金を狙う「スナイピング」の物理学

YouTubeのアルゴリズムがどうやって視聴すべき動画を見つけているのか、よく分かりませんが、金鉱探しの動画に出くわしてからは、もう止まりません。金鉱探しの動画はたくさんありますが、膝まで水に浸かりながら川に潜り込み、岩の割れ目に隠れた小さな金のかけらを探す動画が好きです。もし興味があれば、「Tassie Boys Prospecting」か「Pioneer Pauly」を見てみてください。どちらも素晴らしい動画です。（でも、YouTubeは金鉱探しの動画ばかり表示してくるので、気をつけてくださいね。）

こうした金の粒を探す方法の一つに、「スナイピング」法があります。YouTubeを徹底的に分析した結果、その仕組みは以下のとおりです。まず、金が埋まっている可能性のある川を見つけます。ウェットスーツ、マスク、シュノーケルを装着します。岩を掘り返して、粒が潜んでいそうな場所を探します。手で水をかき混ぜて、小さな石や土など多くのゴミをかき混ぜます。中には金も混じっているかもしれません。ゴミのほとんどは川の流れに流されてしまいますが、金は沈み始めます。小さなスクイジーボトルを使って、小さな破片を吸い上げます。儲けましょう！（少なくとも、ちょっとした楽しみは味わえます。）

でも、なぜ金は流水に流されないのでしょうか？不思議に思うのですが、金の密度が非常に高い（1立方センチメートルあたり約19.3グラム）からではないかと考えています。これは岩石の密度（1立方センチメートルあたり約2.7グラム）よりもはるかに高いのです。これはどういうことか分かりますか？流れる川の中にある瓦礫と金の破片の模型を作らなければならないんです。

（注：この記事は金採掘の物理的な側面についてのみ解説しています。実際に試してみたい場合は、お住まいの地域の金採掘に関する規制をご確認ください。地域によっては金採掘が違法であったり、使用できる機器や採取できる材料の量に制限がある場合があります。）

まず、流れる川に流れ込むランダムな破片の塊（岩石、金など、何でも構いません）をモデル化してみましょう。破片は球形で、半径（r）と密度（ρ）が質量（m）を持つと仮定します。次に、この物体に作用する力を考えてみましょう。

デブリには3つの力が作用します。まず、地球との相互作用によって生じる下向きの重力（F _g）です。この力は、物体の質量（m）と重力場（地球上ではg = 9.8ニュートン/キログラム）の両方に依存します。

次に、浮力（F _b）があります。物体が水（または任意の流体）に沈んでいる場合、周囲の水から上向きの力が働きます。この力の大きさは、物体が押しのけた水の重さに等しく、物体の体積に比例します。重力と浮力はどちらも物体の大きさに依存することに注意してください。

最後に、移動する水と物体との相互作用による抗力（F _d）があります。この力は、物体の大きさと水に対する相対速度の両方に依存します。抗力（水中における力、空気抵抗と混同しないでください）の大きさは、ストークスの法則を用いて次の式でモデル化できます。

この式において、Rは球状物体の半径、μは動粘性係数、vは物体に対する流体の速度です。水中では、動粘性係数は約0.89 x 10 ^-3 kg/m/sです。

これで、流水中の岩石の動きと金塊の動きをモデル化できるようになりました。しかし、小さな問題が一つあります。ニュートンの第二法則によれば、物体に作用する正味の力は物体の速度を変化させますが、速度が変化すると力も変化します。

この問題に対処する一つの方法は、各物体の運動を小さな時間間隔に分割することです。各間隔中、正味の力は一定であると仮定できます（これはほぼ正しいです）。力が一定であれば、間隔の終わりにおける物体の速度と位置を求めることができます。そして、次の間隔についても、同じプロセスを繰り返すだけです。

しかし、0.001秒間隔を使うと、物体の1秒間の動きを取得するのに、このような計算を1,000回行う必要があります。そんな計算を全部やりたい人はいないでしょう。そこで、代わりにPythonプログラムを書くことにしました。

この計算の簡単なテストをしてみましょう。半径0.5ミリメートルの小さな球状の物体が2つあるとします。1つは岩石、もう1つは金です。どちらも、水面から10センチメートルの高さから、毎秒0.1メートルの速度で流れる水流に乗せて放出されます。これは、垂直位置（y）を時間（t）の関数としてプロットしたものです。

金の物体（青い曲線）が岩（赤い曲線）よりも速く沈んでいくことに注目してください。これは基本的に、金を狙うプレイヤーが望む動きです。岩は流され、金は沈んでいくのです。

物体が放出された後、下流にどれだけ移動するかを考えてみましょう。下流への移動距離は、物体の密度だけでなく、大きさにも依存します。流れのある小川で、同じ高さから放出された金の球と岩の球の動きを比較するモデルを考えてみましょう。それぞれの物体は、底に到達するまでにどれだけ下流に移動するでしょうか？以下は、下流への移動距離と物体の半径の関係を示したグラフです。

川の堆積物には、他の物質も混ざっていることがあります。時には、鉄（密度7.87グラム/立方センチメートル）や鉛（密度11.34グラム/立方センチメートル^）の微小な破片が見つかることもあります。これらの物質は似たような曲線を描くことが多いですが、金と岩石の曲線の中間に位置します。そのため、金の破片が最初に底に沈むことになります。

このグラフからもう一つ注目すべき点があります。物体が小さいほど、下流における岩と金の分離が大きくなります。もし二つの破片の半径がそれぞれわずか0.2ミリメートル（かなり小さい）だとすると、水中に沈んだ後、両者は約5センチメートル離れることになります。まさにこれが望ましい状態です。岩を取り除き、金は残すのです。しかし、岩と金の破片が大きくなるにつれて、下流における分離は非常に小さくなります。それでも、これは問題ないでしょう。なぜなら、物体が大きくなれば、金のスナイパーは金とそうでないものをはっきりと見分けられるはずだからです。

これはスケールの物理学の好例です。私たちはしばしば、大きなもの（例えば大きな岩）は小さなもの（例えば小石）と同じように振る舞うと考えがちです。つまり、小さな岩と大きな岩を落とせば、基本的に同じ動きで落ちます。ですから、小さな岩も大きな岩も同じように水の影響を受けると考えるのは理にかなっているように思えます。しかし、実際はそうではありません。物理学者がスケールと呼ぶサイズと異なる関係を持つ2つの異なる影響がある場合、違いが生じます。

流れのある川に沈む球体の例を見てみましょう。話を単純化するために、球体は水中で垂直方向にのみ動いていると仮定します。そのため、2次元を扱う必要はありません。この場合、物体の加速度は、力の合計を質量で割ることで計算できます。（これはニュートンの運動の第二法則から直接得られます。）

重力 (F _g ) は負、つまり下向きですが、抗力 (F _d ) は動きの方向が反対なので正、つまり上向きであることに注意してください。

もちろん、物体の質量（m）が必要です。球体の場合、質量は体積に比例し、体積は半径（r）の3乗に依存します。しかし、抗力は物体の大きさにも依存します。この力の大きさは物体の半径に比例します。式中の加速度を半径の項を使って書き直してみましょう。

さて、球の大きさを2倍にするとしましょう。すると抗力も2倍になります（Rの代わりに2Rを代入するだけです）。では、重力はどうでしょうか？これはR ³に依存するため、半径が2倍になると質量は8倍（つまり2 ³）増加します。つまり、物体のサイズが大きくなるにつれて、重力は抗力よりもはるかに大きくなります。最終的には、抗力の大きさが重力に比べて無視できるほど小さくなる点に到達します。その時点では、大きな岩と大きな金塊は水中を非常に似た動きをするでしょう。

スケールの物理学の素晴らしい例は数多くあります。例えば、地球には溶融核がありますが、月にはそれがありません。これは地球の方が大きく、冷却に時間がかかるためです。一般的に、小さな物体は大きな物体よりも早く冷えます。これは、体積に対する表面積の比率が大きいためです。体積が大きいほど、物体が持つ熱エネルギーは大きくなりますが、このエネルギーを比較的小さな表面を通して放射する必要があります。

もう一つの例を挙げましょう。大型の鳥が小型の鳥のように見えないのは、飛ぶために巨大な翼が必要なためです。飛ぶ鳥は、下向きの重力と翼からの上向きの揚力という、等しい二つの力を受けます。重力は鳥の体積に比例しますが、揚力は翼の面積に依存します。つまり、ハチドリの形を変えずにサイズを2倍にすると、重量は8倍（サイズの3乗）になりますが、揚力は4倍（サイズの2乗）しか増加しません。この問題を解決する唯一の方法は、大型の鳥にもっと大きな翼を与えることです。だからこそ、ワシほどの大きさのハチドリは存在しないのです。

大きな雹が小さな雹よりもはるかに危険である理由も、物理的なスケールによって説明できます。雹は飛ぶ鳥と似ていますが、冷たく、車にダメージを与える可能性があります。雹の球の半径を2倍にすると、体積（つまり重量）は8倍になります。しかし、表面積は4倍しか増加しません。つまり、大きな雹は車に当たるまでの終端速度が速くなります。さらに、サイズが大きいため質量も大きくなります。そのため、雹は車にへこみをつけるだけでなく、フロントガラスを割る可能性もあります。

そしてもちろん、金を狙う人にとって、物理的なスケールは、小さな金塊を見つけるか、ただの古い岩を見つけるかの違いです。