超音速野球ボールのクールな物理学

空気圧で音速を超える野球ボールを打ち出す大砲を作れるでしょうか？どうやら答えは「できる」ようです。YouTubeでSmarter Every Dayの作品をご覧ください。なかなかすごいです。基本的には空気砲の一種です。この装置の仕組みは、まずPVCパイプにボールを入れ、両端をテープで密閉します。次に、パイプ内の空気を抜きます（ボールはまだパイプの中に入っています）。その後、パイプの片方の壁に穴を開け、空気がパイプ内に流れ込み、反対側のテープを通してボールを押し出します。時にはものすごいスピードで。つまり、これはほぼ同じようなものですが、ボールを使ったものです。

驚くべきことに、彼らは最初のショットで野球ボールを超音速にまで加速させました。ボールの速度を測定する（つまり速度を確認する）ために、彼らは12フィート離れた2本の棒の上をボールが通過するスローモーション動画を撮影しました。ボールが1本の棒から次の棒まで移動するのにかかる時間を求めることができれば、平均速度は次の式で求められます。

この方程式では、誤って見落としてしまう可能性のある重要な点がいくつかあります。

これは平均速度です。時間間隔が長い場合、時間間隔の開始時と終了時のボールの速度が異なる可能性があります。
これは水平位置の変化 (Δx) を使用するため、瞬間速度ではなく平均水平速度のみが得られます。
注意してください。よくある「距離÷時間」の公式を使えば正しい答えが得られるかもしれませんが、この方法で速度を計算するのはあまり良い習慣ではありません。速度は位置の変化を時間の変化で割ったものだからです。

YouTubeクリップでは、スローモーション動画を使ってボールの速度を秒速1,538.46フィート（469 m/s）と算出しています。これは、空気中の音速（約343 m/s）よりもかなり速い数値です（ただし、この値は気温によって多少変化します）。

全体的に見て、超音速ボールの素晴らしい映像ですね。でも、これが何を意味するかお分かりですよね？動画分析の絶好の機会なんです。そうなんです。動画分析の基本的な考え方は、動画の各フレームにおける物体の位置を見ることです。適切なスケール（2本の棒の間の距離など）を使えば、各フレームにおける物体の位置（xとy）を取得できます。フレームレートが分かっている場合は（私たちは知っています）、動画から時間データも取得できます。これは素晴らしいですね。あ、私は無料ソフトのTracker Video Analysisを使っています。それから、動画に距離とフレームレートを表示してくれたSmarter Every DayのDestinさんには感謝の気持ちでいっぱいです。

つまり、ボールが2本のスティックの間を移動する時間だけを見るのではなく、フレームごとに位置を取得できます。これはボールの速度を求める別の方法であり、ボールがランチャーから飛び出す際の速度変化を考慮できる、より優れた方法です。ボールの位置をマークすると、水平位置を時間の関数としてプロットした次のグラフが得られます。

これは位置と時間のグラフなので、データの傾きは位置の変化を時間の変化で割ったものになります（傾きの定義より）。ちょっと待ってください。これは速度の定義と同じです。つまり、傾きこそが速度なのです。これは素晴らしいですね。ボールが一定速度で動いていないことを示しています。さらに素晴らしいことに、複数のビデオフレームでボールの位置をマークしているので、動きの始まりと終わりの両方で傾き（速度）を計算できます。ボールの速度が落ちているのに気づきましたか？これは空気抵抗によるものです。ボールがどれだけ減速したかを実際に測定できるのは素晴らしいですね。まさにこれが超高速カメラの素晴らしいところです。

動画冒頭のデータの一部を選択し、線形近似を用いて位置と時間の傾きから速度を算出できます。これにより、約0.002秒時点での初速度は456 m/sと算出されます。動画の終盤では、約0.011秒時点でのグラフの傾きは382 m/sです。この時間間隔における速度の変化から、ボールの水平加速度を計算できます。

しかし、なぜボールは減速するのでしょうか？野球ボールが発射装置から離れた後、ボールの速度を変化させる相互作用はたった2つしかありません。それは、下向きに引っ張る重力と、ボールと空気中の分子との衝突によって生じる後方に押す空気抵抗です。

重力は通常かなり大きくなりますが、今回の場合は非常に短い時間間隔で作用するため、ボールの速度に大きな変化は生じません。では、空気抵抗はどうでしょうか？この空気抵抗は、ボールの速度 (v)、空気の密度 (ρ)、ボールの断面積 (A)、そして形状に依存する抵抗係数 (C) に依存するモデルを構築できます。これらの値のほとんどは既知ですが、高速時の抵抗係数は決定が難しい場合があります。

そうですね、モデルを構築できるまでは本当に理解できない、というのが私の常套句です。では、実際にモデルを構築してみましょう。もちろん、この超音速野球ボールの運動はそれほど単純なものではありません。空気抵抗によってボールは減速しますが、空気抵抗はボールの速度に応じて変化します。速度が低下するとこの力も減少しますが、ボールの減速は緩やかになります。つまり、このボールの位置を時間の関数として解析的に求める解は存在しないということです。唯一の望みは、数値モデルを構築することです。

数値モデルの核となる考え方は、ボールの位置と速度の初期値から始めることです。速度がわかれば、その瞬間にボールにかかる力を計算できます。次のコツは、ごく短い時間間隔後のボールの速度と位置を求めることです。この時間間隔中は、空気抵抗力は一定、少なくとも近似的に一定であると仮定できます。そして、短い時間間隔の終わりに、新しい速度を使って新しい空気抵抗力を計算し、この手順をもう一度繰り返します。この方法の唯一の問題は、非常に複雑な数学的問題が1つではなく、より単純な問題が何千も得られることです。

ボールの軌道を決めるために何千もの計算をしたい人はいませんよね。だから、コンピューターに任せればいいんです（コンピューターは普通文句を言いません）。さて、プログラミングの詳細は省いて、コードだけお見せします。これはボールの軌道を示す数値計算です。赤い線は動画の実際のデータ、青い線は抗力係数C = 2.5、緑の線はC = 1のときのものです。

計算結果を確認したり変更したい場合は、上の「鉛筆」アイコンをクリックしてください。はい、プログラムを操作してみてください。

しかし、この出力は何を示しているのでしょうか？野球ボールの抗力係数が2.5の場合、モデルは実際のデータとほぼ一致するということです。よく考えてみると、これは非常に素晴らしいことです。もちろん、これは非常に短い時間間隔での話です。空気抵抗によってボールの速度がさらに低下すると、ボールは音速を下回り、抗力係数も変化します。野球ボールが通常の速度で動いている場合、抗力係数は約C =0.3になります。そうです、超音速と亜音速の空気抵抗力は大きく異なる可能性があります。これが流体力学を非常に複雑にする要因の一つです。

モデルができたら（私はすでに作成済みです）、それを使って色々なことができます。これで、0.01秒より長い時間でプログラムを再実行し、ボールが衝突する壁がない場合に何が起こるかを調べることができます。もちろん、抗力係数について何らかの仮定を置く必要があります。この計算では、ボールが音速よりも速い間は抗力係数を2.5、遅い場合は0.3とします。正確ではないかもしれませんが、それでもこのボールの動きについてある程度の見当はつくでしょう。

また、野球ボールを地面から1メートルの高さで水平に打ち上げるという仮定から始めます。この場合の軌道を図にすると、次のようになります。

ボールが地面に着地するまでに約5キロメートル飛行することがわかります。ちなみに、縦軸のスケールと横軸のスケールが異なるため、このグラフはボールの軌道を「図」で表したものではないことをご指摘ください。それでも面白いですね。

さて、宿題の質問です。

野球ボールを真上に投げたとしましょう。どれくらい高く飛ぶでしょうか？高く飛ぶにつれて空気の密度が減少することを考慮する必要がありますか？
ボールがターゲットボードに衝突すると、基本的に破壊されます。ボールの最終部分の水平速度がゼロ（完全に停止）であると仮定しましょう。このボールが7.6cm（野球ボールの直径）の距離で停止した場合、停止中にボールがターゲットに及ぼす平均的な力はどれくらいでしょうか？
この超音速野球ボールの運動量と運動エネルギーは、弾丸と比べてどうでしょうか？弾丸と、その弾丸が発射されたライフル銃を選んでください。
野球ボールは音速以下になるまでにどれくらいの距離を飛ぶでしょうか？
動画では、シュリーレン画像装置の前を野球ボールが通過する様子が映し出されており、超音速の衝撃波を見ることができます。この衝撃波の角度を測定し、それを用いて野球ボールの速度を推定してください。この値は、動画解析で得られた速度に近い値になるでしょうか？
より動的な抗力係数の値を用いたモデルを構築してください。ここでは、超音速流星に関するこの論文が役立つかもしれません。
この野球ボールを（平地で）最も遠くまで飛ばすには、どの打ち出し角度が最適ですか？

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