ける範囲には限りがあるということです。

実際、1806年、アンドレ＝マリー・アンペールという著名なフランスの数学者・物理学者が、これを証明したと主張しました。何十年もの間、彼の推論は異論なく受け入れられていました。そして、ワイエルシュトラスが登場したのです。

ヴァイエルシュトラスの怪物

ワイエルシュトラスは、アンペールの証明によれば不可能であるはずの関数を発見しました。それは、どこでも連続でありながら、どこでも微分不可能な関数でした。

彼はそれを、波のような「コサイン」関数を無限に足し合わせることで構築した。項を増やせば増やすほど、関数はジグザグに曲がり、最終的にはあらゆる点で方向が急激に変わり、無限にギザギザした鋸歯状の櫛歯のような形になった。

多くの数学者はこの関数を軽視した。彼らはそれを異常だと言い放った。数学的に役に立たない、衒学者の作品だと。彼らはそれを視覚化することさえできなかった。ワイエルシュトラス関数のグラフを描いてみると、最初は特定の領域が滑らかに見えた。しかし、拡大してみると、それらの領域もギザギザになっていることが分かる。そして、拡大するごとに、ギザギザがさらに大きくなり、挙動がおかしくなる（数学者が「病的」と呼ぶ）のが分かる。

しかしワイエルシュトラスは、彼の関数には不連続性はないものの、微分可能ではないことを疑いの余地なく証明した。これを証明するため、彼はまず、数十年前に数学者オーギュスタン＝ルイ・コーシーとベルナール・ボルツァーノによって定式化された「連続性」と「微分可能性」の定義を再検討した。これらの定義は、曖昧で平易な言葉による説明と一貫性のない表記法に依存しており、誤解を招きやすいものであった。

そこでワイエルシュトラスは、正確な言葉と具体的な数式を用いて、それらを書き直した。（微積分を学ぶ学生は皆、イプシロン・デルタ極限の定義を学ぶ。ワイエルシュトラスは、この定義の現代版を導入し、連続性と微分可能性の定義の基礎として用いた。）

その後、彼は自身の関数がより厳密な連続性の定義を満たすことを示すことができた。同時に、関数の導関数の新しい形式的定義は、どの点においても有限の値を持つことはなく、常に無限大へと「爆発」することを証明できた。言い換えれば、連続性は微分可能性を意味しない。彼の関数は、数学者たちが恐れていた通り、まさに恐るべきものだった。

この証明は、微積分学がもはやその発明者たちのように幾何学的な直観に頼ることはできないことを証明した。それは、方程式の綿密な解析に根ざした、この学問の新たな基準をもたらした。数学者たちはワイエルシュトラスの足跡を辿らざるを得なくなり、関数の定義、連続性と微分可能性の関係の理解、そして微分と積分の計算方法をさらに洗練させていくことになった。微積分学を標準化するためのこの取り組みは、後に解析学として知られる分野へと発展し、ワイエルシュトラスはその創始者の一人とみなされている。

しかし、ワイエルシュトラス関数の遺産は微積分学や解析学の基礎をはるかに超えています。数学にはモンスターが満ち溢れていることを明らかにしたのです。不可能に思える関数、奇妙な物体（フラクタルの最古の例の一つです）、そして荒々しい振る舞い。「可能性の宇宙が広がっています。ワイエルシュトラス関数は、その可能性に目を開かせてくれるはずです」と、ペンシルベニア大学のフィリップ・グレスマンは述べています。

また、この関数は多くの実用的応用があることも判明しました。20世紀初頭、物理学者たちはブラウン運動、つまり液体や気体中の粒子のランダムな運動を研究しようとしていました。この運動は連続的でありながら滑らかではなく、急速かつ極めて微小な変動を特徴とするため、ワイエルシュトラスのような関数はブラウン運動をモデル化するのに理想的でした。同様に、このような関数は、人々の意思決定やリスクテイクにおける不確実性や、金融市場の複雑な動きをモデル化するためにも利用されてきました。

ワイエルシュトラス自身と同様、彼の関数の帰結は時として開花が遅れた。しかし、それらは今日でも数学とその応用に影響を与え続けている。

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。