ロックダウン中、数学者たちが難解な幾何学の謎を解く

3月中旬、数学者のジョシュア・グリーンとアンドリュー・ロブは、同じ状況に陥りました。ロックダウンされ、新型コロナウイルス感染症のパンデミックが家の外で拡大する中、適応に苦慮していました。彼らは研究に没頭することで、この状況に対処することを決意しました。

「パンデミックは本当に刺激的だったと思います」と、ボストンカレッジの教授であるグリーン氏は語る。「私たちはそれぞれ、自分たちを支えていくために、何らかのコラボレーションに頼るのが最善だと判断したのです。」

二人の友人が調べた問題のうちの 1 つは、幾何学における 1 世紀も前の未解決問題のバージョンでした。

「この問題は言うのも理解するのも簡単ですが、実際には難しいのです」とワシントン・アンド・リー大学のエリザベス・デニー氏は言う。

それは閉ループ、つまり出発点で終わるあらゆる種類の曲線経路から始まります。グリーンとロブが取り組んだ問題は、基本的に、そのような経路はすべて、任意の比率の長方形の頂点を形成する4点の集合を含むと予測します。

この「長方形の釘問題」は、高校の幾何学の生徒が定規とコンパスで解くような類の問題のように思えますが、数学者たちの懸命な努力にもかかわらず、何十年も解決されていませんでした。そして、グリーンとロブがこの課題に取り組んだとき、彼らは自分たちがもっとうまく解けると期待する特別な理由はありませんでした。

グリーン氏は、自分が取り組んでいたさまざまなプロジェクトの中で、「これはおそらく最も見込みの薄いものだったと思います」と語る。

しかし、パンデミックが急増する中、イギリスのダラム大学と沖縄科学技術大学院大学に所属するグリーン氏とロブ氏は、毎週Zoom会議を開き、次々と知見を共有しました。そして5月19日、世界各地で経済活動の再開が始まった頃、彼らは独自の方法で解決策を提示しました。

彼らの最終的な証明は、予測された長方形が実際に存在することを示しており、この問題を全く新しい幾何学的設定へと移し替えるものである。そこで、この難問は容易に解決される。

「ちょっと奇妙な話ですね」とブラウン大学のリチャード・シュワルツ氏は言う。「まさにこの問題にぴったりのアイデアだったんです。」

長方形の再考

長方形の釘問題は、1911年にドイツの数学者オットー・テプリッツが提起した問題から派生したものです。彼は、任意の閉曲線には4つの点があり、それらを結べば正方形を形成できると予測しました。彼の「正方形の釘問題」は未だに未解決です。

「これは誰も解決できなかった古くて厄介な問題です」とグリーン氏は言う。

この問題がなぜそれほど難しいのかを理解するには、四角い釘問題が扱う曲線の種類について知っておくことが重要であり、これは Greene と Lobb の証明にとっても重要です。

二人は、連続かつ滑らかな閉曲線に関する問題を解きました。連続とは、途切れがないことを意味します。滑らかとは、角がないことを意味します。滑らかで連続した曲線は、鉛筆と紙を用意して座って描くような曲線です。「描きやすい」とグリーン氏は言います。

滑らかで連続的な曲線は、単に連続しているだけで滑らかではない曲線、つまりテプリッツの四角い釘予想に特徴的なタイプの曲線とは対照的です。この種の曲線には、突然異なる方向に曲がる角が存在することがあります。多くの角を持つ曲線の代​​表的な例として、フラクタルなコッホの雪片が挙げられます。これは実際には角だけでできています。コッホの雪片やそれに似た曲線は、微積分や関連する手法を用いて解析することができないため、研究が特に困難です。

「連続した（滑らかでない）曲線の中には本当に厄介なものもある」とデン氏は言う。

しかし、ここでもグリーンとロブが解いた問題は、滑らかで連続的な曲線に関するものでした。そして、そのような曲線が常に正方形を形成する4点を持つかどうか（これは滑らかで連続的な曲線については1929年に既に解決済み）を判断するのではなく、彼らはそのような曲線が常にあらゆる「アスペクト比」、つまり辺の長さの比を持つ長方形を形成する4点の集合を持つかどうかを調べました。正方形のアスペクト比は1:1ですが、多くのハイビジョンテレビでは16:9です。

長方形のペグ問題における最初の大きな進歩は、1970年代後半にハーバート・ヴォーンが証明したことで達成されました。この証明は長方形の幾何学に関する新たな考え方を生み出し、後にグリーンやロブを含む多くの数学者に採用される手法を確立しました。

「この証明は誰もが知っています」とグリーン氏は言う。「一種の伝承のようなもので、談話室で昼食を囲んでの議論で知るような類のものです。」

ヴォーンは長方形を 4 つの連結された点として考えるのではなく、互いに特定の関係を持つ 2 組の点として考えました。

左上から時計回りに頂点ABCDとラベル付けされた長方形を想像してください。この長方形において、長方形の対角線上の2点AC間の距離は、もう一方の対角線上の2点BD間の距離と同じです。また、2つの線分は中点で交差します。

閉ループ上の長方形を探す場合、そのループ上で同じ性質を持つ点のペアを探すのが一つの方法です。つまり、同じ中点を持つ等しい長さの線分を形成する点のペアです。そして、それらを見つけるには、体系的な考え方を身につけることが重要です。

それが何を意味するのか理解するために、もっと簡単な例から始めましょう。標準的な数直線を取り上げます。その上の2つの点、例えば7と8を選び、それらをxy平面(7, 8)に1つの点としてプロットします。同じ点のペアも許されます(7, 7)。次に、数直線から抽出できるすべての可能な数のペアを考えてみましょう（膨大な数です！）。これらの点のペアをすべてプロットすると、2次元のxy平面全体が埋まってしまいます。言い換えると、xy平面は数直線上のすべての点のペアを「パラメーター化」、つまり整然と集めていると言えます。

ヴォーンは、閉曲線上の点のペアについても同様のことを行いました。（数直線と同様に1次元ですが、自身にも曲がる点が異なります。）彼は、曲線から点のペアを取り、どの点がx座標でどの点がy座標であるかを気にせずにプロットすると、平坦なxy平面が得られないことに気付きました。代わりに、驚くべき形状が得られます。メビウスの帯、つまり1辺しかない2次元面です。

ある意味、これは理にかなっています。その理由を理解するために、曲線上の2つの点を選び、それぞれxとyとラベルを付けます。次に、曲線の一方の円弧に沿ってxからyへ移動し、同時に、曲線のもう一方の円弧に沿って y から x へ移動します。そうすることで、曲線上のすべての点のペアを、順序のないペア ( x , y ) で始まり、終わります。しかし、この移動の途中で、方向が反転した状態で、出発点に戻ります。この順序のない点の向きが反転するループが、メビウスの帯の核を形成します。

このメビウスの帯は、数学者に長方形のペグ問題を解くための新たな解析対象を提供します。そしてヴォーンはこの事実を用いて、このような曲線はすべて長方形を形成する少なくとも4つの点を含むことを証明しました。

4次元の答え

グリーンとロブの証明はヴォーンの研究に基づいていました。しかし、いくつかの追加的な結果も組み合わされており、その中にはごく最近になって初めて得られたものもありました。最終的な証明は、彼らが望んだ結果を生み出すためにまさに適切なアイデアの組み合わせを備えた精密機器のようなものです。

彼らの証明の最初の大きな要素の一つは、2019年11月にプリンストン大学の大学院生、コール・ヒューゲルマイヤーが、ヴォーンのメビウスの帯を解析する新しい手法を紹介する論文を発表した時に現れました。この研究には、埋め込みと呼ばれる数学的プロセスが用いられました。埋め込みとは、ある物体を幾何学的空間に移植するものです。グリーンとロブは最終的にヒューゲルマイヤーの手法を採用し、それをさらに別の幾何学的空間に移植しました。しかし、彼らが何をしたのかを理解するには、まず彼が何を行ったのかを理解する必要があります。

埋め込みとは何かを示す簡単な例を以下に示します。

• まず、1次元の直線から始めましょう。直線上の各点は、1つの数値で定義されます。次に、その直線を2次元空間に「埋め込み」ます。つまり、平面上にグラフ化するだけです。

• 直線をxy平面に埋め込むと、直線上の各点は2つの数値、つまり平面上の正確な位置を示すx座標とy座標で定義されます。この設定により、2次元幾何学の手法を用いて直線を解析できるようになります。

ヒューゲルマイヤーのアイデアは、メビウスの帯に対して同様のことを行うというものでした。ただし、メビウスの帯を 4 次元空間に埋め込み、4 次元幾何学の特徴を使用して長方形に関する必要な結果を証明できるようにするというものでした。

「基本的には、メビウスの帯があり、その上の各点に4つの座標を割り当てます。各点に4次元空間における一種の住所を与えるのです」とロブは言う。

ヒューゲルマイヤーは、曲線上の長方形を見つけるという全体的な目標達成に特に役立つような方法でこれらの住所を作成しました。郵便番号と同様に、曲線上の各点に州、都市、通りの名前、番地を割り当てたと考えることができます。

これを実現するために、彼はメビウスの帯上の特定の点から始め、それが表す元の閉曲線上の2点に注目しました。そして、その2点の中点を求め、そのx座標とy座標を決定しました。これが4次元の住所の最初の2つの値です（州と市と考えてください）。

次に、彼は曲線上の元の2点間の直線距離を測りました。この距離は4次元住所（通りの名前と考えてください）の3番目の値になりました。最後に、元の2点を通る直線がX軸と交わる角度を計算しました。この角度は4次元住所（通りの番号と考えてください）の4番目の値になりました。これら4つの値は、曲線上の2点について事実上すべてを教えてくれます。

この試みは複雑に見えるかもしれないが、ヒューゲルマイヤーにとってすぐに成果をもたらした。彼は埋め込まれたメビウスの帯を回転させた。ブロックを目の前に持ち、それを少し左にひねるのをイメージするのと同じような感じだ。回転したメビウスの帯は元の帯からずれていたため、2つのコピーは互いに交差した。（回転は4次元空間で行われるため、2つのメビウスの帯がどのように重なり合うかを正確に視覚化するのは難しいが、数学的には容易に理解できる。）

この交差は極めて重要でした。メビウスの帯の2つのコピーが重なる箇所には必ず、長方形の4つの頂点を形成する元の閉曲線上の2組の点が見つかるからです。

なぜ？

まず、長方形は、中点を共有し、等距離にある2組の点として考えることができることを覚えておいてください。これはまさに、埋め込まれたメビウスの帯上の各点に割り当てられた4次元アドレスの最初の3つの値にエンコードされた情報です。

第二に、メビウスの帯を4次元空間で回転させることで、各点の4座標の住所のうち1つの座標のみを変更することが可能です。これは、あるブロックにあるすべての家の番地を変更しても、通り名、市、州は変更しないようなものです。（より幾何学的な例として、ブロックを目の前に持って右に移動すると、 X座標のみが変わり、Y座標とZ座標は変わらないことを考えてみてください。）

フーゲルマイヤーは、メビウスの帯を4次元空間で回転させる方法を説明した。回転によって、点対の中点を表す2つの座標と、点対間の距離を表す座標は変化しない。回転によって変化するのは、点対間の線分の角度を表す最後の座標のみである。

その結果、回転したメビウスの帯と元のメビウスの帯の交点は、閉曲線上の同じ中点を持ち、同じ距離だけ離れた2つの異なる点の組と正確に一致しました。つまり、交点は曲線上の長方形の4つの頂点と正確に一致したのです。

2 つの空間の交差点を使用して探している点を見つけるこの戦略は、正方形および長方形のペグ問題の研究で長い間使用されてきました。

「それらの空間が交差するところに、探しているものがあるんです」とデンネは言う。「四角い釘問題の歴史における証明の多くは、まさにその考えに基づいています。」

フーゲルマイヤーは交差戦略を4次元の設定に用い、それ以前の誰よりも多くの成果を挙げました。メビウスの帯は0度から360度までの任意の角度で回転することができ、その回転の3分の1で元の帯と回転後の帯が交差することを証明しました。この事実は、閉曲線上では、考えられるすべてのアスペクト比の3分の1を持つ長方形が存在する、という主張と等価です。

「メビウスの帯を4次元空間に配置することを考え、4次元の技術を活用すべきだと気付いたコール氏に感謝します」とグリーン氏は言う。

同時に、ヒューゲルマイヤーの結果は挑発的でした。4 次元空間が問題解決にそれほど有効な手段であるならば、なぜ長方形全体の 3 分の 1 にしか有効ではないのでしょうか。

「残りの3分の2は、どうせ手に入れられるはずだよ」とグリーンは言う。「でも、どうやって？」

シンプレクティックを保つ

パンデミックによるロックダウンが始まる前から、グリーン氏とロブ氏は長方形のペグ問題に関心を抱いていました。2月、ロブ氏は沖縄科学技術大学院大学で会議を主催し、グリーン氏も出席しました。二人は数日間この問題について話し合いました。その後、1週間の東京観光でも会話を続けました。

「私たちは問題について話し合うのをやめませんでした」とロブは言う。「レストランやカフェ、美術館などに行き、時折、その問題について考えていました。」

彼らはそれぞれの自宅に閉じ込められた後も会話を続けた。彼らの望みは、メビウスの帯をあらゆる方向に回転させても交点が存在することを証明することだった。これは、あらゆるアスペクト比を持つ長方形を見つけられることを証明することと同義である。

4月中旬、彼らはある戦略を思いつきました。それは、ストリップを特殊な4次元空間に埋め込むというものでした。通常の埋め込みでは、埋め込まれた物体を好きなように配置できます。1次元の閉ループを2次元平面に埋め込むことを考えてみてください。その方法は、テーブルの上に紐の輪を配置するのと同じくらい無限です。

しかし、ループを埋め込む2次元面に何らかの構造があると仮定しましょう。例えば、地球上の各地点における風の方向と速度を示す矢印（ベクトルと呼ばれる）が重ねられた地図を想像してみてください。これで、各地点に追加情報、つまり構造が付与された2次元面が完成します。

次に、1 次元の閉ループがこのマップに埋め込まれる必要があるという制限を課して、埋め込まれている矢印の方向に常に従うようにすることができます。

「制約とは、これらのベクトルに沿う曲線を描こうとすることです」とシュワルツ氏は言う。これで、ループ状の紐を配置する方法は大幅に減った。

他の種類の幾何学的空間は、他の種類の制約について考えることを可能にします。グリーンとロブの研究で重要と証明されたのは、シンプレクティック空間と呼ばれるものです。

この種の幾何学的設定は、19世紀に惑星の周りを回るなどの物理システムの研究で初めて登場しました。惑星が三次元空間を移動するとき、その位置は3つの座標によって定義されます。しかし、アイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンは、惑星の運動の各点において、惑星の運動量を表すベクトルを配置することもできることを発見しました。

1980年代、ウラジミール・アーノルドという数学者がシンプレクティック幾何学の数学的研究を発展させました。彼は、シンプレクティック構造を持つ幾何学的空間は、そのような構造を持たない空間よりも回転によって交差する頻度が高いことを理解しました。

これはグリーンとロブにとって完璧な解決策でした。彼らは、パラメータ化されたメビウスの帯を回転させたコピーも自身と頻繁に交差することを証明することで、あらゆるアスペクト比における長方形のペグ問題を解決しようとしていました。そこで彼らは、2次元のメビウスの帯を4次元シンプレクティック空間に埋め込む試みを始めました。

「シンプレクティック幾何学の観点から問題を見るという、極めて重要な洞察がありました」とグリーンは言う。「まさにゲームチェンジャーでした。」

4月下旬までに、グリーンとロブは、メビウスの帯を4次元シンプレクティック空間に、その空間構造に適合した形で埋め込むことが可能であることを明らかにした。これにより、彼らはシンプレクティック幾何学のツールを使い始めることができた。その多くは、空間がどのように交差するかという問題に直接関係している。

「[メビウスの帯]をシンプレクティック規則に従わせることができれば、いくつかのシンプレクティック定理を利用できるようになります」とロブ氏は言います。

グリーンとロブはこの時点で、ヒューゲルマイヤーの結果を改善できると確信していました。つまり、すべての回転の3分の1以上が交差を生み出すことを証明できるということです。これは、すべてのアスペクト比の3分の1以上を持つ長方形が、任意の閉曲線上の点として見つかることを意味します。

「このアイデアを思いついた瞬間から、何かが起きることは明らかでした」とロブ氏は語る。

しかし、彼らの結果は予想よりもはるかに広範囲に及び、しかもはるかに早く得られた。その理由は、クラインの壺と呼ばれる奇妙な数学的対象に関係していた。この物体は、シンプレクティック幾何学の文脈で考えると重要な性質を持っていた。

クラインの壺のつながり

クラインの壷は、モダニズム建築の水差しのような2次元面です。メビウスの帯と同様に、片面しかなく、実際には2つのメビウスの帯を接着することで作ることができます。多くの数学者がそうするように、机の上に置いたクラインの壷はどれも、自己交差してしまいます。クラインの壷を3次元空間に埋め込む際に、自己交差しないようにすることは不可能です。

「クラインの壺は表面であるはずだが、外側から内側へ通じるハンドルは、壺を突き破らなければならない」とシュワルツ氏は言う。

しかし、必ずしもそうとは限りません。四次元空間では、クラインの壷を交差しないように埋め込むことが可能です。四次元空間には、クラインの壷が自己回避できる余裕が生まれます。これは、一次元上の直線上で二人が互いに近づいてくると衝突を避けられないのに対し、二次元上の床面上で二人が近づいてくると簡単に避けられるのと似ています。

5月、グリーンとロブはクラインの壺に関する興味深い事実を思い出した。4次元シンプレクティック空間に、クラインの壺が交差しないように埋め込むことは不可能だ。言い換えれば、シンプレクティック空間の特殊規則にも従う、交差しないクラインの壺は存在しないということだ。この事実が証明の鍵となった。「まさに魔法の弾丸でした」とグリーンは言う。

理由はこうです。グリーンとロブは既に、メビウスの帯を4次元シンプレクティック空間に、その空間の規則に従って埋め込むことが可能であることを実証していました。彼らが本当に知りたかったのは、メビウスの帯を回転させた際に、元のコピーと交差するかどうかでした。

交差する2つのメビウスの帯は、この種の空間では自己交差するクラインの壺と等価です。そして、メビウスの帯を回転させて、回転後のコピーが元のコピーと交差しないようにすれば、本質的には自己交差しないクラインの壺ができます。しかし、そのようなクラインの壺は4次元シンプレクティック空間では不可能です。したがって、埋め込まれたメビウスの帯のあらゆる回転は、自己交差しなければなりません。つまり、あらゆる閉じた滑らかな曲線は、4点の集合を結合してあらゆるアスペクト比の長方形を形成できる必要があります。

結局、結論は雪崩のように到着しました。

「準備、準備、準備の繰り返しで、ハンマーが着地すれば証明が完了します」とデンネ氏は言う。

グリーンとロブの証明は、問題の解決がしばしば適切な視点を見つけることにかかっていることを示す好例です。何世代にもわたる数学者たちは、この長方形の釘問題を、より伝統的な幾何学的設定で解こうとしたために、理解することができませんでした。グリーンとロブがそれをシンプレクティック世界へと持ち込むと、問題は一瞬にして解決しました。

「1910年代と1920年代に議論されていたこれらの問題については、適切な思考枠組みがなかったのです」とグリーン氏は言う。「今私たちが気づいているのは、それらは実はシンプレクティック現象の隠れた具現化であるということです。」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。

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