スクール・オブ・ロック：ギター弦の波の物理学

モダンロックにおいて最も象徴的な楽器は、おそらくギターでしょう。ギターは板の上に張られた弦の束で、波と音の物理的な原理を利用してかき鳴らすことで、素晴らしい音色を奏でることができます。

弦の波動パルス

まずは、自宅でも再現できるようなデモから始めましょう。少し太めの紐を用意し、床にまっすぐ伸ばします。そして、片方の端を掴んで左右に振ってみてください。こんな感じです。

この簡単な実験から、いくつか本当に重要なことがわかります。まず、手を振ると、弦が横にずれることに注目してください。このずれは弦の長さに沿って伝わります。重要なのは、伝わるのはずれだけで、弦自体が伝わるわけではないということです。この移動変位を「波動」、弦を「媒質」と呼ぶことができます。

第二に、波パルスには有限の速度があり、この速度はパルスの形状に依存しないことがわかります。

2つ目の実験を試してみましょう。弦を強く引っ張って張力を高め、別の波動パルスを発生させてみましょう。弦の張力が高まるほど、パルスの速度が速くなるのがわかるはずです。これは非常に重要です。波の速度は、波を発生させた発生源（この場合はあなたの手）に依存しないということです。波動の速度は、媒質、つまり弦の特性に依存します。

弦の線密度、つまり太さを減らすことでも、波の速度を上げることができます。弦が細く軽いほど、波のパルスの伝わりは速くなります。

これで、デモでは軽い弦ではなく重い弦を使う方が良い理由がお分かりいただけたと思います。確かに、細い弦でも美しい波動パルスを伝わらせることはできますが、伝わり方が速すぎて見えにくいのです。（この波の速度については、ギターの弦について考える際に改めて説明します。）

弦の繰り返し波

弦を使った次の実験の準備はできましたか？今度は、手を一回動かすのではなく、前後に連続的に動かして、繰り返し波のパルスを作りましょう。おそらく注釈は付いていませんが、こんな感じになるはずです。

繰り返し波の場合、変位を記述するために使用できる属性がさらにいくつかあります。これらの繰り返し波は、たとえ左右に振動する場合でも、高低の連続として考えると分かりやすいでしょう。

これらの高点と低点を使って、2つのことを説明できます。まず、振幅です。これは、弦が平らに置かれ、波が全くない場合の平衡位置から高点までの距離です。つまり、振幅は擾乱の大きさです。

次に波長があります。これは波が一周するのにかかる距離です。波長を測る簡単な方法の一つは、ある高い点から次の高い点まで、あるいはある低い点から次の低い点までの距離を測ることです。

波にはもう一つ重要な特性があります。それは周波数です。波が通過する弦の一点を観察すると想像してみてください。その一点は波の方向に対して垂直に前後に動いています。そして、その点が1秒間に5回振動したとしましょう。この波の周波数は1秒間に5回、つまり5ヘルツ（Hz）であると言えます。

さて、表記について少し説明します。波長は通常、ギリシャ文字のλを使います。周波数はf（当然ですね）、波の速度はv （速度）です。振幅は波の種類によって異なるため、 A のような分かりやすい表記を使っても構いません。

これらのプロパティは次の関係に従うため、シンボルを使用すると便利です。

この式の意味を少し考えてみましょう。弦に何も変更を加えなければ、波の速度 ( v ) は一定のままであることを覚えておいてください。単純な値を使うために、波の速度を毎秒1メートルとしましょう。

さて、弦の端を1秒ごとに1回前後に振るとします。すると、周波数（f）1Hzの波が発生します。1秒間隔で振ると、波のパルスは1メートル移動し、波長（λ）は1メートルになります。実に簡単です。

しかし、周波数を2Hzに上げるとどうなるでしょうか？振動の間隔は0.5秒になり、パルスは次のパルスが発生するまで0.5メートルしか移動しなくなり、波長は0.5メートルになります。周波数を上げると波長が短くなることがわかります。（これはギターにとって重要です。）

光の波

おまけに、弦の波の記述は他の種類の波、例えば私たちがよく知る光にも当てはまります。光は電磁波です。つまり、弦の長さに沿って伝わる振動ではなく、光波は電場と磁場の両方の振動です。驚くべきことに、電場と磁場は互いに依存しており、そのおかげで電磁波は何も無い空間を伝わることができるのです。こうして光は遠くの星から地球上の私たちの目まで、ほとんど何もないまま伝わっていくのです。

^{光には波の速度もあります。これは光速と呼ばれ、毎秒3×10 8}メートルです。波の速度は、弦の波と同じように、波長と波の周波数の積に等しくなります。

定在波

波の性質について基本的な知識が得られたので、次は別のデモを見てみましょう。これは簡単です。輪ゴムを片方の手の親指と人差し指の間に伸ばします。そして、輪ゴムを弾いてみましょう。もし輪ゴムが手元にない場合でも、こんな感じになるはずです。

これはおそらく定在波の最も単純な例でしょう。ゴムを弾くと波動が発生し、それが輪ゴムを伝わって両端、つまり指があるところで反射します。この反射波は互いに干渉し合い、まるで定常波のように静止しているように見えます。これが「定在波」と呼ばれる理由です。（科学には理にかなっていることが時々あるのです。）重要なのは、伸びた輪ゴムの中央部分が、先ほどの繰り返し波の高低点のように上下に動いていることです。

しかし、もう少し複雑な定在波を作ることもできます。こちらは長い弦の波です。

アニメーションで見ると分かりやすいかもしれません。以下はPythonを使った数値計算です。少し複雑ですが、この動画で詳細を全て説明しています。

これらの定在波はどちらも、輪ゴムのデモでは簡単には確認できないことを示しています。弦の真ん中に、上下に動かない点があることに注目してください。それは静止したままです。定在波は、上下に完全に振動する部分（腹）と静止したままの部分（節）に分けることができます。

中央に節があると見た目がかっこいいだけでなく、弦の長さ（Lとしましょう）と波長（λ）の関係が分かりやすくなります。弦は弦の長さ全体にわたって上下に伸びているので、1波長分になります。

輪ゴムの例には確かに2つの節があります。つまり、指で掴んでいる輪ゴムの両端です。定在波は波長の半分しかありませんが、輪ゴムの長さと波長の大きさの間には確かに関係があります。

ギター弦

これらすべての考えをまとめて、ギターの弦を見てみましょう。弦を弾くと、中央に腹、両端に2つの節を持つ定在波が形成されます。これを第一倍音と呼びます。

第二高調波（中央に節がある）やさらに高次の高調波を生成することも可能である。しかし、弦にかかる抵抗力のため、これらの高周波数はすぐに減衰し、弦の長さの2倍の波長を持つ定在波だけが残る。

しかし、ギターの弦をかき鳴らして定在波を見るわけではありません。ギターをかき鳴らすのは、音を、場合によっては音楽を奏でたいからです。私たちが本当に気にするのは、振動するギターの弦の周波数です。現実的な値を使ってみましょう。最も高い周波数の弦を使うと、330Hzで振動するでしょう。音階で言えば、ミです。また、弦の長さを76.5センチメートル（30インチ）と仮定しましょう。この弦の長さから、波長は1.53メートルになります。v = λfを用いると、波の速度は毎秒504.9メートルとなります。

同じ弦でG音、つまり391Hzを弾きたい場合はどうすればいいでしょうか？指で弦をフレットボード上で押し下げることで可能です。これにより、弦の長さが実質的に変化し、波長も変化します。計算してみると、実効長さが64.6センチメートル（25.4インチ）の場合、波長が十分に短くなり、周波数が391Hzまで上昇することが分かります。さらに高い周波数の音を出したい場合は、弦をさらに短くするだけです。

330Hzより低いギターの音を出すにはどうすればいいのでしょうか？同じ弦では無理です。しかし、同じ長さで線密度、つまり単位長さあたりの質量が高い弦を使うことは可能です。ギターの弦の太さがそれぞれ異なるのはそのためです。弦の特性を変えることで、弦上の波の速度を変えることができることを覚えておいてください。密度が高いほど波の速度は遅くなり、周波数も低くなります。残りはただの音楽です。

ギターの音が正しく出ない、例えばE音が330Hzではなく325Hzで鳴っている場合はどうすればいいでしょうか？この問題はギターをチューニングすることで解決できます。ギターの各弦の端にはチューニングペグが付いています。これを回すと、弦の張力が増減します。張力を上げると、その弦の波の速度も上がり、周波数も上がります。これであなたはただギターを弾いているだけでなく、ギターヒーローになった気分です。ちょっと待ってください、それはビデオゲームですから。気にしないでください。