物理学を数学に根付かせる努力が時間の秘密を解き明かす

この物語 のオリジナル版はQuanta Magazineに掲載されました。

20世紀初頭、著名な数学者ダヴィト・ヒルベルトは、物理学の世界に、より厳密で数学的な思考方法をもたらすという壮大な野望を抱いていました。当時、物理学者たちは依然として、熱とは何か？分子の構造は？といった基本的な定義をめぐる議論に悩まされていました。ヒルベルトは、数学の形式論理が指針となることを期待していました。

1900年8月8日の朝、彼は国際数学者会議に23の重要な数学問題のリストを提出した。その6：物理法則の完全な証明を提示せよ。

ヒルベルトの第六の課題の範囲は広大だった。彼は「数学が重要な役割を果たす物理科学を、公理を用いて[幾何学と同様に]扱うこと」を求めた。

物理学を公理化するという彼の挑戦は「まさにプログラムだ」とメリーランド大学の数学者デイブ・レバーモアは言う。「第六の問題が実際に提示されている方法では、決して解けることはないだろう。」

しかし、ヒルベルトは出発点を提供した。気体の様々な性質、例えば分子の速度や平均温度などを研究するために、物理学者は異なる方程式を用いる。特に、気体中の個々の分子の運動を記述するためには一つの方程式を用い、気体全体の挙動を記述するためには別の方程式を用いる。ヒルベルトは、ある方程式が他の方程式を示唆していることを示すことは可能だろうか、つまり、物理学者が想定しつつも厳密に証明していないように、これらの方程式は単に同じ現実をモデル化する異なる方法に過ぎないことを示すことは可能だろうか、と考えた。

125年間、物理学のこの小さな一角を公理化することさえ不可能と思われていました。数学者たちは部分的な進歩を遂げ、極めて短い時間スケールでの気体の挙動や、その他の人為的な状況を考慮した場合にのみ成立する証明を導き出しました。しかし、これらの証明はヒルベルトが想像したような結果には程遠いものでした。

今回、3人の数学者がついにその成果を示しました。彼らの研究は、ヒルベルトのプログラムにおける大きな進歩を示すだけでなく、時間の不可逆性に関する疑問にも迫ります。

「素晴らしい作品です」と、ワイツマン科学研究所の物理学者グレゴリー・ファルコビッチ氏は語った。「まさに傑作です。」

メソスコープの下

粒子が非常に広がった気体を考えてみましょう。物理学者がこれをモデル化する方法はたくさんあります。

微視的なレベルでは、気体は個々の分子から構成されており、それらはビリヤードの球のように振る舞い、アイザック・ニュートンの350年前の運動法則に従って空間を運動します。この気体の挙動モデルは、剛球粒子系と呼ばれます。

では、少しズームアウトしてみましょう。この新しい「メソスコピック」スケールでは、視野に収まる分子の数が多すぎて、個別に追跡することはできません。そこで、物理学者のジェームズ・クラーク・マクスウェルとルートヴィヒ・ボルツマンが19世紀後半に考案した方程式を用いて、気体をモデル化します。ボルツマン方程式と呼ばれるこの方程式は、気体分子の挙動を記述し、異なる場所で異なる速度で移動する粒子がどれくらい存在すると予想されるかを示します。この気体モデルを用いることで、物理学者は小さなスケールでの空気の動き、例えばスペースシャトルの周りの流れなどを研究することができます。

再びズームアウトすると、気体が個々の粒子で構成されていることがわからなくなり、一つの連続した物質のように振る舞います。この巨視的な挙動、つまり気体の密度と空間の任意の点における速度をモデル化するには、ナビエ・ストークス方程式と呼ばれる別の方程式のセットが必要になります。

物理学者は、気体の挙動に関するこれら3つの異なるモデルは両立可能だと考えており、単に同じ事象を理解するための異なるレンズに過ぎないと考えている。しかし、ヒルベルトの第六問題の解決に貢献しようと考えた数学者たちは、それを厳密に証明しようとした。ニュートンの個々の粒子モデルからボルツマンの統計的記述が導き出され、ボルツマン方程式からナビエ・ストークス方程式が導かれることを示す必要があったのだ。

数学者たちは第二段階ではある程度の成功を収め、様々な状況においてメソスコピックな気体モデルからマクロな気体モデルを導出できることを証明した。しかし、第一段階を解決できず、論理の連鎖は不完全なままであった。

それが今、変わりました。一連の論文で、数学者のユー・デン、ザヘル・ハニ、シャオ・マーは、これらの状況の一つにおいて、気体におけるミクロスケールからメソスケールへのより困難な段階を証明し、初めて連鎖を完成させました。ブラウン大学のヤン・グオ氏は、この結果とそれを可能にした技術は「パラダイムシフトをもたらす」と述べています。

独立宣言

ボルツマンは、ニュートンの運動法則が彼のメソスコピック方程式を導くことを既に証明していた。ただし、重要な仮定が一つ成り立つこと、すなわち、気体中の粒子は互いにほぼ独立して運動するという仮定が成り立つことが前提となる。つまり、特定の分子対が複数回衝突することは極めて稀でなければならないということだ。

しかし、ボルツマンはこの仮定が正しいことを決定的に証明することはできなかった。「もちろん、彼ができなかったのは、これに関する定理を証明することです」と、ローマ・ラ・サピエンツァ大学のセルジオ・シモネラは述べた。「当時は構造もツールもありませんでした。」

結局のところ、粒子の集合が衝突し、再衝突する方法は無限にある。「粒子が進む可能性のある方向が爆発的に増えるだけです」とレバーモア氏は述べた。ボルツマンが想定したほど、多くの再衝突を伴うシナリオが稀であることを実際に証明するのは「悪夢」だ。

1975年、オスカー・ランフォードという数学者がこれを証明することに成功しましたが、それは極めて短い時間に限られていました。（正確な時間はガスの初期状態によって異なりますが、シモネラによれば、瞬きする時間よりも短いとのことです。）その後、この証明は破綻しました。ほとんどの粒子が一度でも衝突する機会を得る前に、ランフォードは再衝突が稀な現象であり続けることを保証できなくなったのです。

それから数十年にわたり、多くの数学者が彼の研究結果を拡張しようと試みたが、成果はなかった。

そして2023年11月、現在シカゴ大学に所属するデン氏とミシガン大学のハニ氏は、待望の証明を示唆するプレプリントを公開した。彼らは、近日発表予定の論文では、最新の研究結果を基に「ランフォードの定理の長期的拡張」を検証すると記している。

他の数学者たちはこの発表をどう受け止めていいのか分からなかった。「まさかそんなことが実現するとは思ってもみませんでした」と、インペリアル・カレッジ・ロンドンのピエール・ジャーマンは言った。鄧と羽仁は普段は粒子系を扱っていなかった。それまでは、主に波（光線など）からなる系を研究していたのだ。

そこで数学者たちは約束された証明を熱心に待ち望んでいた。

粒子が衝突するとき

デン氏とハニ氏が2023年に発表した成果は、波動の文脈におけるミクロスケールからメソスコピックスケールへの移行の解析でした。二人が論文をオンライン公開する約1年前、デン氏はある学会でプリンストン大学の大学院生、シャオ・マー氏と出会いました。二人はデン氏とハニ氏の研究、そしてその手法を粒子にどのように適用できるかについて議論しました。そうすることで、ランフォード氏の結果を拡張し、より長い時間スケールにおいても粒子の再衝突は稀であることを示すことができると考えたのです。

それは、鄧とハニが既に検討していたアイデアだった。馬のこのテーマに関する洞察力に感銘を受けた鄧は、馬に自分たちの直感を証明へと変える手伝いを依頼した。

3人は、数学者が既にヒルベルトの第6問題における2番目の段階、すなわちメソからマクロへの段階を証明している、広く研究されているシナリオに焦点を当てたいと考えていた。このシナリオでは、球状粒子の希薄気体が箱の中に閉じ込められている。粒子が箱の片方の壁に衝突すると、反対側の壁に再び現れる。

しかし、この設定においてより困難なミクロからメソへのステップを証明する――つまりヒルベルトの第六問題を解決する――ために、デン、ハニ、そしてマーは、波動に基づく手法を粒子に移植する必要があった。そこで彼らは、その作業がもう少し容易になる設定から始めた。彼らは、粒子が無限の空間にランダムに分布する気体を扱った。箱型の気体中の粒子が永遠に互いに跳ね返り続けるのとは異なり、これらの粒子は最終的に分散し、衝突を止める。「全空間の場合、近道があります」とデンは述べた。

3人の数学者はまず、対象とするガス中で起こり得る様々な衝突パターンと、それぞれのパターンの確率を表にまとめる必要がありました。再衝突率が特に高いシナリオは容易に除外できました。こうして、分析すべきパターンは有限ながらも膨大になりました。それぞれのパターンは、特定の粒子のサブセットが特定の順序で衝突するというものです。それぞれのパターンが何を意味するのかを正確に理解すれば、その情報を用いてそのパターンの発生確率を推定することができました。

しかし、それはしばしば不可能に思える作業だった。なぜなら、多くのパターンは膨大な数の粒子と、それらの間の複雑で間接的な相互作用を伴うからである。「これらの（衝突する粒子の）集合の構造は極めて複雑になる」と鄧氏は述べた。原理的には、数学者たちは必要な確率推定値を計算するためには、これらの粒子一つ一つを同時に追跡する必要がある。

デンとハニの過去の波動に関する研究が、まさにそこで重要な洞察をもたらした。その結果、彼らは相互作用する複雑な波のパターンをより単純なものに分解する方法を編み出したのだ。彼らは、一度に少数の波だけを扱うことで、より複雑な完全な波のパターンの確率を正確に推定できるよう、その手法を綿密に練り上げた。

彼らは、同じアイデアが粒子設定でも機能することを期待していました。

しかし、衝突後、粒子は波とは大きく異なる挙動を示す。例えば、粒子は波とは異なり、互いに跳ね返るため、衝突のパターンとその発生確率に大きな影響を与える。鄧氏、ハニ氏、馬氏は、当初から戦略の詳細を練り直す必要があった。

まず、研究者たちは最も単純なケース、つまり各粒子が非常に短い時間内に数回衝突し、再衝突は起こらないケースに取り組みました。その後、徐々により困難なケース、つまりより長い時間、より多くの衝突と再衝突を伴うケースへと移行していきました。

それは科学であると同時に芸術でもありました。「直感は、いくつかの失敗した試みから始まり、徐々に培われていきました」と鄧氏は言います。彼らは、粒子衝突の大規模で複雑なパターンを、計算を簡素化しながらも推定値の高精度を維持する方法でどのように分割するかという感覚を身につける必要がありました。

「これは何ヶ月もかかるプロセスです」とハニは言った。「私たちは常に行き詰まっていました」。ほぼ毎日、二人はZoomミーティングに参加し、話し合いを重ねた。「妻はひどく落胆していましたが、夜遅くや早朝に起こることもありました」とハニは言った。「娘を寝かしつけてから、2、3時間Zoomミーティングをしていたんです」

ついに2024年の春、3人はすべてを網羅したと確信した。その夏にオンラインに投稿した証明は、再衝突が極めて稀であることを裏付けた。彼らは、無限空間という設定において、ボルツマンの気体記述がニュートンの記述から導かれることを、期待通り示した。ミクロスケールとメソスケールは、単一の厳密な数学的枠組みの下に収まるのだ。

「これは傑出した研究だと思います」と、プリンストン大学の数学者で、鄧小平と馬英九の博士課程の指導教官も務めたアレクサンドル・イオネスク氏は述べた。「これはここ数年で最も意義深い進歩の一つです。」

彼らはガスインアボックスの設定に戻る準備が整い、ついにヒルベルトの第 6 問題を解くことができました。

完成したチェーン

彼らが結果を無限空間の設定からボックス化された設定へと拡張するのに、それほど時間はかからなかった。「証明の80%は全空間の場合でも同じです」と鄧氏は述べた。

3月に彼らは、ボルツマン方程式とナビエ・ストークス方程式を結びつける以前の結果と、自らの証明を組み合わせた新たな論文を発表した。論理の連鎖は完結した。彼らは、現実的な気体モデルにおいて、個々の粒子の微視的記述が、最終的には気体の大規模な挙動の巨視的記述につながることを示したのだ。

この研究は、ヒルベルトの第六問題の主要なケースを解決しただけでなく、古くからあるパラドックスを数学的に厳密に解決した。

粒子がビリヤードの球のように振る舞うミクロなスケールでは、時間は可逆的です。ニュートンの方程式は、粒子がどこから来てどこへ行くのかを予測します。未来は過去と根本的に異なるものではありません。

しかし、メソスコピックレベルやマクロスコピックレベルでは、時間を巻き戻すことはできない。「私たちは、時間を進めることで人は老化するが若返ることはない、ということをよく知っている。熱は冷たい物体から温かい物体へ自然に伝わるわけではない。コップに入ったインクの一滴は広がり、液体を黒くするが、元の小さな丸い形に自然には戻らない」とシモネラは書いている。ボルツマン方程式もナビエ・ストークス方程式も時間可逆ではない。時間を逆戻りさせようとすれば、結果は無意味になるだろう。

ボルツマンの同時代人にとって、これは不可解なことでした。時間可逆な系から、時間不可逆な方程式をどのようにして導き出すことができるのでしょうか？

しかしボルツマンは、パラドックスは存在しないと主張した。たとえ各粒子を時間可逆的にモデル化できたとしても、ほぼすべての衝突パターンは最終的にガスの分散に終わる。例えば、ガスが突然収縮する可能性は実質的にゼロである。

ランフォードは、この直感を非常に短い時間枠で数学的に確認しました。そして今、鄧、ハニ、そして馬の結果は、より現実的な状況においてそれを裏付けています。

今後、数学者たちは新たな証明の詳細をまだ精査中で、同様の手法が他の、より現実的な状況でも有用かどうかを検証したいと考えています。例えば、異なる形状の粒子からなる気体や、より複雑な方法で相互作用する粒子などが考えられます。

一方、ファルコビッチ氏は、こうした厳密な証明は、物理学者が気体が様々なスケールで特定の挙動を示す理由や、異なるシナリオにおいて異なるモデルの有効性が異なる理由を理解するのに役立つと述べた。「数学者が物理学者にしてくれるのは、私たちを目覚めさせることです」と彼は言った。

編集者注:波動システムに関する Deng 氏と Hani 氏による研究は、Simons Foundation によって部分的に資金提供されました。同財団は、編集上独立した Quanta 誌にも資金を提供しています。

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得 て転載されました。