落ちるリンゴと周回する月の共通点は何でしょうか?

物を落とせば、それは落下します。これは誰もが何百回も目にしたことがある動きです。また、地球から見ると27.3日で地球の周りを一周する月もよく見かけます。落下と周回は全く異なる動きに見えるかもしれませんが、実はそうではありません！どちらも同じ物理学で説明できるのです。

アイザック・ニュートンがリンゴの落下によってこの関連性を発見したという有名な逸話があります。（おそらく真実ではないでしょうが、もしかしたら真実かもしれません。）それでも、彼の発見は驚くべきものなので、その過程を一つ一つ説明したいと思います。現代に生きる人にとっては当たり前のことのように思える概念も含まれていますが、このような知識の構築は容易ではなく、ニュートンもすべてを独力で解明したわけではありません。彼は、落下する物体の運動を研究したガリレオ、円運動する物体の影響を研究したロバート・フック、そして惑星と月の運動に関するアイデアを生み出したヨハネス・ケプラーのアイデアを基に、理論を構築しました。

落下物

まず、物体が落下するときに何が起こるかを考えてみましょう。紀元前3世紀、アリストテレスは質量の大きい物体は質量の小さい物体よりも速く落下すると主張しました。理にかなっているように聞こえませんか？これは私たちが実際に目にする現象と一致しているように思えます。石と羽根を同時に落とすことを想像してみてください。しかし、アリストテレスは実験で理論を検証することに熱心ではありませんでした。重い物体の方が速く落下するのは当然のことのように思えたのです。他の多くの哲学者と同様に、彼は机上の空論に基づいて結論を導き出すことを好みました。

アリストテレスは、物体は一定の速度で落下する、つまり速度が遅くなったり速くなったりしないという理論も立てました。おそらく、落下した物体は速く落下するため、肉眼で速度の変化を捉えるのは非常に難しいため、彼はこの結論に至ったのでしょう。

しかしずっと後になって、ガリレオ・ガリレイ（ファーストネームがかっこいいと思ったのでファーストネームで呼ばれた）が、速度を落とす方法を思いつきました。彼の解決策は、ボールを落とすのではなく、斜面を転がすことでした。ボールを少し傾けて転がすことで、何が起こっているのかがずっと分かりやすくなります。例えば、こんな感じです。

ボールが軌道を転がるにつれて、速度が増していくのが分かります。ガリレオは、ボールは最初の1秒間に一定量速度を増すと提唱しました。次の1秒間でも同じ速度で増加します。つまり、1秒から2秒の間に、ボールは最初の1秒間よりも長い距離を移動するということです。

そして彼は、角度を急にすると速度の増加がより大きくなると示唆しました。つまり、完全に垂直な斜面（落下する物体と同じ）にある物体も速度が増加するはずです。ところが、なんとアリストテレスは間違っていました！落下する物体は一定速度で落下するのではなく、速度が変化します。速度の変化率を加速度と呼びます。地球の表面では、落下した物体は毎秒9.8メートルの速度で下向きに加速します。

数学的には、加速度は速度の変化を時間の変化で割ったものとして表すことができます (ギリシャ記号 Δ は変化を示します)。

さて、重い物体はより速く落ちるというアリストテレスの考えも間違っていたかどうかを見てみましょう。

より質量の大きいボールを斜面から転がすとどうなるでしょうか？傾斜の角度が同じであれば、質量の小さいボールと同じように、ボールは転がりながら速度を増していきます。実際、ガリレオの実験では、質量に関わらず、どちらのボールも斜面の端に到達するのに同じ時間がかかり、斜面を転がり落ちる際の加速度も同じであることが示されています。

同じ高さから質量の異なる2つの物体を落とした場合も同様のことが言えます。2つの物体は同じ加速度で落下し、同時に地面に着地します。

実際、地球上では、ほとんどの落下物は同時に地面に着地します。簡単な実験として、テニスボールとバスケットボールを同じ高さから落としてみて下さい。バスケットボールはテニスボールの何倍もの質量がありますが、ほぼ同じタイミングで地面に着地します。信じられない場合は、スマートフォンのスローモーション動画機能を使ってみてください。

どうやらアリストテレスは再び間違っているようですが、なぜでしょうか？結局のところ、これは直感に反するように思えます。この二つの物体を同時に持つと、片方が重く感じられます。重力が重い方の物体をより強く引っ張るのは明らかです。では、なぜ二つの物体は同じ加速度で落下するのでしょうか？

地球上の物体は重力自体が同じなので、同じように落下する、とよく考えられます。しかし、必ずしもそうではありません。ニュートンはこの問題に対して、物体の加速度は重力の総和と物体の質量の両方に依存すると答えました。そして、物体に働く重力は物体の質量（質量 × g）とともに増大します。このことから、ニュートンの第二法則が導かれ、次のように表すことができます。

落下する物体にかかる唯一の力が重力であり、その力が質量に依存する場合、次の式が得られます。

この式では、G は 9.8 メートル/秒の値を持つ定数であり、これは地球表面上の物体の自由落下加速度です。

さて、「ほとんどの落下物」は「ほぼ」同時に地面に着地すると言ったことを覚えていますか？着地時刻がわずかに異なるのには理由があり、それは加速とは全く関係ありません。空気抵抗と呼ばれる力に関係しています。

走行中の車の窓から手を出せば、空気分子に手が衝突する際にこの力を感じることができます。これは後方に押す力で、物体の速度が増加するにつれて増大します。つまり、地球上で物体を落とすと、落下中に実際には2つの力が作用します。重力は下方向に引っ張り、空気抵抗は上方向に押し上げます。物体の質量と抗力の比は、落下速度に影響します。

テニスボールもバスケットボールも、その大きさに比べて重いです。そのため、どちらも空気抵抗を受けますが、重さに比べれば小さいものです。結局のところ、それぞれを押し上げる相対的な空気抵抗は、下向きに押し下げる重力に比べれば取るに足らないものです。落下速度に大きな違いはありません。

しかし、テニスボールを羽根のようなものに例えると、羽根はその大きさに比べて非常に軽いため、空気抵抗の影響がより大きくなります。羽根にかかる空気抵抗は、重力による下向きの力に十分に対抗できるため、羽根は落下時に加速せず、テニスボールより遅く着地することになります。

言い換えると、物体は質量に関係なく同じ加速度で落下しますが、それは空気抵抗がない場合のみです。

1971年、アポロ15号のミッション中、宇宙飛行士デビッド・スコットはこの考えを実証する素晴らしい実験を行いました。月には重力はありますが、空気がないため、空気抵抗はありません。彼は月面に立ったまま、ハンマーと羽根を同時に落としました。すると、両方とも同時に地面に落ちました。これは、アリストテレスが誤りで、ニュートンとガリレオが正しかったことを証明しました。空気抵抗をなくせば、すべての物体は同じ速度で落下するのです。

円運動

落ちるリンゴと月の関係を理解するために、まず月が地球の周りを約27日かけて一周するという事実から始めましょう。（完全な円軌道ではありませんが、かなり近いです。）

古代ギリシャの天文学者たちは、月の軌道半径についてかなり正確な値を持っていました。彼らの基本的な考え方は、月食の際に月に映る地球の影を観測することでした。影の大きさと月の大きさを比較する簡単な測定で、月までの距離が地球の半径の60倍であることを発見しました。この数字は後で重要になりますので、覚えておいてください。（ギリシャ人が地球の大きさについて示した値もかなり正確でした。）

しかし、円運動する物体と地球に落下する物体がどのように似ているのでしょうか？これは難しいので、まずは実演から始めましょう。勇気があれば、自分でやってみることができます。バケツに水を入れます。次に、バケツの取っ手を持ち、頭上で円を描くように振り回します。これを十分に速く行えば、水はバケツの中に留まります。なぜ落ちないのでしょうか？

なぜそうではないのかを示すために、もう一つ楽しいデモをご紹介します。回転台のような台の上にコップ一杯の水を置いて回してみましょう。水面は平らではなく、たるんだ糸のような放物線を描きます。その様子を写真でご覧ください。わかりやすいように、水に青い染料を加えています。

なぜ水面はこのような形になるのでしょうか？すべての水が同じ角速度で回転していると仮定できます。つまり、1回転でカップの縁に近い水は、中心に近い水よりも長い距離（より大きな円軌道）を移動する必要があるということです。つまり、水面の方が速く動いているということです。

さて、2つの水塊に注目してみましょう。1つは中心近く、もう1つは端近くにあります。表面では、残りの水はこれらの水塊を表面に対して垂直方向にしか押しません。表面が上向きに湾曲するにつれて、外側の水塊の下の水がそれを中心に向かって押します。図を以下に示します。

しかし、カップの中心に向かって水を押す力があるのなら、なぜ水は中心に向かって動かないのでしょうか。(もしそうなら、水はたるんだ放物線ではなく、ドームを描くはずです。) ニュートン以前は、17世紀の科学者ロバート・フックによる一般的な説明では、水の塊は釣り合い状態にある、つまり、1つの力が中心に向かって水を押すなら、別の力がそれを遠ざけるはずだ、というものでした。フックはこれを遠心力と呼びました。しかし、フックが知らなかったのは、円を描いて動く水は、実際は円の中心に向かって加速しているということです。その加速は、傾斜した斜面を転がり落ちるボールに似ています。この加速度の大きさは、物体(または水)の速度と円の中心からの距離の両方によって決まります。

何かが円運動を速く（v）するほど、加速度は大きくなります。また、円の半径（r）が小さいほど、加速度は大きくなります。

月の加速

月が地球の周りを円を描いて回っている場合、それは月が加速していることを意味します。月の軌道の大きさと速度さえ分かれば、この加速度を計算することができます。ギリシャ人は月の軌道半径を地球の半径の約60倍と妥当な値としていました。月が一周するのに27.3日かかるので、月の速度を求めることができます。それは円周距離を時間で割った値です。これは約1,000メートル/秒、つまり時速2,280マイルとなります。これを円運動する物体の加速度の式に当てはめると、0.0027メートル/秒の2乗となります。

さて、本当の関係性について考えてみましょう。月の加速度と地球表面への落下物体の加速度が、どちらも同じ相互作用によるものだとしたらどうでしょうか？月の軌道の加速度が0.0027 m/s ²であるのに対し、地球表面への落下物体の加速度は9.8 m/s ²と、なぜこれほど異なるのでしょうか？

ニュートンはこの問題に対し、物体にかかる重力を距離とともに減少させるという解決策を考案しました。重力は依然として物体の質量と地球の質量に依存していると仮定します。ニュートンの時代には、この測定は非常に困難でしたが、重力は地球の中心と物体の距離の2乗に反比例します。この距離をrとします。これは次の式で表すことができます。

この式において、Gは重力定数、M _Eは地球の質量です。ニュートンはどちらの値も知りませんでした。しかし、質量mの物体の場合、その加速度は次の式で表されるはずです。

さて、それでは何かしてみましょう。落下する物体の加速度と月の加速度を比率で比較してみましょう。

比率を使うのがいかに便利かお分かりいただけたでしょうか？重力加速度（G）や地球の質量（M _E）を知る必要はありません。それどころか、地球の半径（R _E）さえ知る必要がありません。つまり、地球上の物体の加速度は、月の加速度の60 ^{2倍になるということです。}

試してみましょう。月の加速度の計算値を使うと、次のようになります。

ええと、3,600にかなり近いですね（少し丸めました）。でも、これは確かに重力が距離とともに減少することを示唆しています。これはかなり重要なことです。地球の表面で作用する物理法則が、天空で作用する物理法則と同じであることを示しています。だからこそ、ニュートンの万有引力の法則と呼ばれるのです。

他の太陽系の天体についてはどうでしょうか?

ニュートンの重力モデル以前にも、太陽系内の物体の運動を予測する方法はいくつかありました。ヨハネス・ケプラーは、惑星の運動に関する既存のデータを用いて、以下の3つの惑星運動の法則を導き出しました。

• 惑星の軌道は楕円形の軌道を描きます。（そして、円は技術的には楕円です。）

• 惑星が太陽の周りを回ると、等しい時間で等しい面積を掃引するので、惑星は太陽に近づくにつれて速度が増します。

• 軌道周期 (T) と軌道距離 (技術的には軌道の長半径 a) の間には、 T ^{2 がa 3}に比例するという関係があります。

ニュートンは、自らの普遍法則がこれら3つの法則と一致することを証明することができました。彼の重力理論は、リンゴの落下、月の運動、そして太陽系の他の天体の運動を説明できました。そして、彼は万有引力定数Gの値さえ知らなかったことを思い出してください。

それは大きな勝利でした。それがなければ、天文学、ひいては宇宙探査が提起する大きな疑問を解くことは決してできなかったでしょう。衛星の公転周期から惑星の質量を計算することも、月に向かう宇宙船の軌道を計算することもできなかったでしょう。結局、人類を月に送ることはなく、デビッド・スコットが月で宇宙船を打ち上げる機会も得られなかったでしょう。