1779年、スイスの数学者レオンハルト・オイラーは、後に有名になるパズルを提起しました。6つの陸軍連隊には、それぞれ6人の異なる階級の将校がいます。36人の将校を、どの行や列にも階級や連隊が重複しないように、6×6の正方形に配置することは可能でしょうか？
5つの階級と5つの連隊、または7つの階級と7つの連隊の場合、このパズルは簡単に解けます。しかし、将校が36人の場合の解法を探したが見つからず、オイラーは「そのような配置は不可能だが、厳密な証明はできない」と結論付けました。それから1世紀以上後、フランスの数学者ガストン・タリーは、オイラーの36人の将校を6×6の正方形に重複なく配置する方法は実際には存在しないことを証明しました。1960年、数学者たちはコンピューターを用いて、連隊と階級が2つ以上であれば、奇妙なことに6つを除いて、解が存在することを証明しました。
同様のパズルは2000年以上もの間、人々を魅了してきました。世界中の文化圏で、各行と各列に同じ合計になる数字の配列である「魔方陣」や、各行と各列にそれぞれ一度ずつ現れる記号で埋め尽くされた「ラテン方陣」が作られてきました。これらの方陣は、芸術や都市計画、そして単なる娯楽として利用されてきました。人気のラテン方陣の一つである数独には、同じ記号が繰り返されない部分方陣があります。オイラーの36将校パズルは、「直交ラテン方陣」を求めており、階級や連隊といった2つの特性が同時にラテン方陣の規則を満たします。
5×5のグリッドに、5つの異なるランクと5つの異なる色のチェスの駒を配置し、行や列で同じランクや色が重複しないようにすることができます。イラスト：サミュエル・ベラスコ/クォンタ・マガジン
オイラーはそのような6×6の正方形は存在しないと考えていたが、最近状況は一変した。インドとポーランドの量子物理学者グループが、オンライン掲載されPhysical Review Letters誌に投稿した論文で、36人の将校をオイラーの基準を満たすように配置することが可能であることを実証した。ただし、将校の階級と連隊が量子的に混在している必要がある。この成果は、魔方陣やラテン方陣の量子版パズルを開発する一連の研究における最新の成果であり、単なる遊びではなく、量子通信や量子コンピューティングへの応用も期待されている。
「彼らの論文はとても素晴らしいと思います」と、この研究には関わっていないインスブルック大学の量子物理学者、ジェマ・デ・ラス・クエバス氏は述べた。「そこには量子の魔法が詰まっています。それだけでなく、論文全体を通して、彼らが問題に注ぐ愛情が感じられます。」
量子パズルの新時代は、ケンブリッジ大学のジェイミー・ビカリー氏とその学生ベン・ムスト氏がラテン方陣に現れる要素を量子化できるというアイデアを思いついた2016年に始まった。
量子力学では、電子などの物体は、複数の可能な状態の「重ね合わせ」状態をとることができます。例えば、あちこちの状態、あるいは磁気的に上下に向いている状態などです。（量子物体は測定されるまでこの中間状態にあり、測定された時点で一つの状態に落ち着きます。）量子ラテン方陣の要素も、量子重ね合わせ状態をとることができる量子状態です。数学的には、量子状態は矢印のように長さと方向を持つベクトルで表されます。重ね合わせとは、複数のベクトルを組み合わせることで形成される矢印のことです。ラテン方陣の各行と各列の記号が重複してはならないという要件と同様に、量子ラテン方陣の各行または各列の量子状態は、互いに直交するベクトルに対応している必要があります。
量子ラテン方陣は、その特異な性質に興味を持つ理論物理学者や数学者のコミュニティに急速に受け入れられました。昨年、フランスの数理物理学者イオン・ネチタとジョルディ・ピエは、量子版の数独、SudoQを開発しました。SudoQでは、0から9までの整数の代わりに、行、列、そしてサブマスそれぞれに9本の垂直ベクトルが存在します。
これらの進歩を受けて、ポーランドのヤギェウォ大学のポスドク研究員アダム・ブルチャート氏とその同僚たちは、36人の将校に関するオイラーの古い謎を再検討することになった。彼らは、オイラーの将校が量子化されたらどうなるだろうか、と考えた。
この問題の古典的なバージョンでは、各エントリーは明確に定義された階級と連隊を持つ将校です。36人の将校をカラフルなチェスの駒と考えると分かりやすいでしょう。駒の階級はキング、クイーン、ルーク、ビショップ、ナイト、ポーンで、連隊は赤、オレンジ、黄、緑、青、紫で表されます。しかし、量子バージョンでは、将校は階級と連隊の重ね合わせから構成されます。例えば、将校は赤のキングとオレンジのクイーンの重ね合わせになることもあります。
重要なのは、これらの将校を構成する量子状態が、異なる実体間の相関関係である「エンタングルメント」と呼ばれる特別な関係を持っていることです。例えば、赤のキングがオレンジのクイーンとエンタングルメントされている場合、キングとクイーンが両方とも複数の連隊の重ね合わせ状態にあるとしても、キングが赤であることを観察すれば、クイーンがオレンジであることが即座にわかります。エンタングルメントの特殊な性質により、各線上の将校はすべて垂直になることができます。
理論は機能しているように見えたが、それを証明するために、著者らは量子将校で満たされた6行6列の配列を構築する必要があった。膨大な数の配置やエンタングルメントが考えられるため、コンピューターの助けに頼らざるを得なかった。研究者らは、古典的な近似解（行または列に階級と連隊の繰り返しが数回しかない36人の古典的な将校の配置）を代入し、真の量子解に向かって配置を微調整するアルゴリズムを適用した。このアルゴリズムは、ルービックキューブを力ずくで解くのと少し似ており、最初の行を固定し、次に最初の列、2番目の列…と固定していく。このアルゴリズムを何度も繰り返すと、パズルの配列は真の解にどんどん近づいていった。最終的に、研究者らはパターンを見て、残りのいくつかのエントリを手で埋めることができる点に到達した。
ある意味では、オイラーは間違っていたことが証明された。もっとも、18世紀に彼が量子役員の可能性について知ることはできなかっただろうが。
「彼らはこの問題に終止符を打ちました。それだけでも素晴らしいことです」とネチタは言った。「とても美しい結果ですし、その方法も気に入っています。」
共著者でチェンナイにあるインド工科大学マドラス校の物理学者スハイル・ラザー氏によると、彼らの解の驚くべき特徴の一つは、士官階級は隣接する階級（キングとクイーン、ルークとビショップ、ナイトとポーン）と、連隊は隣接する連隊とのみ絡み合っているという点だ。もう一つの驚きは、量子ラテン方陣の項に現れる係数だった。これらの係数は、基本的に重ね合わせにおいて異なる項にどの程度の重みを与えるべきかを示す数値である。興味深いことに、アルゴリズムが到達した係数の比はΦ、つまり1.618…、有名な黄金比だった。
また、この解は「絶対最大エンタングルメント状態」（AME）と呼ばれるもので、量子エラー訂正（データが破損した場合でも存続するように量子コンピュータに情報を冗長的に格納する方法）を含む、多くのアプリケーションで重要であると考えられている量子オブジェクトの配置です。AME では、量子オブジェクトの測定値間の相関は可能な限り強くなります。アリスとボブがエンタングルメントされたコインを持っていて、アリスがコインを投げて表が出た場合、ボブが裏であることをアリスは確実に知ることができ、その逆もまた同様です。2 枚のコインは最大エンタングルメントできますが、3 枚も最大エンタングルメントできますが、4 枚はできません。キャロルとデイブがコイン投げに参加した場合、アリスはボブが何を得るか決して確信できません。
しかし、新たな研究では、コインではなく、4つのサイコロをエンタングルメントしたセットがあれば、最大限にエンタングルメントできることを証明しました。6面サイコロの配置は、6×6の量子ラテン方陣に相当します。この解に黄金比が含まれていることから、研究者たちはこれを「黄金AME（Golden AME）」と名付けました。
「これは非常に非自明なことだと思います」とデ・ラス・クエバス氏は述べた。「単に存在しているというだけでなく、その状態を明示的に提供し、分析しているのです。」
研究者たちはこれまで、古典的な誤り訂正符号を出発点として、類似の量子版を見つけることで、他のAMEを考案してきました。しかし、今回発見された黄金のAMEは、古典的な暗号に類似するものがなく、これまでとは異なります。Burchardt氏は、これが新しいクラスの量子誤り訂正符号の最初のものになる可能性があると考えています。しかし、黄金のAMEが唯一無二のものであれば、同様に興味深いものになるかもしれません。
編集者注：この記事の著者は、量子ラテン方陣に関する論文が投稿されている Physical Review Letters誌の編集者と親戚関係にあります。両者は論文について議論していません。
オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。
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