MLBの試合で野球ボール2個が衝突。一体どうしてこんなことが起きたのか？

時々、信じられないような出来事が起こります。あまりにも信じられないので、現実とは思えないほどです。先週、フィリーズの右翼手ブライス・ハーパーが試合前に練習打席でウォーミングアップをしていました。彼は素晴らしいライナーを打ったのですが、それが空中で別のボールと衝突したのです。これは、物理学的に面白い現象です。この出来事がどれほどあり得ないことなのか、見ていきましょう。

ビデオからどのようなデータを取得できますか?

この衝突には2つのボールが関係しています。ハーパーのボールはおそらくホームベースから飛び始めたでしょう。このボールをAとします。2つ目のボールは、外野のどこかの選手がホームベースに向かって投げたものです。このボールをBとしましょう。ボールの飛び出し位置、速度、そして衝突位置を取得する必要があります。以前リンクしたメジャーリーグの動画は、どちらのボールの軌道も完全には写っていないため、あまり良い動画とは言えません。そのため、ある程度は近似値で計算する必要があるかもしれません。

2つのボールが衝突する様子は、2塁ベース上空で確認できます。その後、ボールBは真下に落下し、ベース付近に着地したように見えます。しかし、衝突点はベースからどれくらいの高さにあるのでしょうか？動画を見れば、ボールBのおおよその自由落下時間を知ることができます（私の計測では1.3秒としています）。落下時間と、垂直加速度が-9.8メートル毎秒の2乗（地球上で起きているため）であることが分かれば、次の運動方程式を使って落下距離を求めることができます。

落下時間の推定値から、衝突高度は8.3メートルと算出されます。野球場がxz平面にあり、地面からの位置がy方向だとすると、衝突点の3つの座標（x、y、z）がすべて得られたことになります。この点を使って、ボールAの発射速度を求めることができます。ボールAはホームベース、つまりセカンドベースから127フィート（約43メートル）の位置から動き始めることが分かっています。そこで、原点をホームベースとし、x軸をホームベースとセカンドベースを結ぶ線上に置きます。

ここで、ボールAが衝突点を通過する際の初期速度ベクトルを求めます。この速度を求める方法はいくつかありますが、最も簡単な方法は、Pythonを使ってボールの軌道をプロットし、衝突点に「当たる」まで発射角度を調整することです。ここでは、ボールの初期速度（出口速度）を時速100マイル（44.7メートル/秒）とします。

ちょっと待ってください！外野から飛んでくるボールBはどうでしょう？こちらは、ホームベースから80メートル（262フィート）離れたX軸上でスタートします。つまり、同じX軸上で二塁から135フィート（40メートル）離れた位置になります。このボールには、約50mph（27m/s）、約45度の角度で初速度を設定します。これらのパラメータは、バットで打たれたボールというよりは、投げられたボールに近いものです。さて、このボールも衝突地点に到達するように速度と角度を調整します。

衝突点を通過する両方のボールの軌道（x vs. y）を以下に示します。Pythonコードも示します。

注：これは、私が仮定した初期条件を用いて理論モデルから作成した軌道です。プロットから、両方のボールが衝突点を通過していることがわかりますが、同時に通過するわけではありません。ボールAは約0.908秒後、ボールBは2.48秒後に到達します。つまり、両方のボールが同時に到着するには、ボールAはボールBより1.57秒遅れて出発する必要があります。

より現実的なシミュレーションを見てみましょう。同様の計算を3次元で実行します。つまり、ボールBはX軸からわずかにずれた位置からスタートします（ただし、衝突点からの距離は同じです）。下の図は、3つの重要な位置、つまりボールAとBのスタート位置と衝突点を示しています。

はい、この図ではZ軸は下を向いています。右手座標系にするには、この向きにする必要があります。（ここは信じてください。）ボールBの移動開始点から衝突点までの距離を以前と同じにすれば、水平からの角度を変えずに、同じ発射速度で衝突を再現できます。これが衝突の3Dバージョンです。もちろん、このコードは公開しています。

それは単なる物理学ではなく、芸術なのです。

しかし、わざと 2 つのボールを打とうとするとどうなるでしょうか?

すぐに（ダジャレを意図して）このケースでは、外野から意図的にボールAに当たるようなボールを投げることは不可能であることが分かります。この2つのボールが衝突する唯一の方法は、ボールAがバットから飛び出す前にボールBが動き始めることです。つまり、外野手はボールがいつどこへ飛ぶかを予測できるか（これはほぼ不可能）か、タイムマシンを使うか（さらに困難）のいずれかが必要になります。

しかし、外野から飛んでくるボールを狙う打者はどうでしょうか？非常に難しいように思えますが、不可能ではありません。では、打者はボールBを打つために、初速をどの程度調整できるのでしょうか？

この場合、出口速度は依然として時速100マイル（約160km/h）で、開始位置は変わらないと仮定します。発射角度だけを変えてみましょう。そうです、ボールの速度には2つの発射角度があります。1つ目は水平面からの角度です。これを角度θと呼びます。2つ目は左右の角度（xz平面への投影）です。これを角度φと呼びます。これらの角度をどれだけ変えても、ボールは衝突し続けるでしょうか？

2つのボールを詳しく見てみましょう。特定の初期条件における衝突の様子を示す図を以下に示します。

ボールが衝突するには、中心間距離がボールの半径の2倍以内に近づく必要があります。標準的な野球ボールの直径は7.3～7.5センチメートルなので、ボールはそこまで近づく必要があります。しかし、ボールは両方とも動いて加速しているため、衝突させる初期角度の変化を見つけるのは困難です。このような状況では、簡単な方法、つまりモンテカルロ計算を採用しましょう。これはモナコのモンテカルロカジノにちなんで名付けられており、ランダムな初期条件を多数生成し、どのような結果が得られるかを調べるというものです。

この場合、まず初期角度を θ = 17.7 度（上のボールが当たるモデルと同じ）に設定し、0.1 度ずつ変化させます。左右の角度 φ についても同様に、0.1 度ずつ変化させます。すると、ボールがターゲットの半径 2 以内に入る角度の組み合わせを青い点、外れた角度の組み合わせを赤い点としてプロットできます。ランダムに 5,000 回ショットした結果がこちらです。このプロットのコードはこちらです。

このグラフから、標的に命中したすべてのショットのθ値は17.6度から17.8度、φ角は-0.1度から0.1度の範囲であったことがわかります。つまり、あなたが打者であれば、狙いは正確であるはずです。0.1度以上ずれると、ミスになります。

10分の1度ってどれくらいの大きさでしょう？簡単な実験をしてみましょう。腕を伸ばして親指を立てると、親指の角度は約1.5～2度になります（親指のサイズは人それぞれです）。次に、親指の爪に幅2ミリの縦線を引くところを想像してみてください。視野の中で、伸ばした親指の幅と同じ範囲を狙うのではなく、今度は線の幅と同じ範囲を狙うのです。それが10分の1度です。これは小さく、打つのは非常に難しいでしょう。正直言って、野球のボールを打つのさえ難しいのに、そんな精度で打つなんて無理でしょう。

つまり、このようなボール同士の衝突は極めて稀なはずです。特に、私のモデルでは完璧なタイミングでボールが飛んでいくのに対し、今回の場合は両方のボールがいつでも軌道を描き始める可能性があることを考慮すると、なおさらです。また、空中衝突を捉えるためにビデオカメラがその方向に向けられている可能性も考慮する必要があります。これらを踏まえると、私はこのようなスポーツのテレビ中継の瞬間が再び起こるのを待つつもりはありません。

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