紐で質量を揺らす遊びの物理学

2018年5月9日午前9時

特定の設定により、弦の張力を制御できます。

物理実験で、私がすごく面白いと思っても、生徒たちが「まあまあ」としか思わないデモンストレーションがたまにあります。これはまさにそんな例の一つです。サウスイースタン・ルイジアナ大学の授業で使ったこのデモンストレーションの基本的なアイデアは、質量体を水平方向に円を描くように回転させることです。でも、ちょっと待ってください！もっとすごいところがあります。紐を垂直の管に通して別の質量体に接続することで、紐の張力を制御できるのです。すごく楽しいんです。

何の話をしてるんだろう？これが役に立つかもしれない。

はい。それが私です。振り子の長さを一定に保つために集中しないといけないので、困惑した表情になっています。もしかしたら、生徒たちがこの実験を嫌がる理由はこれかもしれません。まあ、仕方ないですね。この揺れる質量にはいくつか重要な特徴があります。図を描いてみましょう。

質量をより低い角速度で回転させたい場合、弦を長くする必要があります。弦を短くしたい場合は、質量をより速く回転させる必要があります。弦の張力が一定であるため、これが唯一の方法です。なぜ張力が一定なのでしょうか？

_{管の底にぶら下がっている質量（M 2}と表記）を考えてみましょう。この質量はただそこにぶら下がっているだけ（円を描いて回転していない）なので、加速度が0メートル毎秒の2乗で平衡状態にあります。加速度（y方向）が0なので、正味の力は0ニュートンでなければなりません。垂直方向には2つの力、つまり大きさがM ₂ g（g = 9.8 N/kg）の下向きの重力と、上向きの張力（T）しかありません。つまり、もう一方の質量をどのように振っても、張力は必ずM ₂ gの値を持たなければなりません。

質量が円を描いて回転するときに弦が作る角度（上記でθと表記）はどうでしょうか？異なる速度でスイングすると、この角度はどのように変化するでしょうか？まず、質量 m ₁の力の図を見てみましょう。

この質量は円運動をしていますが、水平方向の円運動をしているだけです。垂直方向の運動も加速度もありません。つまり、y方向の正味の力はゼロでなければなりません。張力について考えると、y方向の張力成分は、張力の大きさ（これは既に分かっています）と角度（これは分かりません）に依存します。これは次の式で表すことができます。

張力の大きさの値（前述）を使用して、θ について次の式を得ます。

まさにその通りです。θです。質量を振る速さや弦の長さにさえ依存しません。ちょっとおかしいように聞こえるかもしれませんが、本当です。弦の張力は一定で、張力の垂直成分も一定でなければならないので、角度も一定でなければなりません。ちょっと測定して確認してみましょう。質量は同じで長さが異なる2つの振り方があります。

これによると、30.4°と22.8°という結果になったようです。全く同じではありません。なぜこんなに差が出るのか、よく分かりません。一つ問題なのは、水平方向に円を描くように振っていないことかもしれません。もう少し調べてみる必要があるかもしれません。

さて、もう 1 つ確認すべき点があります。角速度と弦の長さの関係はどうでしょうか。上の力の図を見ると、水平方向に作用する張力の成分は 1 つしかありません。つまり、正味の水平方向の力は 0 にはならないということです。実際には、質量 (m ₁ ) に加速度を掛けた値に等しくなければなりません。この場合、質量は円運動をしているので右方向に加速しています。円運動の加速度は、角速度の 2 乗 (このために記号 ω を使用します) と円の半径の積になります。円の半径は弦の長さではなく、弦の長さに θ の余弦を掛けた値 (三角形の隣接辺を求めるため) であることに注意してください。これをまとめると、次のようになります。

この式は、角速度の2乗は弦の長さで割った値に比例することを示しています。これは検証するには十分簡単そうです。必要なのは、異なる長さの弦（管の先端から質量までの長さ）を使って質量を振り回すだけです。これは、管の底に小さなテープを貼って長さが一定であることを確認することで可能です。もちろん、質量も一定に保つ必要があります。質量が1回転するのにかかる時間を測定することで、角速度を決定できます。角速度は、この時間で2πを割った値になります。

吊り下げ質量50グラムと揺動質量15.8グラムを用いて、5つの異なる長さでこの実験を行いました。ωの2乗と1/Lの関係をプロットしたものが以下です。

^{かなり直線的に見えますね。でも重要なのは傾きです。ω 2}と1/Lの関係を振り返ると、比例定数はM ₂ g/m _{1 の}はずです。質量とgは分かっているので、この定数は31 m/s ²になるはずです。直線近似の傾きは43 m/s ²です。完全に同じではありませんが、それでも近い値です。

それでも、これが学生の実験レポートであれば、このデータは許容範囲内だと思います。ただ、振り子の角度が一定ではなく、傾きが期待値に近くないのが少し心配です。弦と回転するガラス棒の間に摩擦が生じているのではないかと考えています。接触点で摩擦が生じているということは、振り子の質量における弦の張力はM ₂ gではなく、別の値であることを意味します。張力を測定するには、別の方法を考え出す必要があるかもしれません。

正直なところ、たとえ仕組みをかなり理解しているつもりでも、実験室で必ず実験をやり遂げるべき大きな理由がこれです。物事がどうなるかは、決して予測できないのですから。