コロンビアの教授が数学と音楽への愛を融合させる方法

「Nadie te quita lo bailado.」（誰もあなたの踊りを奪うことはできない。）

フェデリコ・アルディラにとって、このラテンアメリカの表現は、人生と数学へのアプローチを象徴するものだ。サンフランシスコ・ベイエリア各地の会場で彼がDJを務めるパーティーの原動力であり、人々は故郷コロンビアのビートに合わせて朝まで踊る。ダンスフロアとは「自由と力を持つ場所であり、誰にもそれを奪うことはできない」とアルディラは語る。

彼はサンフランシスコ州立大学で数学教授を務め、学生たちに非常に難しい試験を課した後、この表現を学生たちに教えた。サンフランシスコ州立大学は非常に多様な学生構成を誇り、40歳になったばかりのアーディラ氏は、女性や有色人種といったマイノリティ集団の学生たちに、いかにして所属意識を持たせるかという点で、数学界で著名な発言者である。しかし、今回、生徒たちの士気の落ちた顔を見回した時、彼は自分が的外れだったことを悟った。

「Nadie te quita lo bailado」とアルディラさんは生徒たちに語った。

「数学をやることで得た喜びを、誰にも奪うことはできない、というメッセージは、とても力強いと思います」と彼は先月、 Quanta Magazineのインタビューで語った。「成績をつけることはできますが、それによって、あなたが感じていた自由や充実感を奪うことはできません。」

この表現はアーディラの研究にも当てはまるが、必ずしも彼が望んだ方法とは限らない。4年前、オレゴン州ポートランドで、泥棒が彼の車の窓を割り、バックパックを盗んだ。運の悪いことに、そこには5年分の研究成果が入っていた。アーディラが執筆中だった広範な新論文のノートがすべて入っていたのだ。証明、例、反例、そして推測はすべて消えていた。

しかし、泥棒はアーディラが頭の中で「踊った」数学を盗むことはできなかった。過去数年間、アーディラと共著者であるコーネル大学のマルセロ・アギアールは、ソーシャルネットワーク、数独パズル、系統樹といった離散構造の研究である組合せ論の幾何学的側面と代数的側面を統合する研究を丹念に再構築してきた。彼らはついに9月に113ページの論文をオンラインに投稿し、1月にはアーディラが米国最大の年次数学会議であるJoint Mathematics Meetingsで招待講演を行い、この研究成果を発表する予定だ。

クアンタは、秋学期に訪問中のカリフォルニア州バークレーにある数学科学研究所で、アルディラ氏に、彼がダンスと数学の指導に携わってきたことについて話を聞きました。インタビューは、分かりやすさを考慮して要約・編集されています。

あなたの数学の才能は早くから見出され、4年生のときにはコロンビアの全国数学コンテストで同年代の中で最高得点を獲得しました。

実は、数学で最初に才能を発揮したのは姉のナタリアでした。私はまだ弟でした。彼女と従妹のアナ・マリアは、全国数学コンテストで本当に素晴らしい成績を収めました。主催者はきっと「この二人は本当に優秀だ。それに、授賞式に来る弟もいる。彼もきっと大丈夫だろう」と思ったのでしょう。

幼い頃から、みんなが私に注目してくれていたように感じます。学校では数学はあまり好きではありませんでしたが、数学オリンピックを通しての経験は、より創造的で遊び心に満ちたものでした。

そして、こうした空間の多くと同様に、そこは男性優位の空間であることが判明し、最終的には姉と従兄弟の両方がその空間に居心地の悪さを感じるようになりました。いとこはエンジニア、姉は音楽教育学の教授として、今や素晴らしい活躍をしています。でも、ある意味面白いと思っています。あの空間は私にとってとても居心地が良く、とても自分を育む空間だったのですが、他の人にとってはそう感じられなかったのです。彼らにとって、それは非常に「他者化」された空間だったのです。そのことが、数学者、教育者、つまり場所の文化をキュレーションする役割を常に私に思い出させてくれたのだと思います。だからこそ、それが私の作品の大きなテーマとなっているのです。

学部と博士課程を修了したマサチューセッツ工科大学に入学できたことに驚いたとおっしゃっていましたが、その経緯について教えてください。

MITのことは聞いたこともありませんでしたし、留学なんて考えたこともありませんでした。すでに地元の大学に在籍していたからです。でも、クラスメイトからMITは奨学金が充実していて、数学の授業もすごくいいと聞きました。もっと数学を学びたかったので、その話に乗って出願することにしました。

当時、高校のほとんどの授業で落第していました。卒業できるかどうかも分かりませんでした。少し態度に問題がありました。色々なことに興味があったのですが、「これを読んで」とか「こう考えなさい」と言われるのは好きではありませんでした。自分のペースで物事を進めたいと思っていたのです。

確か8科目中6科目で不合格だったと思います。MITがどんな大学か知っていたら、出願すべきではなかったはずです。あんな成績証明書で出願するなんて、あり得ません。

私はこの話を生徒たちによくします。なぜなら、私たちは往々にして、自分には資格がないとか、十分ではないとか思って、自分自身への扉を閉ざしてしまうと思うからです。特に、自分の専門分野で「疎外感」を感じたり、自信が持てないと感じている人は、自分自身への扉を閉ざしてしまうのは簡単です。人生には、あなたのために扉を閉ざそうとする人がたくさんいるのに、自分ではそうすることができないのです。

あなたがMITの学部生としてアメリカに来たとき、今度はあなたが「他者」のように感じるのは当然のことでした。

誰かが私を不当に扱ったり、疑ったり、あからさまに歓迎されていないと感じさせたわけではありませんが、確かに私はとても違和感を感じていました。数学の教育は素晴らしく、教授陣や非常に興味深い教材にも恵まれていましたが、振り返ってみて初めて、自分が極度に孤立していたことに気づきました。

特定の人々を快適にし、他の人々を不快にさせるシステムが存在すると思います。それは、その空間にいる人々の性質によるものだと思います。誰かを非難したいわけではありませんが、自分を「他者」とみなす空間に対して批判的であることはできますが、自分が他者を「他者」とみなす方法に対しても批判的であるべきだと考えているからです。

数学は非常に客観的なものだと自負しているので、「論理的に考えると、これは理にかなっている。つまり、すべて正しくやっているということだ」と簡単に言えると思っています。しかし、私たちは時に、ある場所の文化とは何か、誰が歓迎されていると感じるのか、あるいは彼らを歓迎するために私たちが何をしているのか、といったことに少し無頓着になっているように思います。

ですから、数学的な空間を創造する際には、人々が人間としてありのままの自分でいられるよう、細心の注意を払っています。そして、そうすることで人々がより多くのツールや機会にアクセスできるようになることを願っています。

あなたの指導では、どのような方法でそれを行っていますか?

教室では私は教授であり、ある意味では文化の守り手です。そして私が心がけていることの一つは、少し怖くて簡単ではありませんが、力関係を変え、学生がこの場に同じように力強い貢献者だと感じられるようにすることです。私たちが共に数学的な現実を構築していくような空間を作ろうとしています。

例えば、私は組合せ論の授業を担当していましたが、どの授業でも生徒全員が積極的に行動し、自分の数学的な考えを他の生徒に伝えていました。授業の構造上、生徒がただ座って受動的でいることは不可能でした。

私は音楽の力を信じているので、毎回の授業の始めに、生徒たちに一人ずつ曲を演奏してもらいました。最初は何が起こるか全く分からず、まるでワイルドな実験のようでしたが、生徒たちの反応には本当に感動しました。

生徒の中には、この歌を母親に捧げ、数学を勉強するたびに、母親が家族で初めて大学に進学する機会を与えてくれたことを強く意識していると話す子もいました。別の生徒は、アラビア語で「自由」という歌を演奏しました。彼女は、今の時代、この国でくつろぎ、歓迎され、自由を感じることが非常に難しいこと、そして彼女にとって数学は誰にも自由を奪われない場所だということを話していました。

あの教室は、私がこれまで教えてきたどの教室とも全く違っていました。とても人間味あふれる体験で、これまで担当した中で最も豊かな数学の授業の一つでした。「数学を十分に扱っているだろうか？」と心配になることもあるでしょう。しかし、生徒たちがこれほど積極的に授業に参加し、教師が彼らの考えに真摯に耳を傾けると、ただ授業を準備して行うだけでは得られない魔法のようなことが起こります。

数学は感情のない科目だという固定観念がありますが、先生はとても感情的な言葉で数学を表現しています。例えば、授業のカリキュラムでは生徒たちに「楽しい」経験を約束しています。

数学をやるというのは非常に感情的なことだと思います。数学をやる人なら誰でもそうだと思います。ただ、コミュニティとしてこのことについて語るには、私たちには感情的な認識や語彙が足りないように思います。でも、この建物の中を歩いてみると、人々が様々な発見をしていて、そこには様々な感情が渦巻いています。たくさんのフラストレーションとたくさんの喜び。

一つは、私たちがこれを文化として認識していないことだと思います。数学は時に非常に難しい形で感情的なものだからです。時に、自分自身に対してひどく落ち込んでしまうこともあります。6ヶ月間何かに取り組んでいたのに、それが崩れてしまうと、本当に辛い思いをします。私たちはその痛みについて十分に語っていないと思います。そして、6ヶ月間取り組んで何かを発見する喜びは、本当に深いものです。

ご自身の研究は組合せ論ですね。そして、合同数学会議で発表される論文は、幾何学と代数学という二つの異なる視点から組合せ構造を理解する方法を結びつけています。この二つのアプローチはどのように機能するのでしょうか？

幾何学的な側面から見ると、例えば順列（物体の集合を並べ替える方法）を研究したいとします。n個の物体がある場合、それらを一列に並べる方法の数はnの階乗（n ( n -1)( n -2)…1の積）であることはよく知られています。つまり、何通りあるかを数えることはそれほど興味深い問題ではありません。しかし、それらの固有の構造とは一体何なのでしょうか？

二つの要素を入れ替えるだけで二つの順列が互いにどのように関連しているかを見てみると、順列の個数だけでなく、それらがどのように関連しているかが理解できるようになります。そして、「では、すべての順列を取り上げて、そのうち二つの順列が入れ替え可能な場合は、その二つの間に辺を引いてみましょう」とすると、多面体（平らな辺を持つ幾何学的物体）という美しい形状が得られることがわかります。順列間の固有の関係が、この順列面体と呼ばれる美しい多面体に捉えられていることに、最初は全く驚かれると思います。こうして突如としてこの幾何学的モデルが得られ、多面体理論のツールを用いて順列について新たな考察を試みることができるのです。そして、この多面体は古くから存在し、非常によく理解されています。

また、順列を代数的に考えることもできます。順列には自然な「乗算」があり、2 つの順列の積は、順列を 1 つずつ実行することによって得られる順列になります。

この順列の群は代数学において最も重要なオブジェクトの 1 つです。

組合せ的オブジェクトを幾何学的に解釈するか、代数的に解釈するかという二つの伝統があります。マルセロ・アギアールとのこのプロジェクトは、この二つの視点を融合させることを試み、実際に、順列面体のような多面体には、関連する代数的構造がさらに存在することを発見しました。組合せ的オブジェクトの幾何学的構造と代数的構造の間に、実に美しいつながりを見出したと思います。このアーキテクチャを構築し、その恩恵を受けるだけで、数多くの成果が得られました。

多くの数学者にとって、もちろん全員ではありませんが、教育は研究よりも重要視されます。しかし、あなたにとって、教育と研究は非常に密接に結びついているように思えます。学生にオープンエンドの問題を与えることが多く、学生と共同で多くの論文を執筆されていますね。

学生たちと仕事をするのが大好きです。そして、彼らと発見の喜びを分かち合うのも大好きです。サンフランシスコ州立大学には博士課程がないため、学生のほとんどは修士課程か学部生です。そのため、私の研究はより身近な分野へと向かっていると思います。それでも、問いは深く掘り下げていなければなりません。

研究にとてもワクワクしています。今、人生で最も興味深い研究をしていると思っています。40歳を過ぎると衰え始めると言われますが、今は調子が良くなってきていると感じています。

約10年前、オークランドを拠点とするDJ集団を設立されましたね。数学者、そして教師としての活動と、それはどのように結びついているのでしょうか？

DJをするときは、とにかく喜びを求めています。人々が橋を架けて繋がりを感じられるような雰囲気を作りたいと思っています。教授としての側面も少し出ていると思います。というのも、みんなが知らないような曲をたくさんプレイしたり、みんなが考えたことのないような場所の音楽をプレイしようと努めているからです。

音楽は社会変革のツールでもあると考えています。私が行うイベントの中には社会貢献活動もあります。音楽がテーマであると同時に、魂を養い、世界に起こしたい変化への準備をするためのものでもあります。これは、私が教室で作り出そうとしている雰囲気と非常に似ています。これらすべてがつながっていると感じています。

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。