この新しいピラミッドのような形状は常に同じ面を上にして着地する

この物語 のオリジナル版はQuanta Magazineに掲載されました。

紀元前360年、プラトンは宇宙を5つの幾何学的形状、すなわち多面体と呼ばれる平面を持つ立体の集合体として構想しました。これらはすぐに数学研究の重要な対象となりました。ですから、数千年経った今でも、プラトンの多面体宇宙の中で最も単純な形状、つまりたった4つの三角形の面を持つ四面体でさえ、いまだに謎に包まれているというのは驚くべきことかもしれません。

例えば、一つの大きな未解決問題は、同一の面を持つ「正四面体」をどれだけの密度で詰め込めるかというものです。また、どのような種類の四面体を断片に切り分け、それを再び組み立てて立方体を形成できるかという問題もあります。

偉大な数学者ジョン・コンウェイは、四面体がどのように配置・再配置できるかだけでなく、どのようにバランスをとるかにも興味を持っていました。1966年、彼と数学者リチャード・ガイは、均一な材料で作られ、重量が均等に分散された四面体で、片面にしか置けない構造が可能かどうか疑問に思いました。このような「単安定」な形状を、他の面に置いた場合、必ず安定面に反転します。

数年後、二人は自らの疑問に答え、この均一な単安定四面体は不可能であることを証明しました。しかし、もしその重量を不均一に分散させたらどうなるでしょうか？

一見、これがうまくいくのは当然のように思えるかもしれない。「結局のところ、転がりこぼしのおもちゃはこうやって動くんです。底に重い重りを入れるだけなんです」とノースカロライナ州立大学のデイビッド・パップ氏は言う。しかし、「これは滑らかな形、丸い形、あるいはその両方でしか機能しません」。鋭い角と平らな面を持つ多面体の場合、常に同じ側にひっくり返る物体をどのように設計すればよいのかは明確ではない。

コンウェイ自身も、一部の数学者が彼の発言を記憶しているように、そのような四面体が存在するはずだと考えていた。しかし、最終的には高次元で均一な重みを持つ四面体のバランスをとることに焦点を当てるようになった。彼が即興で立てた3次元予想の証明を書いたとしても、それを公表することはなかった。

そのため、数学者たちは何十年もの間、この問題について真剣に考えることはありませんでした。そんな時、ブダペスト工科経済大学の数学者、ガボール・ドモコスが登場しました。彼は長年、バランス問題に没頭していました。2006年、ドモコスと同僚の一人は、「ゴンボック」と呼ばれる図形を発見しました。この図形は「モノモノスタティック」という珍しい性質を持ちます。つまり、たった2つの点（片方は安定点、もう片方はコインの面のように不安定な点）でバランスを取り、他の点ではバランスをとらないのです。他の場所でバランスを取ろうとすると、転がって安定点に止まってしまいます。

しかし、ゴムボックは起き上がりこぼしのように、ところどころ丸みを帯びています。ドモコスは、尖った多面体にも同様の特質があるのではないかと考えました。そこでコンウェイの予想に彼は興味をそそられました。「極めて単純な物体について、極めて単純な命題があるのに、その答えがすぐには見つからないなんて、一体どういうことでしょうか？」と彼は言いました。「これはきっと宝物だろうと確信しました。」

2023年、ドモコスは、大学院生のゲルゴ・アルマディとクリスティーナ・レゴス、そしてカナダのセントメアリーズ大学のロバート・ドーソンとともに、四面体の重量を1つの面だけに分散させることが実際に可能であることを証明しました。少なくとも理論上は。

しかし、アルマディ、ドーソン、ドモコスの3人は、この物体をどうしても作りたかった。しかし、その作業は予想をはるかに上回る困難を極めた。そしてついに、昨日オンラインに投稿されたプレプリント論文で、彼らはこの物体の初めての実用的な物理モデルを発表した。重さ120グラム、最長辺50センチのこの四面体は、軽量のカーボンファイバーと高密度の炭化タングステンで作られている。これを機能させるには、1グラムの10分の1、1ミリメートルの10分の1という精度で設計する必要があった。しかし、最終的な構造は、常に1つの面にひっくり返るように、まさに予想通りの形で収まる。

この研究は、数学研究における実験と遊びの重要な役割を実証しています。また、自律復原宇宙船の設計など、実用化の可能性も秘めています。

「四面体に関する研究がこれほど出てくるとは思っていませんでした」とパップ氏は述べた。しかし、チームの研究によって数学者たちは「これまでどれだけ多くのことが分かっていなかったのか、そして今どれだけ理解が深まっているのかを真に理解できる」と付け加えた。

転換点

2022年、当時建築家を目指していた学部生のアルマディは、ドモコスの力学講座に入学した。彼は口数は少なかったが、ドモコスは彼の中に常に深く考え続ける勤勉な人物を見出した。学期末、ドモコスは彼に、四面体のバランスの取り方を探るための簡単なアルゴリズムを考案するよう依頼した。

コンウェイが最初にこの問題を提示した時、彼に残された唯一の選択肢は、抽象的な数学的推論によって単安定四面体が存在することを証明するために、鉛筆と紙を使うことだったでしょう。具体的な例を突き止めるのは、ほとんど不可能なほど困難だったでしょう。しかし、数十年後に研究を始めたアルマディはコンピュータを持っていました。彼は膨大な数の可能性のある形状を総当たり方式で探索することができました。最終的に、アルマディのプログラムは、特定の重量分布を与えることで単安定にできる四面体の4つの頂点の座標を見つけました。コンウェイの考えは正しかったのです。

アルマディは単安定四面体を1つ発見しましたが、おそらく他にも存在したでしょう。それらはどのような性質を共有していたのでしょうか？

これは単純な質問のように思えるかもしれないが、「『四面体は単安定である』のような記述は、単純な式や少数の方程式で簡単に説明できるものではありません」とパップ氏は述べた。

研究チームは、単安定四面体においては、連続する3辺（面のペアが接する部分）が鈍角、つまり90度を超える角度を形成する必要があることに気づいた。そうすることで、1つの面が別の面の上にかぶさり、転倒することが可能になる。

数学者たちは、この特徴を持つあらゆる四面体は、その重心が4つの「荷重ゾーン」（元の形状内のはるかに小さな四面体領域）のいずれかに位置することで単安定状態になることを示しました。重心が荷重ゾーン内にある限り、四面体は1つの面でのみバランスを保ちます。

数学という抽象的な領域では、荷重ゾーンの重量と四面体の残りの部分の重量の適切なバランスを実現するのは簡単です。物理的に可能かどうかを気にすることなく、重量配分を定義できるからです。例えば、形状の一部には全く重量を与えず、他の部分に大量の質量を集中させるといったことも可能です。

しかし、数学者たちはそれでは満足できなかった。アルマディ、ドーソン、ドモコスは、その形を実際に手に取ってみたいと考えていた。現実世界で、現実の材料を使って単安定四面体を作ることは可能なのだろうか？

現実に直面する

研究チームはコンピューターによる探索に戻り、単安定四面体が安定面へと傾く様々な経路を検討した。例えば、ある種類の四面体は非常に単純な経路を辿る。面Aが面Bに傾き、面Bが面Cに傾き、面Cが面Dに傾く。しかし、別の四面体では、面Aが面Bに傾き、面Bと面Dの両方が面Cに傾く可能性がある。

これらの異なる四面体の荷重領域は、それぞれ大きく異なっています。研究チームは、これらの「落下パターン」の一つを機能させるには、太陽の核の約1.5倍の密度を持つ材料で形状の一部を構築する必要があると計算しました。

彼らはより実現可能な落下パターンに焦点を当てました。それでも、四面体の一部は他の部分の約5000倍の密度を持つ必要がありました。また、材料は硬くなければなりませんでした。軽くて脆く、曲がってしまうような材料では、丸い形や滑らかな形（ローリーポリのような）を単安定にするのは簡単であるため、プロジェクトは台無しになってしまいます。

最終的に、彼らはほぼ中空の四面体を設計しました。これは軽量のカーボンファイバー製フレームと、鉛よりも密度の高いタングステンカーバイドで作られた小さな部分で構成されていました。軽量部分の重量を可能な限り軽減するため、カーボンファイバー製フレームも中空にする必要がありました。

この設計図を手に、ドモコスはハンガリーの精密工学会社に連絡を取り、正四面体の製作を手伝ってもらった。彼らは、各面を接合するために使用する微量の接着剤の重量に至るまで、測定において極めて正確な精度を要求された。苛立ちの月日が流れ、数千ユーロを費やした後、チームは美しい模型を完成させたが、全く機能しなかった。その時、ドモコスと模型の主任エンジニアは、頂点の一つに接着剤がこびりついているのに気づいた。彼らは技術者にそれを取り除くよう依頼した。約20分後、接着剤はなくなり、アルマディはドモコスからテキストメッセージを受け取った。

「ちゃんと動くよ」とメッセージには書かれていた。散歩中だったアルマディは、路上で飛び跳ね始めた。「コンピューター上の線を見るのは、現実とはかけ離れている」と彼は言った。「自分たちが設計したものが、ちゃんと動くなんて、本当に素晴らしい」

「建築家になりたかったんです」と彼は付け加えた。「だから、今でもすごく不思議なんです。どうしてここに来たんだろう？」

ブラウン大学のリチャード・シュワルツ氏によると、単安定四面体に関する研究は、結局のところ、特に高度な数学を必要としなかったという。しかし、そもそもこの種の疑問を問うことが重要であると彼は述べた。これは往々にして見過ごされやすい種類の問題なのだ。「このようなものが存在すると推測するのは驚くべきことであり、飛躍的なことです」とシュワルツ氏は述べた。

現時点では、単安定四面体のモデルがどのような新たな理論的知見をもたらすかは明らかではないが、このモデルを用いた実験は、数学者が多面体に関する新たな興味深い問いを発見する助けとなるかもしれない。一方、ドモコス氏とアルマディ氏は、このモデルの構築から得た知見を応用し、転倒後に自力で正立する月面着陸船の設計を支援することに取り組んでいる。

いずれにせよ、何かを実際に見てみなければ信じられないこともある、とシュワルツ氏は言う。「理論数学、特に幾何学においてさえ、空間的な推論は非常に難しいため、人々が懐疑的になるのは当然です。そして、人は間違いを犯すものです。実際に間違いを犯しますから。」

「コンウェイは何も言わず、ただ示唆しただけで、証明もせず、間違いだとも証明しませんでした。何も。そして今、60年経ったでしょうか、分かりませんが」とアルマディ氏は言った。「もし彼がまだ生きていたら、これを彼の机の上に置いて、『あなたは正しかった』と示せたでしょうに。」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得 て転載されました。