往復の複雑な幾何学

もし地球が球体でなかったら、人生はどんな感じだっただろうと想像したことがありますか？私たちは、太陽系を滑らかに旅し、自転対称性のおかげで美しい夕日を眺められることを当たり前のこととして受け入れています。また、地球が丸いおかげで、 A地点からB地点への最短ルートも簡単に見つけることができます。A地点とB地点を通り、球体を半分に切る円に沿って移動すればいいのです。この最短ルートは測地線と呼ばれ、飛行機のルートや衛星の軌道を計画する際に使われています。

しかし、もし私たちが立方体の上に住んでいたらどうなるでしょうか？私たちの世界はもっと揺れ動き、視界は歪んで、最短経路を見つけるのが難しくなるでしょう。あなたは立方体の上に暮らす生活を想像することにあまり時間を費やさないかもしれませんが、数学者はそうします。彼らは様々な形状の上を移動することがどのように見えるかを研究しています。そして、正十二面体上の往復移動に関する最近の発見は、私たちが何千年も見てきた物体の見方を変えました。

与えられた形状上で最短の往復経路を見つけるのは、方向を選んで直線で歩くのと同じくらい簡単なように思えるかもしれません。最終的には出発点に戻りますよね？まあ、歩いている形状によって異なります。球体ならそうです。（そして、地球は完全な球体ではなく、表面が完全に滑らかではないという事実は考慮していません。）球体上では、直線は赤道のような測地線である「大円」に沿って進みます。赤道を一周すると、約25,000マイル（約4万キロメートル）で一周し、出発点に戻ります。

立方体の世界では、測地線はそれほど明確ではありません。それぞれの面が平らなので、一つの面上で直線の道を見つけるのは簡単です。しかし、立方体の世界を歩いているとしたら、端に到達した後、どのようにして「まっすぐ」進み続けるのでしょうか？

この疑問の答えを示す、古くて面白い数学の問題があります。立方体の片隅に蟻がいて、反対側の隅に行きたいとします。立方体の表面上でAからBまで最短の経路は何でしょうか？

アリが進む道は多種多様であることが想像できます。

でも、どれが一番短いんだろう？この問題を解くための巧妙なテクニックがあるんだ。立方体を平らにするんだ！

立方体が紙でできている場合は、端に沿って切り取り、平らに伸ばして、このような「ネット」を作ることができます。

この平らな世界では、 AからBまでの最短経路は簡単に見つかります。両者の間に直線を引くだけです。

立方体の世界の測地線がどのように見えるかを確認するには、立方体を元に戻してください。これが最短経路です。

立方体を平らに広げるのは、立方体の各面自体が平らであるため、エッジに沿って展開しても何も歪まないからです。（球体を同じように「展開」しようとしてもうまくいきません。球体を歪ませずに平らに広げることはできないからです。）

立方体上の直線経路がどのようなものかを理解できたので、今度は、どんな直線経路を歩いても最終的に出発点に戻ることができるのかという疑問に立ち戻ってみましょう。球面とは異なり、立方体上のすべての直線経路が往復するわけではありません。

しかし、往復は確かに存在しますが、一つ落とし穴があります。アリは上で示した経路に沿って進み、出発点に戻ることができることに注目してください。立方体では、一周するとひし形のような経路になります。

この往復経路を辿る際、アリは出発点に戻る前に別の頂点（点B）を通過しなければなりません。これが問題です。同じ頂点から始まり同じ頂点で終わる直線経路はすべて、立方体の別の頂点を通過しなければならないのです。

これは5つのプラトン立体のうち4つに当てはまります。立方体、正四面体、正八面体、正二十面体では、同じ頂点から始まり同じ頂点で終わる直線は、必ず途中で他の頂点を通過します。数学者は5年前にこれを証明しましたが、正十二面体はそのリストに含まれていませんでした。これについては後ほど説明します。

測地線に関するこの事実が 5 つのプラトン立体のうち 4 つに当てはまる理由を理解するために、これらのパスに対して「タンブリング」アプローチを採用し、タンブリングパスの研究が少し容易な四面体の世界に切り替えます。

四面体の頂点から面に沿って直線的に進む様子を想像してみてください。四面体の向きを調整し、その経路が底面から始まるようにしましょう。

エッジに出会ったら、四面体を回転させて、パスが底部で終わる面上を続くようにします。

この回転図により、立方体のネット上で行ったのと同じように、経路を追跡する方法がわかります。

上記の回転パスは、四面体の表面上のこのパスを表しています。

ここで、四面体の 5 つのタンブルは、パスが通過する追加の 5 つの面に対応します。

これで、四面体の表面上のあらゆる経路を、この回転空間内の経路として想像できるようになりました。出発点をAとし、この点が回転した後にどこに到達するかを見てみましょう。

軌道がAから離れると、正四面体は反対側に転がり落ちます。これにより、A は地面から浮き上がります。

頂点Aは一時的にタンブリングスペースの上に浮かんでいます。通常、タンブリングスペースを作成する際に頂点Aの位置を指定することはありませんが、下から見上げると、頂点Aの位置はここに表示されます。

軌道が進むにつれて、四面体は再び転がり落ちます。2つの方向に進む可能性がありますが、どちらの方向でもAは地面に戻ってしまいます。

四面体をあらゆる方向に転がしていくと、次のような転がる空間が生まれます。

四面体の正三角形の面が組み合わさることにより、グリッドシステムが作成されます。

このグリッドシステムは、私たちの回転空間について2つの興味深い事実を教えてくれています。まず、正四面体の頂点が着地できる点はすべて「格子点」、つまり整数座標を持つ点です。これは、私たちの座標系における1単位が正四面体の1辺の長さに相当するためです。

次に、 A が最終的にどこに行き着くかを見てみましょう。

Aの座標は常に偶数です。Aが地面に着地すると、 2回転後に再び地面に着地するため、Aの着地可能な地点はすべて、回転方向ごとに辺の長さ2つ分ずつ離れています。

さて、これが測地線について何を示唆しているかを見てみましょう。四面体上のAを起点と終点とする経路は、タンブリング空間において(0,0)のAを起点として別のAを終点とする直線となることを思い出してください。そして、経路の起点と終点が両方ともAである場合、経路の中点について非常に興味深い点があります。

この歪んだ座標系でも、標準的な中点の公式は有効です。そのため、端点の座標を平均することで中点の座標を求めることができます。始点の座標はどちらも0で、終点の座標はどちらも偶数なので、中点の座標はどちらも整数です。これにより中点は格子点となり、上で述べたように、タンブリング空間における三角形の頂点に対応します。

たとえば、(0,0) から (4,2) へのパスには、グリッド内の格子点である中点 (2,1) があります。

つまり、四面体の表面では、Aからそれ自体へのこのパスは途中で別の頂点を通過する必要があります。

この座標系では、 Aのあらゆる着地点は偶座標を持つため、 Aを起点と終点とするあらゆる測地線の中点は格子点に対応する。これは、四面体の表面上におけるAからAへのあらゆる測地線は必ず別の頂点を通過するということを意味する。

これは、2015年に数学者ダイアナ・デイビス、ビクター・ドッズ、シンシア・トラウブ、ジェド・ヤンによって厳密に証明された議論の簡略版です。彼らは、立方体について同様の、しかしはるかに複雑な議論を用いて同じことを証明しました。翌年、ドミトリー・フックスは八面体と二十面体について同様の結果を証明しました。このことから、四面体、立方体、八面体、二十面体において、ある頂点からその頂点自身に戻る直線で、他の頂点を通らないものは存在しないことが分かります。

しかし、正十二面体の表面上にそのような経路が存在するかどうかは、2019年に数学者のジャヤデフ・アトレヤ、デイヴィッド・アウリシノ、パトリック・フーパーが実際に存在可能であることを証明するまで、未解決の問題でした。彼らは、正十二面体の表面上に、同じ頂点から始まり、同じ頂点で終わり、他の頂点を通らない直線経路が無数に存在することを発見しました。

ここに、十二面体のネット上に表示され、目立つところに隠れているものがあります。

プラトン立体は多くの共通点を持つため、何千年もの間、一緒に研究されてきました。しかし今、正十二面体について、明らかに異なる新たな事実が明らかになりました。この不思議な発見は、数学的対象をどれほど深く理解していても、学ぶべきことは常にあることを示しています。また、問題から解決への道筋が必ずしも直線ではないことも示しています。

演習

立方体の辺の長さが 1 の場合、頂点から反対側の頂点までのアリの最短経路の長さはどれくらいでしょうか。
下の図が立方体上のパスの回転パスにならない理由を説明してください。

立方体の転がり経路に関する複雑な点の一つは、点Aが立方体の特定の終点と結びついた唯一の終点位置を持たないことです。例えば、立方体は赤い経路と青い経路のどちらを転がり進んでも同じ場所に着地しますが、点Aは異なる位置になります。赤い経路と青い経路を転がり進んだ後、点Aがどこに着地するかを求めてください。