学生たちが完全な無秩序の不可能性を示す新たな証拠を発見

この物語 のオリジナル版はQuanta Magazineに掲載されました。

2017年後半、アシュウィン・サーとメータブ・ソーニーはマサチューセッツ工科大学の学部生として出会いました。それ以来、二人は57もの数学の証明を共同で書き上げ、その多くは様々な分野における画期的な進歩となっています。

2月、サーとソーニーは新たな共同成果を発表しました。UCLA大学院生のジェームズ・レンと共同で、{9, 19, 29, 39, 49}や{30, 60, 90, 120}のような等間隔の数列を含むようになるまで、整数の集合がどの程度の大きさになるかという推定値について、長年求められてきた改良を達成しました。この証明は、完全な無秩序が数学的に不可能であるという長年の研究に加わるものです。また、組合せ論分野における最大の未解決問題の一つにおいて、数十年ぶりの進展となりました。

「彼らがこれを成し遂げたことは驚異的で素晴らしい」とオックスフォード大学の数学者ベン・グリーン氏は述べた。この研究が発表された当時、3人はまだ大学院生だった。

等間隔の数列は等差数列と呼ばれます。単純なパターンですが、そこには驚くべき数学的複雑さが隠されています。そして、どんなに努力しても、等差数列を避けるのは困難で、多くの場合不可能です。

1936年、数学者ポール・エルデシュとパル・トゥランは、ある集合が整数の非ゼロ分数（たとえそれが0.00000001%であっても）で構成される場合、その集合は任意の長さの等差数列を含むはずだと予想しました。等差数列を回避できる集合は、整数の「無視できる」部分を占める集合だけです。例えば、{2, 4, 8, 16, …}という集合は、各数が前の数の2倍になるのですが、数直線上で非常に広がっているため、整数の0%を占めると言われています。この集合には等差数列はありません。

40年後の1975年、エンドレ・セメレディという数学者がこの予想を証明しました。彼の研究は、今日でも数学者たちが探求し続けている様々な研究分野を生み出しました。「彼の証明から生まれたアイデアの多くは、独自の世界へと発展しました」と、サーとソーニーのMIT博士課程指導教官であるユフェイ・ジャオは述べています。

数学者たちは、セメレディの結果を有限数の集合の文脈で発展させてきました。この場合、1から任意の数Nまでのすべての整数からなる限られたプールから始めます。禁制数列を必然的に含まない範囲で、集合に使用できる最初のプールの最大の割合はどれくらいでしょうか？そして、 Nが変化すると、その割合はどのように変化するでしょうか？

例えば、N を20 とします。この 20 個の数字のうち、例えば 5 桁以上の数字列を避けながら、いくつ書き出せるでしょうか。答えは、最初の数字プールの 16 〜 80% です。

さて、Nを1,000,000としましょう。この新しいプールの80%を使うと、800,000個の数を含む集合を見ることになります。これほど大きな集合では、5項数列を避けることは不可能です。プールのより小さな部分を使う必要があります。

セメレディは、 Nが増加するにつれてこの分数は必ずゼロに縮小することを証明した最初の人物です。それ以来、数学者たちはそれがどれだけ速く起こるかを正確に定量化しようと試みてきました。昨年、2人のコンピューター科学者による画期的な研究により、{6, 11, 16}のような3項数列に関してこの問題はほぼ解明されました。

しかし、4項以上の等差数列を避けようとすると、問題はより難しくなります。「この問題の好きなところは、とても無難に聞こえるのに、実はそうではないところです。本当に難しいんです」とソーニー氏は言います。

なぜなら、長い数列は、古典的な数学的手法では解明が難しい基礎構造を反映しているからです。3項の等差数列における数x、y、z は、常に単純な方程式x – 2 y + z = 0 を満たします (たとえば、数列 {10, 20, 30} は、10 – 2(20) + 30 = 0 となります)。集合にこの種の条件を満たす数が含まれているかどうかを証明するのは比較的簡単です。しかし、4 項の数列の数は、さらに、より複雑な方程式x ² – 3 y ² + 3 z ² – w ² = 0 も満たす必要があります。5 項以上の数列は、さらに複雑な方程式を満たさなければなりません。つまり、そのような数列を含む集合は、より微妙なパターンを示すということです。数学者にとって、そのようなパターンが存在するかどうかを示すことは困難です。

1990年代後半、現在コレージュ・ド・フランスに所属する数学者ティモシー・ガワーズは、この障害を克服する理論を開発しました。彼は後に、この業績の一部が認められ、数学界最高の栄誉であるフィールズ賞を受賞しました。2001年には、この手法をセメレディの定理に適用し、任意の長さの等差数列を回避する最大集合の大きさに関するより良い上限を証明しました。その後20年間、数学者たちはガワーズの枠組みを用いて他の問題に取り組みましたが、2001年の彼の記録は揺るぎないものでした。

2022年、当時UCLA大学院2年生だったレンは、ガワーズ理論の解明に乗り出した。彼が念頭に置いていたのはセメレディの定理ではなく、ガワーズが開発した手法に関連する技術的な疑問に答えることだった。他の数学者たちは、問題を解くのに必要な労力が結果を上回ってしまうことを懸念し、彼を思いとどまらせようとした。「もっともな理由があった」とレンは後に語った。

1年以上もの間、彼は何の成果も得られなかった。しかし、ついに前進し始めた。関連する疑問について考えていたサーとソーニーは、彼の研究について知り、興味をそそられた。「こんな風に考えられるなんて、驚きました」とソーニーは言った。

彼らは、レンの研究がセメレディの定理のさらなる進展に役立つかもしれないと気づいた。数ヶ月のうちに、3人の若い数学者は、5項数列を持たない集合の大きさのより良い上限を得る方法を解明した。その後、彼らはその研究を任意の長さの数列に拡張し、ガワーズによる証明以来23年ぶりにこの問題における最初の進歩となった。ガワーズは、開始時の数のプールが大きくなるにつれて、数列を回避する集合が一定の割合で相対的に小さくなることを示していた。レン、サー、そしてソーニーは、これが指数関数的に速い割合で起こることを証明した。

「これは大きな成果です」と趙氏は言った。「これは信じられないほど難しい問題なので、学生には絶対に勧めません。」

数学者たちは、3人が新たな上限値を得るために用いた手法に、さらに興奮している。すべてがうまくいくためには、まずグリーン氏、カリフォルニア大学ロサンゼルス校（UCLA）のテレンス・タオ氏、ヘブライ大学のタマー・ジーグラー氏による、より古く、より技術的な結果を補強する必要があった。数学者たちは、この結果（ガワーズ理論の一種の精緻化）は、さらに改善できると考えている。「理論の理解が不完全なように感じます」とグリーン氏は述べた。「まだほんのわずかな影を見ているだけです。」

2月に証明を完了して以来、サーとソーニーは共に卒業した。しかし、二人の協力は未だに衰えていない。「彼らの驚くべき強みは、極めて技術的に要求の厳しいものを理解し、さらに改良していくことです」とチャオは語った。「彼らの総合的な業績のレベルは、いくら強調してもし過ぎることはありません。」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。