空の飛行機ではなぜ座席を変更できないのか？

今日は最終便で、機内はかなり空いている。だから、翼に遮られることなく景色が楽しめる窓側の席がいくつかあるから、少し上の列に移動しようかな、なんて考えている。

ちょっと待って、バスター。客室乗務員が「ダメよ」って言うんだ。指定された座席に座らないと機体の重量配分が崩れるって。本当？普通サイズの人間一人動かしただけで何か変わるの？ああ、もうお分かりだろう。この質問に答えるには、ものすごい物理学が必要だ。さあ、始めよう！

重心

物体の重心は、重力のすべてが作用する場所だとよく言われます。これは妥当な定義であり、多くの物理学の問題を解くのに使えますが、厳密には正しくありません。実際、重力は物体の一点だけでなく、あらゆる部分を引っ張ります。

(補足: ここでは実際に質量の中心ではなく重心に注目しますが、地球上のような一定の重力場では質量の中心と重心は同じです。)

重心を本当に理解したいなら、トルクについて考える必要があります。ニュートンの第二法則を振り返ると、正味の力は物体の運動を変化させるとされています（F _net = 質量 × 加速度）。つまり、正味の力がゼロであれば、物体の運動は変化しません。物体が一定の速度で動いている場合は、その速度を維持し続けます。静止している場合は、静止し続けます。

ちょっとした実験をしてみましょう。平らなテーブルの上に鉛筆を置き、人差し指2本で、ちょうど真ん中あたりを反対側から押してみましょう。鉛筆はそのままそこに留まりますよね？同じ大きさで反対向きの力を加えているので、正味の力はゼロです。でも、このように押したらどうなるでしょうか？

押す力はニュートン（N）で測定されます。正味の力は依然としてゼロです。下向きに1ニュートン、上向きに1ニュートンを足してもゼロです。しかし、鉛筆は静止しているわけではなく、回転します。これは、正味のトルクがゼロではないためです。そうです、トルクは回転力のいとこのようなものです。トルク（τ）は、押す強さだけでなく、押す場所によっても異なります。次のように定義できます。

ここで、Fは作用する力、r は回転点から力が作用する距離、θ はrとFの間の角度です。何かを本当に回転させたい場合、必ずしも強く押す必要はなく、より遠い点（ rが大きい点）を押すだけでよいことがわかります。ドアの取っ手が蝶番の反対側にあるのはそのためです。もし取っ手がドアの真ん中にあったら、開けるのははるかに難しくなります。

慣例的に、物体を反時計回りに回転させる力は正のトルクで、時計回りに押す力は負のトルクを生み出すと言われています。

さて、次の状況を考えてみましょう。質量が非常に小さい棒（質量がない棒とも言える）の上に4つのボールがあるとします。これをx軸とし、回転軸の原点（O ）を固定点とします。ボールはそれぞれ質量が異なり、回転軸からの距離（ x ）も異なります。

それぞれのボールには、 m × gに等しい下向きの重力が作用します。ここで、 mは質量、gは重力場です。これらの力はすべて時計回り（負）のトルクを及ぼすため、それらを足し合わせると正味の重力トルクが得られます。

（ m _{1 は}x = 0のピボットポイントにあるため、トルクには全く寄与しません。）この棒状の物体を回転平衡状態にするには、重力の合計（重りの合計）に等しい力で押し上げなければなりません。しかし、この力はまさに正しい場所、つまりボールからの負のトルクに等しい正のトルクを生み出す場所に作用しなければなりません。まあ、これは難しくありません。それは質量の中心（x _cm）で、次のように計算できます。

つまり、これは本質的には加重平均です。もし質量が4つよりも多くある場合、この質量中心は次のように表すことができます。

さて、ここで重心のより良い定義を述べましょう。それは、重力に対抗する力を加えることができる点です。もし重力がその点にのみ作用するのであれば、結果は同じでしょう。

私たちがどこへ向かうのか分かりますか?

揚力と安定性

水平方向に等速度で飛行する飛行機を想像してみてください。等速度であれば、正味の力はゼロになります。飛行機と空気、そして地球の間の相互作用は、重力、揚力、推力、空気抵抗という4つの力で表すことができます。図を以下に示します。

揚力と重量に焦点を絞りましょう。重力は一点に作用すると近似できるので、揚力についても同じことが言えます。実際には、飛行機のあらゆる部分が空気と相互作用し、上向きの力を生み出します。しかし、同じ効果を得るために単一の力を加えることができる点を見つける方が簡単です。この点はしばしば揚力中心と呼ばれます。（つまり、重心と同じ意味になります。）

重力と揚力が同じ場所にある場合、これら2つの力による正味トルクはゼロとなり、飛行機は回転しません。しかし、飛行機の重心を前方に移動させたらどうなるでしょうか？

すると、正味トルクはゼロではなくなります。飛行機は機首を下げて回転しますが、これは一般的に航空旅行においては好ましくありません。重心が翼の後ろ（揚力中心の後ろ）にあると、飛行機は機首を上げてしまいます。ちょっと待ってください。ということは、重心が揚力中心の位置に正確に位置していなければならないということですか？ 実は、飛行機には揚力とトルクを生み出す別の部品があります。それは尾翼にあるスタビライザーと呼ばれる小さな翼です。つまり、重心が多少ずれても飛行機は飛行できるのです。

重心の変化の推定

簡単に試算してみましょう。飛行機の後方から前方に移動するとします。重心はどれくらい変化するでしょうか？ここでは、全長37メートル、質量65,000キログラムのボーイング737型機を仮定します。ここでもX軸を使い、原点は飛行機の元の重心とします。質量75キログラムの人間がx ₁ = -15メートルからスタートし、x ₂ = 10メートル（つまり、25メートルの差）の位置にある座席に移動したいとします。

飛行機が空席で、その人間を後部座席に乗せると、飛行機と人間の重心は1.7センチ後ろに下がります。大した変化ではありません。当然のことです。6万5000キログラムの飛行機に75キログラムの人間が乗っているのですから！ さて、その人はファーストクラスの近くまで移動します（ただし、ファーストクラスではありません。社会的な区別をしなければならないからです）。重心は前の位置から2.9センチ移動します。帝国の皆さんにとっては、1インチ強です。大したことではありません。

つまり、一人の動きが大した違いを生まないのは明らかです。しかし、一人を動かせるなら、全員を動かせなければなりません。それは当然のことです。10人が同じ動きをすると、重心は28.5センチメートル移動します。これは手に負えないかもしれません。おそらく最善の策は、「誰も動けない」というルールを作ることだと思います。