三角法は物理学に不可欠です。その基本をご紹介します

「初級代数学と三角法」みたいなタイトルの、くだらない講座をもう修了しているかもしれません。その講座は色々な内容を扱っていましたが、重要なのは、その講座が物理学の講座の前提条件だったということです。

でも、三角法の基本的な概念を本当に理解しているでしょうか？ええ、いつも三角法のスペルを間違えるので、単に「三角法」と呼んでいるだけです。もしかしたら、二倍角の公式を使えば三角法の恒等式で問題が起きないかもしれません。三角法の本質を忘れて、三角法の複雑な部分を解くのはとても簡単です（香水の名前としてはいいと思いませんか？）。

正直に言うと、三角法でちょっとした間違いを犯す生徒がかなり多いんです。本来あるべきよりもずっと頻繁に起こっています。ご心配なく、私がお手伝いします。まずはゼロから始めて、三角法の超基本的な考え方を復習しましょう。もちろん、なぜこれが必要なのかについても説明します。

直角三角形から始める

直角三角形に必要な条件はたった2つです。まず、3辺、つまり「三角形」の部分を持つ図形であること。次に、角の1つが90度であること。これで全てです。これで、様々な三角形を想像することができます。さあ、実際に描いてみましょう。まず2本の垂直線を描き、それから様々な角度の斜辺を描きます。出来上がりはこんな感じです。

注: この画像は、見やすいように横向きにしています。ただし、この図に示されている規則に従って、すべての三角形の辺にラベルを付けたいと思います。

右三角形2

私が描いた多くの三角形の図では、「x」は垂直方向です。これらの三角形のxの値は基本的に一定ですが、角度、斜辺、そしてもう一方の辺（y）はすべて変化します。

三角形が全部できたら、測り始めることができます。まずは最小の角度である5度から始めましょう。この場合、x座標は5センチメートル、y座標は0.5センチメートルです。念のため言っておきますが、この三角形を描いてから定規で辺を測っただけです。（まだ計算はしていません）。

図のように、角度の1つが5度の直角三角形をもう一つ描いて、この新しい三角形のX辺の長さを1メートルにしたらどうなるでしょうか？はい、新しい、より大きな三角形は全く同じ形になります。しかし、X辺が長くなったということは、Y辺も長くなります。しかし、これは相似三角形なので、大きい三角形と小さい三角形のY辺とX辺の比は同じになるはずです。つまり、このY辺とX辺の比（Y÷X）を求めると、角度の1つが5度であるすべての直角三角形で同じになるはずです。

では、10度の角度の三角形はどうでしょうか？15度の角度はどうでしょうか？とりあえずやってみましょう。上の図にある三角形をすべて使って、xとyの両方を測定します（xは変化しません）。そして、y/xの比と角度θの関係をプロットします。結果はこうです。

大したことないように見えますが、信じてください。これは本当にすごいんです。このグラフは、ほぼあらゆる直角三角形の辺の比を示しています。辺の比は辺の比ですから。実際、辺が距離ではなく速度である仮想の直角三角形でさえあり得ます。この曲線を使えば、角度と斜辺の長さだけで、その直角三角形について必要な情報をすべて得ることができます。知識は力なり（すぐに分かります）。

でも、三角関数はどこにあるのでしょう？これが三角関数です。上の曲線は特別な関数です。正接関数と呼ばれます。この関数に角度を代入すると、yとxの比が得られます。この正接関数は次のように書けます。

しかし、これは単なる関数であることを忘れないでください。別の関数を見てみましょう。しかし、上の三角形を使うと、5度から80度までの角度しか得られません。もっと多くの角度が欲しいです。三角形のx辺を一定に保つ代わりに、斜辺を一定にしたらどうなるでしょうか？その場合、固定長の線が点の周りを回転する様子を想像してみてください。この直線が回転すると、円が描かれます。なるほど！三角法は実は円に関するものだと分かりましたね。でも、実はそうではありません。たまたま円で三角関数を示すのは簡単ですが、実際には直角三角形に関するものなのです。騙されないでください。

もっと三角形はいかがですか?

三角形をたくさん描いてみましょう。皆さんもできますよ。古いCD（コンパクトディスクですね）の外側をなぞって、中心の位置を大まかに決めて、三角形をたくさん描きます。出来上がりはこんな感じです。

それぞれの三角形の線の横にある数字は、y辺の長さ（センチメートル）を測ったものです。10度刻みで角度を測った三角形を描いたので、それぞれの三角形の角度は簡単にわかるはずです。ぜひご自身で三角形を描いてみてください。見た目だけでは理解しきれません。自分で描いてみましょう（難しくはありません）。

これらの三角形はすべて斜辺の長さが同じなので、0度から360度までのすべての角度について、y/rとθの比をグラフに表すことができます。グラフを見る前に、2つの点に注意してください。まず、「y」と呼んでいるものは、三角形の「反対側」の辺とも呼ばれます。つまり、y/rは「反対側÷斜辺」と同じになります。はい、これは以前にも見たことがありますね。次に、三角形のy辺がx軸より下にある場合、その長さを負の値にします。これは後で役立ちます。

対辺と斜辺の角度の関係をグラフにしてみました。実際の三角形から実際に測った値なので、完璧ではありません。

ドカーン！見てみて。ワクワクする？意外とうまくいって、私もワクワクしています。あなたもきっとワクワクするはずですが、そうでなくても別に構いません（たぶん）。でも、あなたの目はあなたを欺いていません。これはまさに正弦関数です。この関数は正接関数と非常によく似ていますが、三角形の対辺（角度の反対側）と斜辺の比であるという点が異なります。

隣り合う辺を斜辺で割った比を計算することもできます。これをコサイン関数と呼びます。さて、ここでこれらの関数に関する重要な注意事項をいくつか見ていきましょう。

正弦関数と余弦関数は辺の比です。つまり、正弦関数と余弦関数の出力には単位がありません（比では単位が打ち消されます）。
三角形の対辺（y）は斜辺より長くすることはできません。つまり、y/rの比は1より大きくすることはできません。正弦関数と余弦関数はどちらも-1から1までの出力を持ちます（xとyの値が負になる可能性があるため）。
これらの三角関数は、一種の「ルックアップテーブル」と考えることができます。角度の値を入力すると、三角形の辺の比が返されます。それだけです。
逆三角関数には、アークサインやアークコサインといったものがあります。これらは通常の三角関数と正反対の働きをします。対辺と斜辺の比を「与える」と、その比に応じた角度が返されます。

もう一つ、非常に重要な点があります。角度を度で表す場合は、電卓（または計算表）が度表示になっていることを確認してください。ラジアンで表す場合は、電卓をラジアンモードにする必要があります。この間違いを犯す学生を驚くほど多く見かけます。ところで、ラジアンと度の違いは何でしょうか？確認してみましょう。

ラジアンと度

まず、度についてお話しましょう。なぜ完全な円は360度なのでしょうか？なぜ100度ではないのでしょうか？もっと分かりやすくないでしょうか？実はそうではありません。360という数字の良いところは、実にたくさんの数で割り切れることです。2、3、4、5、6、8、9、10…もっとたくさんの数で割ることができます。つまり、円を360の「部分に」分けることで、さらにたくさんの部分にも分けることができるのです。これは、小数ではなく分数を扱う場合に便利です。だからこそ、度という単位があるのです。

ラジアンはどうでしょうか？これはどうでしょう？円の一部だけを考えてみましょう。こんな感じです。

実際にこんなものを描いてみたら楽しいでしょう。そうすれば、r（半径）、角度、そして弧長（s）の値を測定できます。弧長を計算することもできます。これは円の一部なので、弧長は次のようになります（角度は度で測定）。

基本的に、これは角度を円周全体の割合としてとらえています。つまり、弧の長さは円周の割合になります。でもちょっと待ってください！このおかしな割合を必要としない角度を使ったらどうなるでしょうか？弧の長さを次のように書けばどうでしょうか？

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この新しい弧長の式は、円周が2π単位の場合に成り立ちます。さあ、これでラジアンで表した角度の測定値ができました。これにより、角度と弧長を分数なしで結び付けることができます。多くの点で、度で表した角度よりも「自然」なので、より優れています。

三角関数はなぜ必要なのでしょうか?

さて、最後の質問です。そもそも三角関数はなぜ必要なのでしょうか？あるいは、「直角三角形なんて誰が気にするんだ？」と疑問に思うかもしれません。あなたは気にします。少なくとも気にするべきです。三角関数を使う主な理由（ただし、唯一ではありません）は、ベクトルを扱うためです。ここではベクトルについて簡単に説明しますが、もっと詳しく知りたい方は、こちらの以前の投稿をご覧ください。

ベクトルとは、複数の次元を持つ変数です。例を考えてみましょう。ある面に対して30度の角度で、10ニュートンの力でブロックを押したとします。すると、次のようになります。

ベクトルは一見複雑に見えますが、実際にははるかに単純な方法で扱うことができます。この押す力を一度に扱うのではなく、この力を2つのベクトル、つまりx方向の力のベクトルとy方向の力のベクトルに分解できることがわかります。x方向のベクトルがすべて揃うと、問題の一部は1次元のx方向の問題になります。残りの部分はy方向の問題だけです。これで、1次元の（そしてより簡単な）問題が2つできました。

x方向とy方向は互いに直角なので、力のx方向とy方向の部分は直角三角形を形成します。次のようになります。