自然の法則の根底にあるかもしれない奇妙な数学

2014年、カナダのウォータールー大学大学院生、コール・フューリーはレンタカーを借りて南へ6時間、ペンシルベニア州立大学へと向かった。物理学教授のムラト・ギュネイディンに話を聞きたくてたまらなかったのだ。フューリーは、ギュネイディンが40年前に得た発見――基礎物理学と純粋数学の関係についての強い疑念を裏付ける、ほとんど忘れ去られた結果――を発展させる方法を編み出していた。

数十年にわたって多くの物理学者や数学者が抱いていたものの、積極的に追求されることはほとんどなかった疑念は、現実を構成する特異な力と粒子の組み合わせが、「八元数」と呼ばれる8次元の数の特性から論理的に生じているのではないかというものである。

数字といえば、おなじみの実数、つまり数直線上にある 1、π、-83.777 などは、ほんの始まりに過ぎません。実数は特定の方法で組み合わせて「複素数」を形成することができます。これは 16 世紀のイタリアで初めて研究されたもので、2 次元平面上の座標のように動作します。加算、減算、乗算、除算は、平面上での位置の移動と回転に似ています。複素数は適切に組み合わせると 4 次元の「四元数」を形成します。これは 1843 年にアイルランドの数学者ウィリアム ローワン ハミルトンによって発見され、ハミルトンはその場で恍惚としてその式をダブリンのブルーム橋に刻みました。その後、ハミルトンの友人で弁護士だったジョン グレイブスは、四元数のペアが八元数、つまり抽象的な 8 次元空間の座標を定義する数を形成することを示しまし た。

そこでゲームは終わります。1898年、実数、複素数、四元数、八元数だけが、加減乗除が可能な数であることが証明されました。これらの「除算代数」の最初の3つは、まもなく20世紀物理学の数学的基礎を築くことになり、実数は至る所に現れ、複素数は量子力学の数学を、四元数はアルバート・アインシュタインの特殊相対性理論の基礎となりました。このため、多くの研究者が、最後に残った、そして最も理解されていない除算代数について疑問を抱いています。八元数は宇宙の秘密を握っているのでしょうか？

「物理学における八元数は、セイレーンがユリシーズにとってであったのと同じようなものです」とフロリダ大学の素粒子物理学者で弦理論学者のピエール・ラモンド氏は電子メールで述べた。

ペンシルベニア州立大学のギュナイディン教授は1973年、イェール大学の大学院生だったとき、指導教官のフェザ・ギュルシーとともに、原子核内でクォークを結びつける強い力と八元数の間に意外な関連性を発見した。この発見に対する当初の関心は長くは続かなかった。当時誰もが、素粒子物理学の標準モデル、すなわち既知の素粒子とそれらの強い力、弱い力、電磁力（重力以外のすべての基本的な力）による相互作用を記述する方程式の集合に頭を悩ませていた。しかし、標準モデルの謎に対する数学的な答えを探すよりも、ほとんどの物理学者は、高エネルギー粒子加速器などの実験に希望を託し、新たな粒子が現れて標準モデルを超えて現実のより深い記述への道を開いてくれることを期待していた。 「彼らは、すでに持っているピースについてより深く考えるのではなく、テーブルの上にいくつかの新しいピースを落とすことで次の進歩がもたらされると想像した」と、カナダのウォータールーにあるペリメーター理論物理学研究所の理論物理学者レイサム・ボイル氏は述べた。

数十年経った今でも、標準模型の理論を超える粒子は見つかっていない。一方で、八元数の奇妙な美しさは、時折、独立心旺盛な研究者を惹きつけ続けている。その中には、4年前にギュネイディンを訪れたカナダ人大学院生のフューリーもいる。鋭い青い瞳の間から、銀色の前髪が尖り、惑星間旅行者のような風貌のフューリーは、黒板に難解な記号を走り書きしながら、強い力と電磁力の両方の八元数モデルを構築することで、ギュネイディンとギュルシーの研究を拡張したのだということをギュネイディンに説明しようとしていた。

「彼に詳細を伝えるのは、予想以上に大変でした。言葉をかけるのに苦労したのです」とフューレイは回想する。ギュナイディンは70年代から、弦理論、M理論、そして重力と他の基本的な力を統一しようとする超重力関連理論との深い関連性を通して、八元数の研究を続けてきた。しかし、彼の八元数研究は常に主流から外れていた。彼は、八元数がフューレイの道を閉じるかもしれないと感じていたため、博士号取得のための別の研究プロジェクトを見つけるよう助言した。

しかしフューリーは諦めなかった――諦めることができなかった。八元数やその他の除算代数が自然法則の根底にあるという深い直感に突き動かされ、彼女は同僚に、もし学問の世界の仕事が見つからなければ、ニューオーリンズにアコーディオンを持って行き、物理学の研究を続けるために路上ライブをするつもりだと話した。ところが、フューリーは結局、英国ケンブリッジ大学の博士研究員になった。それ以来、彼女は八元数と標準模型を結びつける多くの研究結果を生み出しており、専門家たちはそれを興味深く、奇妙で、エレガントで斬新だと評している。「彼女は本当に奥深い物理的パズルの解決に向けて大きな一歩を踏み出した」と、フューリーが自身の研究について作成した一連のオンライン講義ビデオを見た後、最近ケンブリッジのフューリーを訪ねたラトガース大学の数理物理学者、シャディ・タビルダー＝ザデーは語った。

フューリー氏は、標準模型の全ての粒子と力を一度に表現する単純な八元数モデルをまだ構築しておらず、重力についても触れていない。彼女は数学的な可能性は数多くあると強調するが、専門家たちは、八元数と他の除算代数を融合させる方法（もしあるとすれば）がどれが成功につながるかを判断するのは時期尚早だと述べている。

「彼女は興味深い関連性を発見しました」と、弦理論の先駆者であり、弦理論における八元数の役割を研究しているインペリアル・カレッジ・ロンドンの教授、マイケル・ダフ氏は述べた。「私の見解では、これは確かに追求する価値があります。最終的に標準模型が記述されているような形になるかどうかは分かりませんが、もしそうなれば、革命的などといったあらゆる最高の形容詞にふさわしいでしょう。」

奇妙な数字

6月、ケム川沿いのトリニティ・ホールに入る門番小屋で、私はフューリーに出会った。小柄で筋肉質、ノースリーブの黒いTシャツ（総合格闘技の痣が露わになっている）、ロールアップしたジーンズ、漫画風のエイリアンが描かれた靴下、そしてベジタリアン・シューズのスニーカー。講義ビデオで見るような異世界の人影とは対照的に、実物はバンクーバーの住人そのものだった。私たちは大学の芝生をぶらぶら歩き、炎天下の中を中世の戸口をくぐり抜けて出入りした。別の日なら、芝生の上で紫色のヨガマットを敷いて物理学の勉強をしている彼女の姿を見かけたかもしれない。

39歳のフューリーさんは、ブリティッシュコロンビア州で高校に通っていた頃のある瞬間に初めて物理学に魅了されたという。担任の先生がクラスで、世界の複雑さの根底にはたった4つの基本的な力しかなく、しかも1970年代以降、物理学者たちはそれらすべてを単一の理論的構造に統合しようとしてきたのだと話した。「あれは今まで聞いた中で最も素晴らしい言葉でした」と、彼女は鋭い目で私に言った。数年後、バンクーバーのサイモンフレーザー大学で学部生だった彼女は、四則代数について学んだ時にも同じような感覚を覚えた。そのような数体系は1つ、あるいは無限にたくさんあるだろう。「でも4つって？」と彼女は思ったことを思い出す。「なんて奇妙なの」

学校を休んでスキーバミングをしたり、海外でバーテンダーをしたり、総合格闘家として猛烈なトレーニングをした後、フューリーは上級幾何学のコースで再び除算代数に出会い、4 ストロークでそれがいかに奇妙になるかを学んだ。実数から複素数、四元数、八元数へと進むにつれて次元が 2 倍になると、彼女は「すべてのステップで特性を失う」と説明した。たとえば、実数は最小から最大の順に並べることができるが、「複素平面ではそのような概念はありません」。次に、四元数は交換法則を失い、a × b は b × a と等しくありません。これは理にかなっています。なぜなら、高次元の数の乗算には回転が含まれ、2 次元以上で回転の順序を切り替えると、異なる場所に到達するからです。さらに奇妙なことに、八元数は非結合的であり、(a × b) × c は a × (b × c) と等しくありません。 「数学者は非結合的なものを非常に嫌っています」と、カリフォルニア大学リバーサイド校の数理物理学者で八元数の第一人者であるジョン・バエズ氏は述べた。「靴を履いてから靴下を履くのと、靴下を履いてから靴を履くのとでは、非結合的な状況を想像するのは非常に簡単ですが、非結合的な状況を思いつくのは非常に難しいのです。」靴下を履いてから靴を履くのではなく、まず靴下を靴の中に入れるとすれば、技術的には両方の靴に足を入れても同じ結果が得られるはずです。「括弧が不自然に感じます。」

八元数の一見非物理的な非結合性は、多くの物理学者による八元数の活用を阻んできた。しかし、バエズ氏は、その特異な数学的性質こそが常に八元数の最大の魅力でもあったと説明した。数十個の粒子と反粒子を巡って四つの力が作用する自然界は、それ自体が特異である。標準模型は「風変わりで特異なもの」だとバエズ氏は述べた。

標準モデルでは、素粒子は3つの「対称群」の現れであり、本質的には方程式を変えずに粒子のサブセットを交換する方法です。これらの3つの対称群、SU(3)、SU(2)、U(1)は、それぞれ強い力、弱い力、電磁力に対応し、6種類のクォーク、2種類のレプトン、そしてそれらの反粒子に「作用」します。各粒子には、質量を除いて同一の3つのコピー、つまり「世代」が存在します。（4つ目の基本的な力である重力は、アインシュタインの一般相対性理論によって別途、かつ互換性なく記述され、時空の幾何学における曲線として表現されます。）

標準モデルの対称性は、粒子の集合によって明らかになります。正方形の90度回転対称性を実現するためには、4つの頂点が必ず存在しなければならないのと同じです。問題は、なぜこの対称群、つまりSU(3) × SU(2) × U(1)が採用されているのか、そしてなぜ観測される粒子の奇妙な電荷の組み合わせ、奇妙な利き手、そして3世代の冗長性を伴うこの特定の粒子表現が採用されているのか、ということです。こうした疑問に対する従来の考え方は、標準モデルをより完全な理論構造の断片として扱うことでした。しかし、これと競合する傾向として、八元数を用いて「論理の法則から何らかの形で奇妙さを得ようとする」という傾向があるとバエズ氏は述べています。

フューリーは大学院時代に、四元数が四次元時空における粒子の移動と回転を捉えることを知ったとき、この可能性を真剣に追求し始めた。彼女は粒子の電荷といった内部特性について疑問を抱いた。「八元数の8つの自由度が、粒子の一世代、つまりニュートリノ1個、電子1個、アップクォーク3個、ダウンクォーク3個に対応していることに気づきました」と彼女は言う。これは以前は眉をひそめた数秘術のようなものだった。その後、偶然の一致は次々と見つかった。「もしこの研究プロジェクトが殺人ミステリーだとしたら」と彼女は言った。「私たちはまだ手がかりを集めている最中と言えるでしょう」

ディクソン代数

素粒子物理学を再構築するために、フューリーは4つの除算代数の積、ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆（ℝは実数、ℂは複素数、ℍは四元数、𝕆は八元数）を使用する。これは、1970年代と80年代に初めてこの手法を採用したが、教授職に就けずこの分野を去った物理学者ジェフリー・ディクソンにちなんで、ディクソン代数と呼ばれることもある。（ディクソンは回顧録から次のような一節を私に送ってくれた。「私には、これらの代数が素粒子物理学を理解する鍵であるという抑えきれない直感があり、必要とあれば崖っぷちに立ってでもこの直感に従うつもりだった。そうしたと言う人もいるかもしれない。」）

ディクソンらは除算代数と追加の数学的機構を融合させて研究を進めたが、フューリーは自らを限定している。彼女の構想では、代数は「自身に作用する」。ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆として結合された4つの数体系は、64次元の抽象空間を形成する。この空間内において、フューリーのモデルでは、粒子は数学的な「理想」である。つまり、ある部分空間の要素であり、他の要素と乗算されてもその部分空間に留まるため、粒子は移動、回転、相互作用、変形しても粒子であり続ける。つまり、これらの数学的理想は自然界の粒子であり、ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆の対称性を体現しているという考え方である。

ディクソンが知っていたように、代数はℂ⊗ℍとℂ⊗𝕆の二つの部分にきれいに分割されます。それぞれ複素数と四元数、八元数の積です（実数は自明です）。フューリーのモデルでは、粒子が時空をどのように移動・回転するかに関連する対称性（まとめてローレンツ群と呼ばれます）は、代数の四元数であるℂ⊗ℍの部分から生じます。粒子の内部特性や、強い力、弱い力、電磁気力を介した相互作用に関連する対称群SU(3) × SU(2) × U(1)は、八元数であるℂ⊗𝕆の部分から生じます。

Günaydin と Gürsey は、初期の研究で、すでに八元数の中に SU(3) を発見していました。八元数の基本セットである 1、e ₁、e ₂、e _{3 、e} 4、e ₅、e 6、e 7を考えてみましょう。これらは、8 つの異なる直交方向への単位距離です。これらは、G2 と呼ばれる対称性のグループに従います。これは、他の既存の対称群ファミリーに数学的に分類できないまれな「例外グループ」の 1 つです。八元数はすべての例外グループやその他の特別な数学的対象と密接に関連しているため、その重要性に対する信念が強まり、たとえば、著名なフィールズ賞受賞者でアーベル賞受賞者の数学者 Michael Atiyah は、自然の最終理論は八元数でなければならないと確信しました。 「私たちが到達したい真の理論は、重力をこれらのすべての理論に組み込み、重力が八元数と例外群の帰結であると見なせるようなものでなければならない」と彼は2010年に述べた。さらに彼は、「八元数が難しいことは分かっているので、それは難しいだろう。しかし、もしそれを発見したなら、それは美しい理論となり、唯一無二のものとなるはずだ」と付け加えた。

e _{7 を}一定に保ちながら他の単位八元数を変換すると、それらの対称性はSU(3)群に帰着する。ギュネイディンとギュルセイはこの事実を利用して、単一世代のクォークに作用する強い力の八元数モデルを構築した。

フューリーはさらに進んだ。5月に欧州物理誌Cに掲載された最新の論文では、複数の研究結果を統合し、単一世代の粒子に対する標準モデルの完全な対称群、SU(3) × SU(2) × U(1)を構築した。この数式は、電子、ニュートリノ、3つのアップクォーク、3つのダウンクォーク、そしてそれらの反粒子の電荷やその他の属性の正しい配列を導出した。この数式はまた、電荷が離散的な単位で量子化される理由、つまり本質的に整数が離散的な単位で量子化される理由を示唆している。

しかし、そのモデルの粒子配置方法では、自然界に存在する3つの粒子世代全体を自然にカバーするようにモデルを拡張する方法が不明瞭です。しかし、現在専門家の間で回覧され、Physical Letters Bでレビューされている別の新しい論文では、Fureyはℂ⊗𝕆を使用して標準モデルの2つの破られていない対称性、SU(3)とU(1)を構築しています。 (自然界では、SU(2) × U(1)はヒッグス機構によってU(1)に分解され、粒子に質量が付与されます。) この場合、対称性は3つの粒子世代すべてに作用し、ステライルニュートリノと呼ばれる粒子の存在も可能にします。ステライルニュートリノは、物理学者が現在積極的に探している暗黒物質の候補です。「3世代モデルにはSU(3) × U(1)しかないので、より初歩的です」とFureyはホワイトボードにペンを構えながら私に言いました。 「問題は、一世代の図から三世代の図へと進む明確な道があるかどうかです。私はあると思います。」

これが彼女が今、追い求めている主要な問いだ。数理物理学者のミシェル・デュボア＝ヴィオレット、イヴァン・トドロフ、スヴェトラ・ドレンスカもまた、例外ジョルダン代数と呼ばれる八元数を取り入れた構造を用いて、3つの粒子世代をモデル化しようとしている。長年の単独研究を経て、フューリーは異なるアプローチをとる研究者との共同研究を始めているが、彼女は4つの除算代数の積、ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆が自身に作用するというモデルにこだわっている。これは十分に複雑であり、様々な方法で分割できるため柔軟性がある。フューリーの目標は、後から考えれば必然的に思える、質量、ヒッグス機構、重力、時空を含むモデルを見つけることだ。

すでに数学には時空の概念が存在している。彼女は、ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆の元のすべての乗法連鎖が、「生成元」と呼ばれる10個の行列によって生成できることを発見した。生成元のうち9個は空間次元のように振る舞い、符号が反対の10番目は時間のように振る舞う。弦理論もまた10個の時空次元を予言しており、八元数はそこにも関わっている。フューリーの研究が弦理論とどのように繋がるのか、あるいは繋がるのかどうかは、まだ解明されていない。

彼女の将来も同様だ。今は大学教員を目指しているが、もしそれが叶わなければ、スキー場かアコーディオンを選ぶしかない。「アコーディオンは音楽界の八元音です」と彼女は言った。「悲劇的なほど誤解されています」。そして「たとえその道を選んだとしても、このプロジェクトにずっと取り組むことになるでしょう」と付け加えた。

最終理論

物理学と数学の関係性、例えば、両者は本質的に同一であるのかといった、私の哲学的な疑問については、フューリーはほとんど答えようとしなかった。しかし、彼女は除算の性質がなぜそれほど重要なのかという謎に心を奪われていた。また、彼女は、誰もが持つ無限に対するアレルギーを反映して、ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆は実際には近似値であり、最終理論では、実数の無限連続体を含まない別の関連する数学体系に置き換えられるだろうという予感を抱いている。

それは単なる直感だ。しかし、標準模型が驚くほど完璧なテストに合格し、ヨーロッパの大型ハドロン衝突型加速器（LHC）で啓発的な新粒子が出現していない今、不安と興奮が入り混じる新たな空気が漂い、ホワイトボードと黒板への回帰を予感させる。ペリメーター研究所のボイル氏は、「もしかしたら、現在のピースをつなぎ合わせるプロセスはまだ終わっていないのかもしれない」という感覚が芽生えつつあると述べた。彼はこの可能性を「多くの人が認識しているよりもずっと有望」だと評価し、「現在よりももっと注目されるべきなので、コール氏のような人々が真剣に研究していることを大変嬉しく思う」と述べた。

ボイル自身は、標準模型と八元数との関連性について論文を書いたことはない。しかし、他の多くの人々と同様に、彼も八元数の誘惑を感じていることを認めている。「八元数は非常に美しいので、基礎物理学において何らかの役割を果たすかもしれないという希望、いや、疑念さえ抱いています」と彼は言った。

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。