数学者による高次元へのガイドツアー

2021年9月19日午前8時

次元の概念は単純に思えますが、数学者はそれを正確に定義し理解するために何世紀にもわたって苦労してきました。

次元という概念は、一見すると直感的に理解できるように思えます。窓の外を眺めると、窮屈な旗竿の上に止まりゼロ次元を体験しているカラス、電話線にとどまり1次元に束縛されているコマドリ、地上で自由に2次元を移動できるハト、そして空を飛ぶワシが3次元を享受しているのが見えるかもしれません。

しかし、これから見ていくように、次元という概念の明確な定義を見つけ、その限界を押し広げることは、数学者にとって非常に困難であることが証明されています。この概念に対する現在の厳密な理解に到達するまでには、何百年にも及ぶ思考実験と想像力豊かな比較が必要でした。

古代の人々は、私たちが三次元に生きていることを知っていました。アリストテレスはこう記しています。「大きさについて言えば、一方向に伸びるものは直線、二方向に伸びるものは平面、三方向に伸びるものは物体である。そして、これら以外に大きさは存在しない。なぜなら、次元こそが存在のすべてだからである。」

しかし、数学者をはじめとする人々は、より多くの次元を想像するという精神的な訓練を楽しんできました。私たちの3次元に垂直な4次元は、どのようなものになるのでしょうか？

よくある考え方の一つは、私たちが認識できる宇宙が三次元空間における二次元平面であると仮定するものです。平面上に浮かぶ固体の球体は私たちには見えません。しかし、それが落下して平面に接触すると、点が現れます。点が平面を進んでいくと、円盤は最大の大きさに達するまで大きくなり、その後縮小して消えていきます。私たちはこれらの断面を通して三次元の形状を捉えているのです。

同様に、私たちがよく知っている三次元宇宙において、四次元の球体が通過すると、それは点として現れ、固体の球体へと成長し、最終的に半径いっぱいまで達し、その後縮んで消えていきます。これは私たちに四次元の形状の感覚を与えますが、このような図形については他の考え方もあります。

例えば、立方体の4次元相当であるテッセラクト（四次元方位図）を、積み上げて視覚化してみましょう。点から始めて、それを一方向にスイープすると線分が得られます。線分を垂直方向にスイープすると正方形が得られます。この正方形を3番目の垂直方向にドラッグすると立方体になります。同様に、立方体を4番目の方向にスイープするとテッセラクトが得られます。

青い図形を紫の図形までスイープすると、四次元立方体を含むさまざまな次元の立方体を視覚化できます。

あるいは、立方体の面を 6 つの正方形に展開できるのと同じように、四次元立方体の 3 次元境界を展開して 8 つの立方体を得ることもできます。これはサルバドール・ダリが 1954 年の絵画「磔刑( Corpus Hypercubus )」で示したものです。

立方体は面を展開することで想像できます。同様に、四次元立方体は境界を展開することで想像できます…

これらすべてを総合すると、抽象空間がn次元であるとは、その空間内にn個の自由度（あの鳥のように）がある場合、あるいは点の位置を記述するためにn個の座標が必要な場合、という直感的な理解につながります。しかし、後述するように、数学者たちは次元というものが、こうした単純な記述が示唆するよりも複雑であることを発見しました。

高次元の正式な研究は 19 世紀に登場し、数十年以内にかなり洗練されました。1911 年の参考文献には、n次元の幾何学に関する言及が 1,832 件ありました。その結果として、19 世紀後半から 20 世紀初頭にかけて、大衆は 4 次元に夢中になりました。1884 年、エドウィンアボットは人気の風刺小説『フラットランド』を執筆しました。この小説では、2 次元の存在が 3 次元の人物と遭遇するというアナロジーを使用して、読者が 4 次元を理解しやすくしています。1909 年のScientific American誌の「4 次元とは何か?」と題されたエッセイコンテストには、500 ドルの賞金を競い合う 245 件の応募がありました。また、パブロピカソやマルセルデュシャンなど多くの芸術家が、4 次元のアイデアを作品に取り入れました。

しかしこの時期に、数学者たちは次元の正式な定義がないことが実は問題であることに気づきました。

ゲオルク・カントールは、無限には異なるサイズ、つまり濃度があることを発見したことで最もよく知られています。カントールは当初、線分、正方形、立方体内の点の集合は、10 個の点の直線、10 × 10 の格子状の点、10 × 10 × 10 の立方体の点の数がそれぞれ異なるのと同じように、濃度がそれぞれ異なると考えていました。しかし、1877 年に彼は、線分の点と正方形 (およびあらゆる次元の立方体) の点が 1 対 1 で対応していることを発見し、これらの点の濃度が同じであることを示しました。彼は直感的に、直線、正方形、立方体はそれぞれ異なる次元であるにもかかわらず、無限小の点の数がそれぞれ同じであることを証明しました。カントールはリヒャルト・デデキントに宛てて、「私はそれを見ているが、信じていない」と書いています。

カントールは、この発見がn次元空間にはn個の座標が必要であるという直感的な考えを脅かすものであることを認識した。n次元立方体の各点は、ある区間の1つの数値によって一意に識別できるため、ある意味ではこれらの高次元立方体は1次元の線分と等価だからである。しかし、デデキントが指摘したように、カントール関数は非常に不連続であった。つまり、本質的には線分を無限に多くの部分に分解し、それらを再構成して立方体を形成するのである。これは座標系に望ましい挙動ではない。マンハッタンの建物に固有の住所を与えながら、それらをランダムに割り当てるのと同じように、あまりにも無秩序で役に立たないだろう。

そして1890年、ジュゼッペ・ペアノは、1次元曲線を非常に密に、そして連続的に巻き付けることで、2次元の正方形のすべての点を埋め尽くすことが可能であることを発見しました。これが最初の空間充填曲線でした。しかし、ペアノの例も座標系の基礎としては適切ではありませんでした。なぜなら、曲線は無限回交差していたからです。マンハッタンの例に戻ると、それはまるで複数の建物に複数の住所を与えるようなものでした。

これらは空間充填曲線を生成するプロセスの最初の5つのステップです。各ステップで曲線はゼロになります...

これらやその他の驚くべき例から、数学者は次元が実在の概念であること、そして例えばn次元とm次元のユークリッド空間がn ≠ mの場合には何らかの根本的な違いを持つことを証明する必要があることが明らかになりました。この目標は「次元不変性」問題として知られるようになりました。

カントールの発見から半世紀近くが経ち、次元不変性を証明しようと何度も試みて失敗した後、1912年に、ついに L.E.J. ブラウワーは独自に考案したいくつかの方法を用いて成功した。本質的には、カントールのように物体を多くの部分に分割したり、ペアノのように物体が交差したりすることなく、高次元の物体をより低次元の物体の中に入れること、あるいはより低次元の物体を高次元の物体の中に入れて空間全体を埋めることは不可能であることを証明した。さらに、この頃ブラウワーらはさまざまな厳密な定義を与え、たとえば、 n 次元空間における球体の境界が ( n − 1) 次元であるという事実に基づいて次元を帰納的に割り当てることができた。

ブラウワーの研究は次元の概念に確固たる数学的基盤を与えたものの、高次元空間に関する私たちの直感には役立たなかった。三次元空間への慣れは、私たちをあまりにも容易に迷わせてしまうのだ。トーマス・バンコフが書いたように、「私たちは皆、自分自身の次元に対する偏見の奴隷となっている」。

例えば、辺の長さが4のn次元立方体の中に、半径1の球を2 ^*n * 個置き、さらにそれらすべてに接する球を中心に置くとします。nが大きくなるにつれて、中心の球の大きさも大きくなり、その半径はn‾√ − 1になります。つまり、驚くべきことに、n ≥ 10のとき、この球は立方体の辺からはみ出てしまいます。

高次元空間の驚くべき現実は、統計やデータ分析において「次元の呪い」として知られる問題を引き起こします。多くの統計手法では、必要なサンプル点の数が次元の増加に伴って指数関数的に増加します。また、次元が増加すると、点が密集する頻度も低下します。そのため、高次元データの次元を削減する方法を見つけることがしばしば重要になります。

次元の物語はブラウワーで終わったわけではありません。そのわずか数年後、フェリックス・ハウスドルフが次元の定義を考案し、それは数世代後に現代数学にとって不可欠であることが証明されました。ハウスドルフ次元について直感的に考えると、d次元の物体をk倍に均一に拡大またはスケールすると、物体のサイズはk ^d倍に増加します。点、線分、正方形、立方体を 3 倍にスケールするとします。点のサイズは変化せず (3 ⁰ = 1)、線分は 3 倍の大きさ (3 ¹ = 3)、正方形は 9 倍の大きさ (3 ² = 9)、立方体は 27 倍の大きさ (3 ³ = 27) になります。

ハウスドルフの定義から得られる意外な帰結の一つは、物体が非整数次元を持つ可能性があることです。数十年後、これはまさにブノワ・B・マンデルブロが「イギリスの海岸線の長さは？」と問いかけた際に必要としていたものでした。海岸線は非常にギザギザしていて、どんな定規を使っても正確に測れない場合があります。定規が短いほど、測定値はより大きく、より正確になります。マンデルブロは、ハウスドルフ次元がこのギザギザを定量化する手段を提供すると主張し、1975年にこのような無限に複雑な形状を表すために「フラクタル」という用語を造り出しました。

非整数次元がどのようなものかを理解するために、反復的に生成されるコッホ曲線を考えてみましょう。まず、線分から始めます。各段階で、各線分の中央の 3 分の 1 を削除し、削除した線分と同じ長さの 2 つの線分で置き換えます。この手順を無限に繰り返すと、コッホ曲線が得られます。よく見ると、曲線全体と同一でサイズが 3 分の 1 の 4 つのセクションが含まれていることがわかります。したがって、この曲線を 3 倍に拡大すると、元の曲線の 4 つのコピーが得られます。つまり、ハウスドルフ次元dは、3 ^*d * = 4 を満たします。つまり、d = log ₃ (4) ≈ 1.26 です。この曲線は、ペアノの曲線のように完全に空間を充填するものではないため、完全に 2 次元ではありませんが、単一の 1 次元線以上のものです。

最後に、「時間は 4 次元ではないのか」と考える読者もいるかもしれません。確かに、HG ウェルズの 1895 年の小説「タイムマシン」で発明者が述べているように、「時間と 3 次元の空間のいずれにも違いはない。ただ、我々の意識がそれに沿って動いているというだけだ」のです。4 次元としての時間は、1919 年に日食によって科学者がアルベルトアインシュタインの一般相対性理論とヘルマンミンコフスキーの平坦な 4 次元時空の曲率を確認することができたときに、一般の想像力の中で爆発的に広まりました。ミンコフスキーが 1908 年の講演で予言したように、「今後は空間自体、時間自体が単なる影の中に消え去る運命にあり、2 つの一種の結合のみが独立した現実を保存するだろう」のです。

今日、数学者をはじめとする研究者たちは、私たちが慣れ親しんでいる三次元の外へと足を踏み入れることが日常的に行われています。弦理論で必要とされるような物理的な次元が加わることもありますが、多くの場合、抽象的な研究が行われ、実際の空間を想定しません。マリーナ・ヴィアゾフスカが2016年に発見した、8次元と24次元に球体を詰め込む最も効率的な方法のように、幾何学的な研究もあります。また、物理学、生物学、工学、金融、画像処理など、多様な分野でフラクタルを研究する際には、非整数次元が必要となることもあります。そして、この「ビッグデータ」の時代において、科学者、政府、企業は、人、場所、物事の高次元プロファイルを構築しています。

幸運なことに、鳥にとっても数学者にとっても、次元を楽しむためには完全に理解する必要はありません。

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。

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