スピードメーターを使って自分の車の位置を把握する方法

2021年2月2日午前10時

窓のない車には絶対に乗ってはいけません。でも、もし窓のない車に乗らざるを得なくなったら、物理学の原理を使って自分の位置を把握することができます。

窓のない車に乗っているところを想像してみてください。ちょっとおかしいかもしれませんが、ちょっと待ってください。窓はなくても、スピードメーターは見えます。さて、ここで質問です。スピードメーターを見るだけで、どれくらいの距離を走行したかを知ることはできるでしょうか？これは古典的な物理学の問題ですが、実際にやってみます。きっと楽しいでしょう。

まず、この問題の解き方を理解するために、理想的な状況から始めます。その後、実際のデータ、例えば私の車のスピードメーターのビデオを使って試してみましょう。これは現実世界の物理学の問題です。

何が起こっているのか理解するために、まずは簡単な例から始めましょう。5秒間、10メートル/秒の一定速度で動いている車があるとします。車は（1次元で）一定速度で動いているので、速度の定義は次のように書けます。

この式において、Δxは位置の変化（変位）、Δtは時間（時間間隔）です。これをΔxについて代数的に解くと、次のようになります。

速度が10m/s、時間が5秒だとすると、変位は50メートルになります。ほら、簡単でしょう。頭の中で計算できたかもしれませんね。でも、ちょっと待ってください。この問題には別の見方があります。速度を時間の関数としてグラフにしたらどうでしょうか？確かにつまらないグラフにはなりますが、とにかくやってみましょう。グラフは次のようになります。

等速線と横軸の間の領域を塗りつぶしていることに気付くでしょう。この領域は、長さ5秒、高さ10m/sの長方形です。つまり、速度線の下の面積は50メートルで、これは上の変位と同じです。分かりやすいでしょう？では、別の例を見てみましょう。

今、5 m/s の速度でスタートし、7秒間で15 m/s まで加速する車があるとします。この場合、速度は一定ではありませんが、平均速度は存在します。平均速度は、スタート速度（ここでは v ₁とします）とゴール速度（v ₂）の合計で、この2つの速度を2で割った値になります（つまり、平均です）。しかし、これは変位を時間間隔で割った値にも等しくなります。

開始速度と終了速度を用いると、平均速度は10m/sになります（はい、数字を簡単にしたかったのです）。つまり、7秒間で70メートルの移動量になります。しかし、「曲線下面積」法を使えば、この式は依然として有効です。さあ、確認してみましょう。

繰り返しますが、この変位は曲線の下の面積と同じです。確かに台形であり長方形ではありませんが、考え方は変わりません。あ、ここで注意が必要です。どちらの方法も車の位置を示すものではありません。位置の変化を示すものです。最終的な位置（x軸の値など）を知りたい場合は、物体の動きの開始時の位置を知る必要があります。

では、別の方法で変位を求めてみましょう。この動きを短い時間間隔（0.5秒とします）に分割してみましょう。この短い時間の間、車が一定速度で動いていると仮定し、移動距離を（時間間隔の開始時の速度に）0.5秒を掛けて求めます。これが、この短い時間における小さな長方形の面積です。そして、これらの小さな長方形の面積をすべて足し合わせます。すると、こんな感じになります。

これは「曲線の下の面積」の完全な値ではありませんが、近い値です。実際、より短い時間間隔を選択すると、より多くの小さな長方形が得られ、実際の変位をより正確に近似できます。さて、実際にこの方法で計算してみましょう。手順は以下のとおりです。

まず、総変位量の値を設定します。この値はゼロに設定します。
現在の速度に時間間隔の長さを掛けます。これで、小さな長方形の微小な変位が得られます。
その値を総排気量に加算します。
次に、次の時間間隔の開始時の速度に移動して繰り返します。

これは数値積分と呼ばれます（微積分における積分と似ていますが、数値だけを扱う点が異なります）。まさに私が（Pythonを使って）行った方法で、変位は67.5メートル（70メートルではなく）と算出されましたが、近い値です。では、なぜこのような計算を行うのでしょうか？もし速度の値がいくつかしか分かっておらず、連続的に増加する速度がない場合はどうなるでしょうか？その場合、最善の策は速度値を取得し、微小な変位を計算して合計することです。これは、実際の車から取得した実際の速度データがあれば、実際に起こることです。

仕組みはこうです。スピードメーターを映すビデオカメラを設置し、速度を時間の関数として記録します。そして数値積分を使って変位を求め、どれだけ移動したかを計算します。でも、正しいかどうかどうやって判断するのでしょうか？そこで、上空を飛ぶドローンの動きも記録します。きっと素晴らしい映像になるでしょう。

さて、ちょっとした問題があります。これが私のスピードメーターの外観です。

ビデオ分析（この用途ではTracker Video Analysisが私のお気に入りのアプリです）を使えば、ビデオの各フレームでスピードメーターの針の位置をマークできます。フレーム番号とフレームレート（各フレームは0.033秒）に基づいて時間を取得できますが、実際の速度はどうでしょうか？このアナログスピードメーターでは、実際に針の角度位置を測定し、それを実際の速度に変換する必要があります。それほど難しいことではありませんが、やらなければならない作業です。これにより、以下の速度と時間のデータが得られます。

面白みを出すために、静止状態から速度を上げました。その後、速度を落とし、再び速度を上げました。まあ、楽しいからですね。さて、数値計算です。総変位を求めるだけでなく、各小さな時間間隔ごとの距離の累計をプロットできます。こうすることで、位置を時間の関数としてプロットできます。これがその結果です。ああ、おまけに、これがデータと計算がすべて含まれた実際のコードです。鉛筆アイコンをクリックするだけで、Pythonコードを表示（および編集）できます。

出来栄えには満足しています。でも肝心なのは、これが実際の車の位置と合致するかどうかです。こちらはドローンからの映像です。

これで、Tracker Video Analysis を使って車両の実際の位置を時間の関数として取得できるようになりました。計算された位置とドローンデータを使った位置をプロットすると、以下のようになります（必要な場合は、データ付きのコードはこちらです）。

はい、いくつか問題があります。スピードメーターの映像とドローンの映像を正確に同期させるのは少し難しいです。両方の映像で見えるように、大きなフラッシュライトを点灯させた方が良かったかもしれません。しかし、その場合、上の2つの位置曲線の開始時刻がわずかにずれてしまいます。もう一つの問題は、動きが終わる前に車がドローンの視界から外れてしまうことです。つまり、スピードメーターからのデータがより多く得られるということです。

全体的に見て、2つのプロットは同じ形をしているようです。結果にはかなり満足しています。つまり、スピードメーターを見るだけで車の位置を特定できるということですね。ただし、これは車が直線を走っている場合にのみ有効です。カーブからの方向データは得られないからです。次のステップは、加速度データを記録して、位置プロットも作成できるかどうか確認することだと思います。これは宿題にしています。それから、念のため言っておきますが、窓を覆った状態で車を運転してはいけません。絶対にダメです。

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