おいおい、カーニバルのゲームって、本当に馬鹿げてるものがあるんだよ。例えば、ボウリングのピンの上に紐で吊るしたボールがあるゲームがあるんだけど（動画を見てみて）、ボールを振り回してピンの後ろから当てるっていう。ネタバレ注意：そんなの無理だよ。バカげたゲームだよ。どうしてそう言えるかって？ 物理学のおかげだよ、友よ。
ボールを横に振ると、惑星が恒星の周りを回るかのようにピンの周りを回り、その軌道の中心は天井の紐が張られている場所の真下になります。ボールを放った時に中心を通過しなければ、戻ってくる時にも通過できません。あり得ません。
物理学では、揺れるボールと軌道を回る惑星はどちらも中心力問題と呼ばれます。これは、物体には中心点に向かって引っ張る力が働いていることを意味します。惑星の場合は恒星の重力です。糸につながれたボールの場合は、それほど明白ではないかもしれません。でも、考えてみましょう！
巡り巡って
これは、横から見た、紐の上のボールの図です。
イラスト: レット・アラン
このボールには実際には2つの力が作用しています。下向きの重力（mg）と弦の張力（T）です。（Tは「拘束力」であるため、数値化するのは簡単ではありません。基本的に、大きさはボールが飛んでいかないようにするために必要な力です。弦の仕組みはまさにこれです。）
ご覧の通り、T力は弦の支点に向かって斜め上を向いています。しかし、いつものように、この力を水平成分と垂直成分に分解することができます。
さて、単純化するために、ボールがテーブルと平行な水平面内で回転すると仮定しましょう（ほぼ正しいです）。上から見た場合、軌道は次のようになります。
イラスト: レット・アラン
ここで、F r は張力の水平成分であり、中心力であることがわかります。ボールが楕円軌道上のどこにあっても、F r は弦の支点の真下に位置する中心点を指します。
上記で他に2つのことを示しました。1つは、ある瞬間におけるボールの線形 運動量（ p ）を表す矢印で、これは質量と速度の積です。線形運動量は常に軌道に接します。（なぜ運動量にpを使うのでしょうか？おそらく、質量は既にmで表されているのでしょう。）
次に、中心点に対するボールの位置を、半径rと書かれた矢印で表します。rは中心から遠ざかる方向を指していることに注意してください。これは後で説明します。これらを使って、このカーニゲームの鍵となるボールの角運動量を計算できます。
角運動量とは何ですか?
角運動量は回転運動の尺度です。物体の位置と直線運動のベクトル積として計算できます。（角運動量には記号Lを使います。…正直に言うと、私には全く分かりません。）すると、以下の最初の式が得られます。
イラスト: レット・アラン
矢印は、これらがベクトル変数であることを示しています。つまり、複数の次元を持つということです。具体的には、私たちが生きている3次元空間のx、y、z軸に対応する3次元です。これにより、方向と位置を表すことができます。例えば、(1, 5, 2) のようになります。それほど怖くないですよね？
ベクトルの掛け算は複雑ですが、今回の場合はその作業を省略できます。必要なのはスカラー値である角運動量の大きさだけだからです。そして、それはpベクトルとrベクトルの大きさ、そしてそれらの間の角度θの正弦から得られます。（そう、θを2回使ってしまいました。申し訳ありません。）これで、上図の右側の式が得られます。
これはかなり巧妙ですね。軌道図をもう一度見てみると、 rベクトルとpベクトルは常に垂直で、90度の角度の正弦は1であることがわかります。つまり、 L = r × pです。矢印がないので、シンプルでいいですね！
トルクについて話しましょう
トルクについてご存知ですよね？何かを押して回転させるたびに、トルクを使います。例えば、ドアを開けるときに発生するトルクの大きさは、次の3つの要素によって決まります。(1)加える力( F )（つまり、押す強さ）、(2)ドアの回転軸（蝶番）から押す位置までの距離 ( r ) 、そして(3) 力と距離のベクトル間の角度(θ)。
数学的には、トルクもベクトルであり、ギリシャ文字のタウ（τ）で表されます。しかし、この方程式にはスカラー版もあります。
イラスト: レット・アラン
考えてみてください。蝶番から離れた場所を押すと、ドアを開けやすくなります。なぜでしょうか？rが大きくなるからです。ドアノブが今の位置にあるのはそのためです。また、ドアに対して斜めに押すよりも垂直に押す方が開けやすくなります。なぜでしょうか？ θ が90度のとき、sin θ の最大値は1です。結果として、押す力（F）は小さく、トルク（τ）は大きくなります。
では、トルクは何をするのか？物体の角運動量を変化させるのです。これは角運動量原理と呼ばれ、次のように表されます。
イラスト: レット・アラン
これで、カーニバルゲームの例に当てはめることができます。張力の水平成分 ( F r ) は中心に向かっており、ベクトルrは常に中心から離れる方向を向いているため、両者のなす角度は常に180度です。180度の正弦はゼロなので、ボールには正味のトルクがかかっていません。正味のトルクがないということは、角運動量に変化がないことを意味します。つまり、ボールの角運動量は常に一定です。
簡単なシミュレーション
これはすごいですね。でも、ちょっと分かりにくいかもしれないので、数値モデルを作ってみましょう。ボールの動き（上から見た様子）のようなアニメーションです。あ、これはPythonで作りました。コードはこちらです。
イラスト: レット・アラン
いくつかの点でボールが「軌道」の中心に近づいていることに注目してください。これは位置ベクトルrの大きさが減少することを意味します。ボールの速度（そして運動量）はどうなりますか？運動量と位置の関係を示すグラフを以下に示します。
イラスト: レット・アラン
そうです、ボールが中心に近づくほど速度が上がり、直線運動量も大きくなります。しかし、角運動量はどうでしょうか？角運動量はrとp の両方に依存するため、あまり明確ではありません。どちらかの値が下がると、もう一方の値が上がります。
でもちょっと待ってください！ rとpの間の角度を忘れないでください。ボールが「軌道」を回ると、これら3つの量の組み合わせによって角運動量が一定になります。つまり、角運動量が一定である理由は実際には2つあります。1つ目はトルクがゼロであること、2つ目はr、p、 θ の間に数学的な関係があることです。
お金を節約する
それで、あのカーニバルのトリックって何？ 学んだのはこれです。ボールが中心を通過する場合、r = 0 となり、L = r × pなので角運動量はゼロです。つまり、ボールは前後に直線的に進み、その方向へ進むということです。しかし、これはうまくいきません。ボールはピンの周りを回転して、後ろからピンに当たる必要があるからです。
ボールがピンの側面を通過する場合、r > 0となり、角運動量はゼロではなくなります。そして、角運動量がゼロではなくなると、中心を通過することは不可能になります。角運動量は変化しなければなりませんが、既に述べたように、角運動量は一定です。
つまり、このゲームに勝つ唯一の方法は、ピンをセンターからずらすことです。そして、動画の最後にあるように、カーニバルの男が人々に実演する際にまさにそれを行います。こうすることで、ボールは往路でセンターのすぐ横を通過します。復路では、角運動量を保存するためにセンターから同じ距離を通過しますが、今度は進路にピンが存在します。
結論：これはひどいゲームだが、中心力の素晴らしい例だ。そしてボーナス特典として、角運動量の知識を活用して、クレイジーで回転する遊園地の乗り物に乗る前に、自分の確率を計算できる。
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