パイは頼りになる

ギークにとって、カレンダーには素晴らしい祝日がいくつかあります。もちろん、10/23のモルの日（10/23）は、アボガドロ数（10の²³乗という巨大な数）を記念する日です。物理学において非常に重要なオイラー数（e = 2.718…）を祝うeの日（2/7）もあります。しかし、一番の記念日は3月14日の円周率の日です。これは、円周率の無限に長い小数近似値が3.14から始まるためです。円周率については語るべきことがたくさんあります。私は14年間、円周率の日に関する記事を書き続けています。（こちらに一部を掲載しています。）

円周率（ギリシャ語でπ）とは何でしょうか？定義上、円の円周と直径の比です。なぜ特別なのかは明らかではありませんが、円周率は円とは一見何の関係もなさそうなところでよく出てきます。しかし、円周率の最も奇妙な点の一つは、無理数だということです。つまり、2つの整数の分数として表すことができない値です。ああ、確かにそうですね。22/7（22÷7）という数は妥当な近似値ですが、円周率ではありません。

でもちょっと待ってください。円周率が無理数だと言うとき、私たちが実際に言っているのは、私たちが使っている数体系、つまり10進法、つまり10進法において無理数だということです。しかし、その数体系に必然性はありません。ご存知の通り、コンピューターは2進法、つまり2進法を使います。10進法がアナログ時代に選ばれたのは、私たちが10本の指で数えられるからでしょう。（豆知識：ラテン語の「digit」の語源は「digitus」で、「指」を意味します。）

では、円周率が有理数となる数体系は存在するのでしょうか？答えは「はい」です。

ちょっと待ってください、ナンバーシステムとは何ですか?

数体系の仕組みを復習しましょう。ネアンデルタール人の時代に豆の会計係だったと想像してみてください。豆が1個増えるごとに、洞窟の壁に異なる記号を書き込んでいきます。豆が200個増えるには、200個の記号が必要です。これは気が遠くなるような作業なので、あなたはそれらを「数字」と呼ぶのです。

ある日、賢いホモ・サピエンスに出会い、「働きすぎだよ！」と言われます。彼らは0から9までの10個の記号だけで豆の数を表す新しいシステムを持っています。9に達したら、左に1つ移動してまた始め、各桁が10の倍数になります。その後は100の倍数、そして10の倍数がどんどん大きくなっていきます。

214という数字を例に挙げましょう。百の位が2つ、十の位が1つ、一の位が4つあります。この数字の本当の意味は、次のように表すことができます。

（どんな数も0の累乗は1であることを覚えておいてください。）1より小さい位取りはどうでしょうか？それは単に10の累乗に負の指数をつけただけです。10 ^-1 = 1/10です。円周率の一部である3.14を例に挙げてみましょう。これは実際には次のことを意味します。

この 10 進法の唯一の問題は、円周を直径で割ったとき、常に余りが出るため、永遠に右へ進み続けなければならないことです: 3.141592653589793238…

とにかく、あなたはこれまでずっと10進数を使ってきたので、これらすべてをご存知でしょう。では、同じ考え方を他の記数法でどのように応用できるか見てみましょう。

2進数

もしかしたら、バイナリについて知っているのは『スターウォーズ』のオーウェンおじさんがC3P0に、湿気取りのバイナリ言語がわかるか尋ねるシーンだけかもしれません。（もちろん、C3P0はあらゆる言語を知っていて、喜んで答えてくれます。）でも、バイナリについても知っておくべきです。バイナリはあらゆるコンピューター機器で使われているだけでなく、面白​​い数学ジョークもいくつかあります。（読み進めてください。）

基本的な考え方は、2進法では10個の数字ではなく、たった2つの数字（0と1）を使うということです。2進法の感覚を実際につかむには、おそらく2進法の数字を10進法に変換するのが一番でしょう。例えば、1010という数字があるとします。これは何を意味するでしょうか？10進法の場合と同様に、各桁は2の累乗を表します。

10進数と似ていますが、違いますね。10進数、例えば22を2進数に変換するにはどうすればいいでしょうか？簡単な手順でできます。まず22を2で割ると、商は11になります。余りはないので、2進数の最初の桁は0です（2の^0の位）。次に11を2で割ると、5になり、余りは1です。さあ、次の桁は1です（2の^1の位）。これを繰り返して、割り算が0になるまで繰り返します。計算結果は次のようになります。

つまり、22は2進数では10110と表されます。では、小数点付きの10進数の場合はどうでしょうか？これは単に2進数の位取りに負の指数をつけただけのものになります。2進数も同様の方法で求めることができますが、今回は2で割る代わりに2を掛けます。

0.43 で試してみましょう。2 を掛けると 0.86 になります。余りは残さず、小数点の前の数字、つまり 0 を残します。これが 2 ^{-1 の}位の値になります。次に、この数字にもう一度 2 を掛けて 1.72 にします。小数点の前の数字は 1 なので、 1 × 2 ^-2になります。1 を使ったので、それを取り除いて 0.72 だけを使って先に進みましょう。この手順を飽きるまで繰り返します。結果は次のようになります。

これは2進数で0.01101になります。もちろん、これで終わりではありません。さらに小さな位の値を使って計算を続けることができます。これは、10進分数の1/3を10進小数点の0.333に変換するのと似ています… しかし、少なくとも10進数を2進数に変換できます。

さて、ジョークを一つ。「世の中には10種類の人がいる。バイナリーを理解する人と理解しない人だ」って感じ。分かりますか？10はバイナリーでは2です。そんなに面白くないかもしれませんね。

2進数の円周率

楽しみのために、円周率の10進近似値3.1415を2進数に変換してみましょう。上記の両方の処理が必要になります。まず、3（10進数）を2で2回割ることで、11（2進数）に変換できます。次に、小数部分を見てみましょう。上記の規則を用いると、0.1415は0.0010001に変換されます。つまり、円周率の近似値は11.0010001です。

これをTシャツにプリントして、何人がそれを円周率だと認識するか見てみたら面白いだろうね。きっとオタクもいるだろう。でももちろん、これはあくまで近似値に過ぎない。円周率は2進法でも10進法でも無理数だし、他のどんな進法でも無理数だ。

有理数としての円周率

では、円周率が無理数にならないような基数は存在するのでしょうか？ では、円周率を底とする数はどうでしょうか？ 待ってください！そんな数は本当に可能なのでしょうか？ もちろん可能です。これは単なる数学の問題ですから、何でも好きなようにできます。では、円周率を底とする数体系とはどのようなものになるでしょうか？ それは、各桁が円周率のべき乗である数字だけでしょう。例えば、次のようになります。

いくつか例を挙げてみましょう。円周率では、1は単にπ ⁰で、10進数でも1です。円周率10はどうでしょうか？(1 x π ¹ )+(0 x π ⁰ )、つまり単にπです。いいですね。では、10進数の10を円周率に変換するとしたらどうでしょうか？2進数に変換するのと同じ考え方ですが、少し複雑になります。しかし、円周率ではその数は100.01022122221… ああ、永遠に続きますね。面白いでしょう？もう指で数えられなくなってしまいますね。

もう一つ。3.14は実際には円周率の値ではないので、この数を円周率に変換するとどうなるでしょうか？ 3.0110130010112になります… 円周率では無理数だと思います。つまり、円周率の日の日付は円周率では有理数ではないということです。では、3月14日に円周率の日を祝うのは無理数なのでしょうか？ そうかもしれません。でも、私たちは円周率が大好きですし、愛は必ずしも合理的とは限りません。