アンチエイジングの専門家が数十年来の数学の問題を解決する

1950年、当時シカゴ大学の学生だったエドワード・ネルソンは、数学者を何十年も悩ませる、一見単純な問いを投げかけました。彼はこう言いました。「グラフを想像してみてください。点の集合が線で結ばれています。すべての線の長さが正確に同じで、すべてが平面上にあることを確認してください。次に、すべての点に色を塗り、2つの点が同じ色にならないようにしてください。」ネルソンはこう問いました。「このようなグラフ、たとえ無限の頂点を結んでできたグラフであっても、色を塗るのに必要な色の最小数はいくつでしょうか？」

現在では「ハドヴィガー・ネルソン問題」、あるいは平面の彩色数を求める問題として知られるこの問題は、多くの数学者の関心を惹きつけてきました。その中には、多作な業績で知られるポール・エルデシュも含まれています。研究者たちはすぐに可能性を絞り込み、無限グラフは4色以上7色以下で彩色できることを発見しました。その後数十年にわたり、他の研究者たちがいくつかの部分的な結果を証明しましたが、誰もこの限界を変えることはできませんでした。

そして先週、現代人は1000歳まで生きるという主張で知られる生物学者オーブリー・デ・グレイ氏が、科学論文プレプリントサイトarxiv.orgに「平面の彩色数は少なくとも5」というタイトルの論文を投稿した。この論文の中で、デ・グレイ氏は4色だけでは色分けできない単位距離グラフの構築について述べている。この発見は、この問題が提唱されて間もなく、解決に向けた最初の大きな進歩となる。「私は非常に幸運でした」とデ・グレイ氏は語る。「60年も前の問題の解決策を誰かが思いつくなんて、そうそうあることではありませんから」

デグレイは、数学の先駆者とは思えない人物だ。彼は「老化の悪影響を逆転させる」技術の開発を目指す組織の共同設立者兼最高科学責任者だ。平面の彩色数問題への道は、ボードゲームを通して開いた。数十年前、デグレイはオセロの競技プレイヤーとして活躍し、同じくオセロに熱中する数学者たちと出会った。彼らからグラフ理論を教わり、彼は時折グラフ理論に戻ってくる。「たまに、本業から少し休みたい時は、数学について考えます」と彼は言う。昨年のクリスマス、彼はまさにその機会に恵まれた。

アマチュア数学者が長年の未解決問題で大きな進歩を遂げるのは珍しいことですが、全く例がないわけではありません。1970年代、数学の知識を持たない主婦のマージョリー・ライスは、Scientific American誌のコラムで、平面を敷き詰める五角形についての記事を偶然見つけました。彼女は最終的に、リストに4つの新しい五角形を追加しました。エルサレム・ヘブライ大学の数学者、ギル・カライ氏は、非専門家の数学者が大きな進歩を遂げるのを見るのは喜ばしいことだと述べています。「数学の経験の様々な側面に、まさに新たな発見が加わるのです」と彼は言います。

グラフ彩色問題の中で最も有名なのは、おそらく四色定理でしょう。これは、すべての国が一つの連続した塊であると仮定すると、隣接する二つの国が同じ色にならないように、あらゆる地図を四色だけで彩色できるというものです。国の正確な大きさや形は重要ではないため、数学者はこの問題をグラフ理論の世界に当てはめることができます。つまり、すべての国を頂点として表し、対応する国が国境を接している場合、二つの頂点を辺で結ぶのです。

ハドヴィガー・ネルソン問題は少し異なります。地図のように有限個の頂点を考えるのではなく、平面上の各点に1つずつ、無限個の頂点を考えます。2点が辺で結ばれるのは、ちょうど1単位離れている場合です。彩色数の下限を求めるには、特定の色数を必要とする有限個の頂点を持つグラフを作成すれば十分です。これがド・グレイが行ったことです。

ド・グレイは、数学兄弟のレオ・モーザーとウィリアム・モーザーにちなんで名付けられた「モーザースピンドル」と呼ばれる装置を基にグラフを作成しました。これはわずか7つの点と11の辺で構成され、彩色数は4です。ド・グレイは、繊細なプロセスと最小限のコンピュータ支援によって、モーザースピンドルのコピーと別の小さな点の集合を融合させ、4色で彩色できない20,425頂点の巨大なグラフを作成しました。後に彼はこのグラフを1,581頂点に縮小し、コンピュータによる検証によって4色で彩色できないことを確認しました。

5色を必要とするグラフの発見は大きな成果でしたが、数学者たちは、同じ条件を満たすより小さなグラフを見つけられるかどうかを探りました。おそらく、より小さな5色グラフ、あるいは可能な限り小さな5色グラフを見つけることで、研究者はハドウィガー・ネルソン問題への理解を深め、平面上のすべての点からなるグラフを彩色するにはちょうど5色（あるいは6色、あるいは7色）あれば十分であることを証明できるでしょう。

デ・グレイは、5色グラフの最小値を求める問題を、カリフォルニア大学ロサンゼルス校の数学者テレンス・タオに、Polymathの潜在的な問題として提案しました。Polymathは約10年前、ケンブリッジ大学の数学者ティモシー・ガワーズが、数学分野における大規模なオンライン共同研究を促進する方法を模索したことから始まりました。Polymathの問題への取り組みは公開されており、誰でも参加できます。最近、デ・グレイはPolymathの共同研究に参加し、双子素数問題の大きな進展につながりました。

タオ氏によると、すべての数学問題がPolymathに適しているわけではないが、de Grey氏のPolymathにはいくつかの利点がある。問題は理解しやすく、取り組み始めるのも容易で、成功の明確な尺度がある。それは、4色に着色できないグラフの頂点数を減らすことだ。ほどなくして、オハイオ州立大学の数学者ダスティン・ミクソン氏と共同研究者のボリス・アレクセーエフ氏は、頂点数が1,577のグラフを発見した。土曜日には、テキサス大学オースティン校のコンピュータ科学者マライン・ホイレ氏が、頂点数がわずか874のグラフを発見した。そして昨日、彼は頂点数を826にまで減らした。

こうした研究は、60年前のハドウィガー・ネルソン問題に再考する価値があるという希望を生み出している。「このような問題の場合、最終的な解はとてつもなく奥深い数学になるかもしれません」と、西オーストラリア大学の数学者ゴードン・ロイル氏は述べた。「あるいは、多くの色を必要とするグラフを発見した誰かの創意工夫に過ぎないかもしれません。」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。