月面から月着陸船を打ち上げる物理学

^{NASA創立60周年}です。既に月面着陸を果たした組織には、どんな贈り物を贈ればいいでしょうか？再び月面に着陸できれば素晴らしいのですが、もしそれが叶わないのであれば、人類が最後に月面に降り立ったアポロ17号ミッションのビデオ分析をおすすめします。月着陸船が月面から離陸する映像を見てみましょう。

でも待ってください！人類が月を離れるなら、カメラを操作しているのは誰なのでしょうか？いい質問ですね。今回の場合、カメラを操作したのは打ち上げから約150メートル離れた月面探査車に搭載された遠隔操作カメラでした（詳細はこちらをご覧ください）。

さて、物理学の話に移りましょう。月着陸船の上昇段が月面を離れると何が起こるのでしょうか？ロケットを噴射し、月から加速して離れていきます（アポロ宇宙船とのランデブー軌道に入ります）。では、打ち上げ時の加速度はどれくらいでしょうか？それこそが私が測定しようとしているものです。そう、月に行くことなく、1972年に遡ることなく、加速度を測定するのです。ビデオ分析を用いて測定します。

動画分析って一体何？簡単に言うと、動画から位置と時間のデータを取得するプロセスのことです。動画内の物体のサイズ（例えば月着陸船の幅）がわかれば、ピクセルと距離の比率を計算できます。次に、フレームレートがわかれば、各フレームの時間（基本的にはフレーム数を数えること）を計算できます。これでだいたいの作業は終わりです。これで位置と時間のデータが得られます。あ、カメラのパンやズームも考慮する必要があるかもしれませんが、だからこそTracker Video Analysisのようなプログラムを使うのが便利です。

データを見てみましょう。ベース幅を30フィートと仮定してビデオのスケールを調整できます。その後、上昇ステージの垂直位置をプロットします。結果は以下の通りです。

月着陸船の加速度が一定であれば、位置と時間のグラフは放物線関数になるはずです。このデータに放物線を当てはめると加速度が得られます。これはtの2乗項の前の係数の2倍になります。つまり、宇宙船の垂直加速度は2.04 m/s ²となります。それほど大きな値ではありません。

データ全体の動きではなく、最初の部分にのみ放物線を当てはめていることに注意してください。これには理由があります。月着陸船が上昇するにつれて、カメラから遠ざかります。これは、見かけの大きさと動きのスケールが変化することを意味します。上のグラフでは、スケールは一定であると仮定しています。

また、宇宙船が背景の丘を過ぎると、動きを追えなくなることを指摘しておきます。背景と比較しなければ、カメラの動きやズームを補正することは不可能になります。しかし、もしかしたら（宿題で）何かできることがあるかもしれません。

宿題

上昇モジュールの加速度と質量（質量を推定するか、見つける）を使用した場合、打ち上げ時のロケットの強度（ニュートン単位）はどれくらいですか？
このレポートに基づいて、高度 11.5 km の月周回軌道を達成するために必要な速度を計算します。
宇宙船がロケットによって一定の加速度で加速していると仮定します。軌道に到達するには、これらのロケットをどれくらいの時間噴射する必要がありますか？
宇宙飛行士は上昇中にどの程度の重さを感じるのでしょうか?
カメラが月着陸船から150メートル（どこかでこの数字を見たような気がします）離れていると仮定します。カメラから月着陸船までの距離（表面に沿った距離）と月着陸船の角度高度を使って、垂直位置と時間の相関関係をより良くプロットします。実際、NASAの誰かがカメラの角度傾斜を時間の関数として持っているはずです。もしそれがわかれば、もっと本格的な研究ができるでしょう。
ビデオ解析を用いて、宇宙船の上昇時の見かけの角度の大きさを測定します。この値は、上昇中の高度と時間の関係を求めるための3つ目の方法として使用できます。
Python で 3D モデルを作成する最初の試みから、上昇中の加速度の値を使用します (Glowscript.org を使用します。実際には、これを自分で行うかもしれません)。

最後に、GIF画像をお見せします（プレゼントではありません）。これは、月着陸船の上昇の様子をカメラ補正した画像です。各フレームのサイズと位置を調整することで、「世界観」が一定になるようにしています。必須ではありませんが、かっこよく見えると思います。