数学者、何世紀も前の流体方程式を疑う

ナビエ・ストークス方程式は、物理界で最も普遍的な特徴の一つである流体の流れを、簡潔な言葉で捉えています。1820年代に遡るこの方程式は、今日では海流から飛行機の乱流、心臓内の血流まで、あらゆるものをモデル化するために用いられています。

物理学者はこの方程式をハンマーのように信頼できると考えているが、数学者はそれを警戒している。数学者にとって、方程式がうまく機能するように見えることはほとんど意味をなさない。彼らが求めているのは、方程式が絶対に成り立つという証明、つまり流体の種類に関わらず、その流れをどれだけ先まで予測しても、方程式の数学的性質が依然として成り立つという証明だ。しかし、そのような保証はなかなか得られない。ナビエ＝ストークス方程式が常に機能することを最初に証明した人（あるいはチーム）は、クレイ数学研究所が設立した7つのミレニアム懸賞問題のうちの1つと、それに伴う100万ドルの賞金を獲得する可能性がある。

数学者たちはこの問題を解くために様々な方法を開発してきた。9月にオンラインに投稿された新たな研究は、長年追求されてきた主要なアプローチの一つが成功するかどうかについて深刻な疑問を提起している。プリンストン大学のトリスタン・バックマスターとヴラド・ヴィコルによるこの論文は、特定の仮定の下ではナビエ・ストークス方程式が物理世界を矛盾した形で記述することを発見した初めての研究成果である。

「私たちは、これらの方程式に内在する問題点のいくつかを解明し、人々がそれらを再考しなければならない可能性が高い理由を解明しているところです」とバックマスター氏は語った。

バックマスターとヴィコルの研究は、ナビエ・ストークス方程式の解を非常に粗い（写真ではなくスケッチのような）ものにすると、方程式は意味をなさなくなることを示しています。同じ流体が、同じ初期条件から、最終的に2つ（あるいはそれ以上）の全く異なる状態に至る可能性があるということです。流体は一方向に流れることもあれば、全く異なる方向に流れることもあります。もしそうであれば、方程式は、記述するために設計された物理世界を信頼性を持って反映していないことになります。

方程式を破る

これらの方程式がどのように破綻するかを理解するには、まず海流の流れを想像してみてください。海流の中には、無数の横流が存在し、ある部分は一方向に一定の速度で流れ、他の部分は異なる方向に異なる速度で流れています。これらの横流は、摩擦と水圧の相互作用によって絶えず変化し、流体の流れを決定します。

数学者は、流体中のあらゆる位置における流れの方向と大きさを示すマップを用いて、この相互作用をモデル化します。ベクトル場と呼ばれるこのマップは、流体の内部ダイナミクスのスナップショットです。ナビエ・ストークス方程式は、このスナップショットを未来に展開することで、その後のあらゆる瞬間におけるベクトル場の挙動を正確に示します。

これらの方程式は有効です。ニュートン方程式が惑星の将来の位置を予測するのと同じくらい確実に流体の流れを記述します。物理学者はこれらの方程式を常に用いており、実験結果と一貫して一致しています。しかし、数学者たちは単なる逸話的な確認以上のものを求めています。彼らが求めているのは、これらの方程式が不可侵であること、つまり、どのようなベクトル場から始めても、どれだけ未来までそれを操作しても、これらの方程式は常に唯一の新しいベクトル場を与えるという証明です。

これがミレニアム賞問題の主題であり、ナビエ・ストークス方程式があらゆる時点、あらゆる出発点に対して解（解は本質的にベクトル場である）を持つかどうかを問うものです。これらの解は、流体中のあらゆる点における流れの正確な方向と大きさを与えなければなりません。このように無限に細かい解像度で情報を提供する解は「滑らかな」解と呼ばれます。滑らかな解では、場のあらゆる点に関連付けられたベクトルが存在し、ベクトルを持たない点、つまり次にどこに移動すればよいかわからない点に陥ることなく、場を「滑らかに」移動することができます。

滑らかな解は物理世界を完全に表現しますが、数学的に言えば、常に存在するとは限りません。ナビエ・ストークスなどの方程式を研究する数学者は、次のようなシナリオを懸念しています。ナビエ・ストークス方程式を実行し、ベクトル場がどのように変化するかを観察しています。ある有限時間が経過すると、方程式は流体内の粒子が無限の速度で移動していることを示します。これは問題です。方程式は、流体の圧力、摩擦、速度などの特性の変化を測定することを含みます。専門用語で言うと、これらの量の「微分」を取ります。しかし、ゼロで割ることができないのと同様に、無限値の微分を取ることはできません。したがって、方程式が無限値を生成する場合、方程式は破綻した、または「爆発した」と言えます。方程式は、その後の流体の状態を説明できなくなります。

爆発は、方程式が記述すべき物理世界について何かを見逃していることを示す強いヒントでもあります。「もしかしたら、方程式は現実の流体のすべての効果を捉えていないのかもしれません。なぜなら、現実の流体では、粒子が無限に速く動き始めることは想定されていないからです」とバックマスター氏は言います。

ミレニアム懸賞問題を解くには、ナビエ・ストークス方程式では爆発が起こらないことを示すか、爆発が起こる状況を特定することが必要です。数学者がこれを実現するために追求してきた戦略の一つは、まず方程式の解に求められる記述的性質を緩和することです。

弱から滑らかへ

数学者がナビエ・ストークス方程式のような方程式を研究する際、解の定義を広げることから始めることがあります。滑らかな解は最大​​限の情報を必要とします。ナビエ・ストークス方程式の場合、流体に関連付けられたベクトル場のあらゆる点にベクトルが存在することが求められます。しかし、要件を緩めて、いくつかの点についてベクトルを計算できれば良い、あるいはベクトルを近似できれば良いとしたらどうでしょうか？このような解は「弱」解と呼ばれます。これにより、数学者は滑らかな解を見つける作業（実際には不可能な場合もあります）を全て行うことなく、方程式の挙動を探り始めることができます。

「ある観点から見ると、弱い解は実際の解よりも記述が簡単です。なぜなら、必要な知識がずっと少ないからです」と、バックマスターとヴィコルの研究の基礎を築いたいくつかの重要な論文をラースロー・セーケイヒディとともに共著したカミロ・デ・レリスは述べた。

弱い解には段階的な弱さがあります。滑らかな解を流体の数学的画像、つまり無限に微細な解像度で表現したものと考えると、弱い解は、その画像の32ビット版、16ビット版、あるいは8ビット版（どの程度の弱さを許容するかによって異なります）のようなものです。

1934年、フランスの数学者ジャン・ルレーは、弱解の重要なクラスを定義しました。「ルレー解」は、正確なベクトルを扱うのではなく、ベクトル場の小さな近傍におけるベクトルの平均値をとります。ルレーは、解がこの特定の形を取る限り、ナビエ・ストークス方程式を解くことが常に可能であることを証明しました。言い換えれば、ルレー解は決して爆発しないということです。

ルレイの功績は、ナビエ・ストークス問題に対する新たなアプローチを確立しました。それは、常に存在することが分かっているルレイ解から出発し、それを常に存在することを証明したい滑らかな解に変換できるかどうかを検証するというものです。これは、粗い画像から始めて、徐々に解像度を上げていき、現実のものの完璧な画像が得られるかどうかを試すプロセスに似ています。

「考えられる戦略の 1 つは、これらの弱いルレイ解が滑らかであることを示すことです。そして、滑らかであることを示すことができれば、元のミレニアム懸賞問題を解決したことになります」とバックマスター氏は語りました。

もう一つ注意点があります。ナビエ・ストークス方程式の解は現実の物理現象に対応しており、物理現象は一方向にしか起こりません。そのため、方程式には唯一の解の集合が一つだけ存在することが望まれます。もし方程式が複数の解の候補を与えるなら、それは失敗です。

そのため、数学者はルレイ解が一意である場合にのみ、ミレニアム懸賞問題を解くためにルレイ解を用いることができる。一意でないルレイ解は、ナビエ・ストークスの法則によれば、全く同じ流体が全く同じ初期条件から2つの異なる物理状態に至る可能性があることを意味し、これは物理的に意味をなさず、方程式が本来記述すべきものを実際には記述していないことを意味する。

バックマスターとヴィコルの新しい結果は、弱解の特定の定義についてはそれが当てはまるかもしれないことを示唆する初めてのものである。

多くの世界

バックマスターとヴィコルは、新たな論文で、ルレイ解よりもさらに弱い解、すなわちルレイ解と同じ平均化原理を用いるものの、さらに一つの要件（「エネルギー不等式」として知られる）を緩和した解を考察している。彼らは「凸積分」と呼ばれる手法を用いている。これは数学者ジョン・ナッシュの幾何学における研究に端を発し、近年ではデ・レリスとセーケイリヒディによって流体研究に導入された。

このアプローチを用いて、バックマスターとヴィコルはナビエ・ストークス方程式のこれらの非常に弱い解が一意ではないことを証明しました。例えば、ベッドサイドに静止したコップ一杯の水のような、完全に静止した流体から始める場合、2つのシナリオが考えられます。最初のシナリオは明白です。水は最初は静止し、永遠に静止したままです。2番目のシナリオは非現実的ですが、数学的には許容可能です。水は最初は静止し、真夜中に噴出し、その後再び静止します。

「初期データゼロから少なくとも2つのオブジェクトを構築できるため、これは非一意性を証明するものです」とヴィコル氏は語った。

バックマスターとヴィコルは、ナビエ・ストークス方程式の弱解が（上記の2つだけでなく）一意でないものが多数存在することを証明しました。このことの意義はまだ明らかになっていません。ある点において、弱解はあまりにも弱くなりすぎて、本来模倣すべき滑らかな解に実質的に影響を与えなくなる可能性があります。もしそうであれば、バックマスターとヴィコルの結果はそれほど大きな意味を持たないかもしれません。

「彼らの結果は確かに警告ですが、弱解という最も弱い概念に対する警告とも言えるでしょう。ナビエ・ストークス方程式には、より優れた挙動を期待できる（より強い解の）層が数多く存在します」とデ・レリス氏は述べた。

バックマスター氏とヴィコル氏も層の観点から考えており、ルレイの解法に照準を定めています。この解法によっても、同じ位置にある同じ流体が将来複数の形態をとることができるマルチトラック物理学が可能になることを証明できます。

「トリスタンと私は、ルレイの解決策は唯一のものではないと考えています。まだそのような解決策は見つかっていませんが、私たちの研究は、問題にどのように取り組むかという基礎を築いているところです」とヴィコルは語った。

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。