スターウォーズ全作品におけるジェダイジャンプの物理分析

5月4日はスター・ウォーズの日です。さて、スター・ウォーズの物理学について少しお話しましょう。というのも、それが私の仕事だからです。ええ、スター・ウォーズの物理学は山ほどあります（リストはこちらです）。でも、今日は特別な日なので、特別な分析が必要でした。スター・ウォーズ映画に登場するジェダイのジャンプの分析はどうでしょう？

ジェダイジャンプの物理学

『スター・ウォーズエピソード4』を観ると、ジェダイジャンプが全く出てきません。ジェダイジャンプって何でしょう？フォースを使える人が、普通の人よりずっと高くジャンプするのを言いますよね。それがジェダイジャンプです。 『帝国の逆襲』でルークがカーボナイト冷凍室から飛び出したのを覚えていますか？あれはジェダイジャンプでした。オリジナル三部作ではジェダイジャンプはあまり多くありませんが、プリクエルでは大量のジャンプが登場しました。

もちろん、人間のジャンプであれば、ジャンプの高さだけでなく、地面から浮いている時間（滞空時間）も確認できます。実際の地球上で人間に作用する力は重力だけなので、約-9.8メートル毎秒（m/s ²）の一定の下向きの加速度が存在します。つまり、人間は地面を離れた後、速度を落としながら上昇します。最高点で一瞬停止した後、人間は速度を上げて下降します。これは物理学における典型的な投射運動の例です。

ジェダイはどうでしょうか？ジェダイはあなたのくだらない物理法則なんて気にしません。彼らは好きなようにジャンプします。つまり、彼らが何をしているのかを理解するのは私次第です。この研究では、ジェダイのジャンプをすべて2つの部分、つまり上昇動作と下降動作に分けます。ジェダイはある垂直位置からスタートし、ある最高高度に到達し、そして最終位置に戻ります（これは垂直方向の動きだけを見ています）。これが図です。

そこで、それぞれのジャンプについて、以下の5つの点を測定します。まず、スタート地点、最高地点、そしてゴール地点を見つけます。そして、スタート地点から最高地点まで移動するのにかかる時間と、ゴール地点まで戻るのにかかる時間を測定します。そう、実際にこれをやったんです。簡単ではありませんでした。距離を推測するしかないジャンプもたくさんありました。時間さえも、必ずしも簡単には測れません。特に、カメラがジャンプの開始地点を映してから別の場所に切り替わる場合はなおさらです。でも、皆さんのためにやりました。

それではデータを見てみましょう。

エピソードごとのジェダイジャンプ

トリビアのクイズです。『エピソード4／新たなる希望』にはジェダイのジャンプが何回ありましたか？答えはゼロです。他の映画はどうでしたか？図解で答えをご覧ください。

誰も驚かないだろう。前編にはジャンプシーンがたくさんある。理由は2つある。まず、前編ではジェダイの登場シーンが多かった（殺される前のジェダイ…あ、ネタバレ注意）。エピソード1～3でジェダイのジャンプシーンが多かった2つ目の理由は、デジタルエフェクトに頼っていたからだ。現実世界ではなくデジタルで行えば、奇想天外なジャンプも作りやすい。

ジャンプの高さと滞空時間を見る

分かりました。ジェダイはジャンプではなく、崖などから飛び降りる場合もあります。これはジャンプとしてカウントすべきではないと思われるかもしれませんが、カウントに入れています。

以下は、すべてのジェダイジャンプのジャンプの高さのヒストグラムです。

平均ジャンプ高は4.6メートル、標準偏差は7.2メートルです。問題は、この2つの大きなジャンプです。1つはエピソード2でジャンゴ・フェットとの戦い中に建物から落ちたオビ＝ワンのジャンプです。もう1つは、エピソード2のジオノーシスの戦いでメイス・ウィンドゥが行った大きなジャンプです。

ああ、エピソード2の冒頭でアナキンがスピーダーから飛び降りるシーンもありますね。パラシュートなしのスカイダイビングに近いので、これはジャンプとはカウントしませんでした。

以下はジャンプ滞空時間の範囲のグラフです。

これにより、平均滞空時間は 1.26 秒、標準偏差は 0.98 秒となります。

垂直加速度

さて、実際の物理学を見てみましょう。実際のジャンプを観察する際には、考慮すべき点が3つあります（これはビデオ分析でも同様です）。

距離スケール。（動画内の物体はどれくらいの大きさでしょうか？）
時間スケール。(各ビデオフレームの長さはどれくらいですか?)
垂直方向の加速度。

これら3つの要素のうち2つが分かれば、3つ目も分かります。スター・ウォーズにおけるジェダイのジャンプについては、ユアン・マクレガー（身長1.78メートル）やリーアム・ニーソン（身長1.93メートル）といった人物を参考に距離スケールを推定するのが妥当でしょう。確かに彼らは実在の人間ですが、それでも距離スケールとして使えます。また、エピソード9の予告編でレイがジャンプするシーンを除くすべてのシーンはスローモーションではなく、実速度で再生されているようです。つまり、再生時のビデオのフレームレートが時間スケールを表しているということです。

残るは加速度です。距離と時間のスケールが分かっているので、加速度を求めることができます。では、やってみましょう。加速度が一定であると仮定し、位置の変化と時間の変化が分かっている場合、加速度の大きさは次のようになります。

ここで、Δy は高度の変化、Δt は時間の変化です。これはジャンプの上昇と下降の両方に使用できます。しかし、分数なので、ジャンプの高さと時間の2乗をプロットすると直線になるはずです。実際、高さの2倍をプロットすると、傾きが加速度になります。しかし、直線になるために加速度は一定であるべきでしょうか？地球では、はい、傾きが9.8 m/s ²の直線になります。ジェダイのジャンプの場合は、グラフを作成するだけです。

これがそのグラフです。ああ、これはジェダイなので、上向きの加速度と下向きの加速度は同じである必要はありません。上下に動くジャンプの場合は、2つの別々のデータポイントに分割します。

このグラフに関していくつかコメントさせてください。

2つの大きなジャンプ（40メートル）を削除しました。この2つのデータポイントのせいでグラフのスケールがおかしくなり、見た目がおかしくなっていました。
線が2本あります。赤い線はデータにフィットする線形回帰線です。モデル化された加速度は5.84 m/s ²です。これはすべてのジャンプの加速度ではありませんが、様々なジャンプが他のジャンプと比較してどこに位置するかを確認するのに役立ちます。この赤い線より上のデータポイントは、平均よりも高い加速度を示しています。
緑の線は加速度が9.8 m/s ²のときの線です。これは、ジェダイ以外の人が地球上でジャンプした場合の速度です。
はい。ジャー・ジャーはグラフに載っています。ああ、彼はジェダイじゃないって言うんですね。でも、本当にそうでしょうか？彼は水中に華麗に飛び込み、最高高度は約5メートル（すごい！）、加速度は約9.8m/s² ^（彼がジェダイなのかそうでないのかは分かりませんが）です。
ヨーダについて話しましょう。あの男はクレイジーです。ジャンプ力はそれほど高くないのに、加速度はものすごく高いんです（約30m/s² ^）。ジャンプ中にフォースを使って、通常よりも早く地面に着地しているのだと思います。もしかしたら、これによってヨーダを攻撃するのが難しくなっているのかもしれません。

でもちょっと待って！宿題はどう？実は、この宿題は君のためじゃないんだ。僕のためのものなんだ。これは将来の探究の過程でできるものなんだ。来年のスター・ウォーズの日まで取っておこうかな。

これらのジェダイジャンプのいくつかは視界が良好で、ビデオ分析を用いて位置と時間の関係のデータを取得できます。より良いデータが得られても、同じ加速度が得られるのでしょうか？
Python モデルを作成して (Glowscript.org の使用をお勧めします)、これらのジェダイジャンプのいくつかを再現します。
ジャンプの高さの不確実性を考慮したらどうなるでしょうか？線形回帰をやり直し、ジャンプの高さの不確実性を考慮に入れてください。
エピソード2で、アナキンはスピーダーから飛び降りて自由落下します。彼の終端速度を推定してください。
ジオノーシスの戦いにおけるメイス・ウィンドゥの壮大なジャンプを見てください。このジャンプを成功させるために、彼が地面を蹴り出すのに必要な力を推定してください。着地時の衝撃力を推定してください。もちろん、彼がジャンプする距離も推定する必要があります。このジャンプに必要なエネルギーを得るために、彼はキャンディーバーを何本（あるいは何分の1）食べる必要があるでしょうか？
これらすべてのジャンプの位置と時間の関係を示すPythonプロットを作成してください（または、お好きな方法で）。私もこれをやろうと思っていたのですが、なかなか手が回らなかったんです。

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