「火星人」スタイルの重力アシストは実際どのように機能するのか？

重力アシストとは一体何で、どのように機能するのでしょうか？最初の質問は簡単です。重力アシスト（重力スリングショットとも呼ばれます）とは、宇宙船が惑星を通過することで速度を上げる宇宙操縦のことです。重力アシストは減速や方向転換にも使えますが、今回は速度を上げることだけを考えてみましょう。

はい、この重力アシストは、ボイジャー1号と2号のような多くの宇宙船が太陽系の外縁部（そしてその先）へ脱出するために使用されました。また、映画（および小説）『オデッセイ』に登場するヘルメスのような架空の宇宙船でもこの操作が使用されました。実は、重力アシストへの私の興味はこのツイートから始まったんです。

さあ、やってみましょう。重力アシストについてご紹介します。

物理学で私たちが好むことの一つは、探求したい主要な概念を維持しながら、物事を可能な限り単純化することです。有名な「球形の牛」ジョークはここから来ています（まさに古典的です）。

重力アシストにおける物理学上の鍵となるのは、もちろん重力です。これは質量を持つ物体間の引力です。引力であるため、力の方向は常に2つの物体の中心を結ぶ線に沿って向きます。この重力の大きさは2つの質量の積に依存し、2つの物体間の距離（距離をrとします）の2乗に反比例します。これを方程式で表すと分かりやすくなります。次のようになります。

物体が惑星に近づくと、この重力が宇宙船を引っ張り、その動きを変えます。これは複雑なので、ここでは惑星に向かってまっすぐ進む物体との1次元的な相互作用を想定します。もちろん、この1次元モデルには2つの問題があります。まず、宇宙物体は惑星の表面に衝突してしまいます。これは重力アシストを得るための効率的な方法とは言えません。この問題は、惑星に実際の表面を与えないことで解決できます。これは簡単な解決策です。

惑星に表面がない場合、2つ目の問題が発生します。物体が惑星の中心を通り抜けるとどうなるでしょうか？その場合、物体と惑星の間の距離はゼロになり、重力は定義されません（ゼロで割るため）。この問題の解決方法を説明します。物体が惑星の表面に入ると、反対側に到達するまで重力はゼロになります。

これで、このモデルの準備が整いました。もちろん、普段はPythonを使っています。以下は実際に実行したコードです。リアルタイムで実行されているわけではないこと、そして宇宙オブジェクトは大きく表示されているので、その大きさがわかると思います。また、鉛筆アイコンを押してコードを確認（および編集）し、再生ボタンで実行することもできます。

これらの値を用いると、物体は1,000 m/sの速度で出発し、地球の反対側に到達すると1,011.86 m/sの速度で移動していることになります。はい、これはほぼ同じ速度です。単なる四捨五入の誤差（あるいはそれに似たもの）の違いです。

しかし、アニメーションは実際にはそれほど役に立ちません。システムのエネルギーを示すグラフはどうでしょうか。この相互作用では、考慮すべきエネルギーが3つあります。まず、宇宙船の運動エネルギーです。これは物体の質量と速度の両方に依存します。次に、惑星の運動エネルギーです。もし惑星が（今のところ）所定の位置に固定されているなら、運動エネルギーはゼロになります。最後に、重力による位置エネルギーです。これは2つの物体間の距離に依存しますが、物体が惑星の中にある間は、位置エネルギーは一定値になります。

ここでは同じ相互作用ですが、エネルギーと距離の関係をグラフに表しています。

物体が惑星に向かって移動すると、重力の影響でエネルギー（青い曲線）が増加していることに注目してください。惑星の内部に入ると、重力はなくなり（これは計算が狂うのを防ぐためです）、物体は一定速度で移動します。一方、重力は物体を後方に引っ張るので、物体の運動エネルギーは減少します。つまり、総エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギー）は一定です。当然のことです。

結局、重力アシストを受ける前とほぼ同じ速度になります。静止した惑星は実際にはほとんど何もしていません。まるで谷底に転がり落ちて、反対側から登り返ってくるようなものです。摩擦力（宇宙には存在しません）がなければ、エネルギーを得ることはできません。

動く惑星の場合はどうでしょうか？やってみましょう。こちらは、物体と同じ方向に、速度（初期値）の約20%で移動する惑星の同様のグラフです。宇宙物体の全エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギー）を表す線をもう1本追加しました。

この場合も、物体は1,000 m/sの速度でスタートしますが、最終的には1,280 m/sになります。確かに速度は上昇しました。総エネルギーを見ると、操作の終了時にも増加していることがわかります。物体が惑星の中にいる間にエネルギーがわずかに増加していることに注意してください。これは単なる四捨五入の誤差（大した問題ではありません）だと思います。この重力アシストは、動く谷を転がるボールのようなものです（確かに奇妙に思えますが）。しかし、動く谷は、ボールが斜面を転がり落ち、再び登る際に、ボールに少しのエネルギーを与えます。まさに上記の例のようです。

さて、重要な考え方です。エネルギーは保存されるのでしょうか？はい。物体のエネルギーが増加しても、総エネルギーは一定です。物体の運動エネルギーの増加は、惑星の運動エネルギーの減少と一致しています。これは惑星の速度が変化することを意味しますか？技術的にはそうですが、その量はごくわずかです。しかし、惑星の質量が非常に大きいため、惑星の速度のわずかな変化でさえ、エネルギーに大きな変化をもたらす可能性があります。

実際、この重力アシストは弾性衝突と全く同じです。ちょっと待ってください。はっきりさせておきましょう。これは完全に弾性的な衝突です。弾むボールが2つ衝突するのと同じです。弾性衝突を起こすには、2つの条件を満たす必要があります。まず、運動量の合計が一定である必要があります。運動量は、2つの物体の質量と速度の積です。物体には重力しか作用していないため、一方の物体の運動量の変化は、もう一方の物体の反対方向の運動量の変化に等しくなります。

完全弾性衝突の2つ目の条件は、「衝突」の「前」と「後」で総運動エネルギーが同じになることです。はい、これらの言葉を引用符で囲んだのには理由があります。2つの物体が離れているとき（ここで「離れている」とは相対的なものです）の運動エネルギーの合計を計算すると、運動エネルギーは保存されます。系の重力による位置エネルギーは物体間の距離とともに減少するため、離れているとゼロに近づきます。しかし、物体が近い間は大きな位置エネルギーが存在するため、運動エネルギーは保存されません。しかし、それでも本質的には完全弾性衝突です。この衝突では、宇宙物体の運動エネルギーが増加し、惑星の運動エネルギーが減少して、総エネルギーが保存されます。ちょっと待ってください。衝突しないのに、どうして衝突と言えるのでしょうか？弾性衝突の物理学では、一方の物体に働く力が、もう一方の物体に働く力と等しく、かつ反対方向であることが求められます。この相互作用は重力によるものなので、その要件は簡単に満たされます。衝突の必要はありません。

先ほどのTwitterの質問にお答えした方がいいかもしれません。もし惑星が「固定」されて動かなくなったらどうなるでしょうか？それでも重力アシストは得られるのでしょうか？難しい質問ですね。なぜなら、どうやって惑星を静止させるのでしょうか？太陽の重力と釣り合う何らかの外力が必要になります。しかし、惑星が静止してしまっては、そこからエネルギーを奪うことはできず、重力アシストも得られません。

ということは、惑星に十分接近する宇宙船があれば、その惑星の周回軌道を止めて太陽に衝突させることができるということでしょうか？技術的には可能です。しかし、大型の宇宙船でさえ、その質量は惑星よりもはるかに小さくなります。地球の質量は10の24^乗キログラム程度であることを思い出しましょう。物体がそれに近い質量を持つことはあり得ません。そうそう、木星のような惑星は地球の約300倍の質量を持つこともあります。

次のステップはどうでしょうか。より現実的な重力アシストはどうでしょうか。物体が惑星とまったく同じ方向に移動していない場合はどうでしょうか。その場合は少し複雑になります。宇宙船の速度が変化するだけでなく、方向も変化します。最適な速度ブーストを与えるためのアプローチ角度を見つけるのはそれほど簡単ではありません (それが目的であれば)。しかし、おそらく 2D の重力アシストを調査する最良の方法は、実際に 1 つ実行してみることです。宇宙に行く必要はなく、代わりに数値計算を行うことができます。実際、上記のコードは 2D でも動作します。惑星を別の場所に移動し、異なる開始速度ベクトルを与えても、重力アシストを得ることができます。さあ、宿題として試してみてください。いろいろ試して、どの開始アプローチベクトルが最高の速度ブーストを与えるかを確認してください。楽しいと思います。

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