このスローモーションの弾丸動画には何かがおかしい

2018年2月7日午前8時

物理学に基づいた科学捜査を行う時が来ました。

スローモーション動画を嫌いな人なんているでしょうか？Slow Mo GuysのGavとDanは、まさにその通り！この動画では、ハイスピードカメラを使って4種類の弾丸の動きを捉えています。そして幸運なことに、その動きは動画分析に最適のようです。基準スケール（背景の白黒マーカー）とフレームレート（10万フレーム/秒）の両方が表示されているのです。

早速分析を始めましょう。Tracker Video Analysisを使って、銃から発射された弾丸の位置と時間のデータを取得します。弾丸は非常に小さいため、常に確認するのは難しい場合があります。最も大きな弾丸を除いて、白い背景の前を通過する弾丸しかマークできません。それでも、分析には十分なはずです。

さて、データを見てみましょう。皆さんがマークする必要がないように、箇条書きの位置はすべてマークしておきました。それぞれの位置と時間のグラフを以下に示します（plotly版もご覧いただけます）。

かなり満足していますが、問題があります。動画の途中で、GavとDanは45口径の弾丸の発射に時間がかかりすぎたため、スローモーションビューから解説ビューに切り替えました。スローモーションビューに戻った時、タイミングがずれていました。これは、その弾丸の位置と時間のグラフで確認できます。ちなみに、弾丸が背景の黒い部分の前を通過した時のデータが欠落していることにも気付くでしょう。

でも、どれくらいずれているのでしょうか？まず、弾丸の水平方向の速度は一定だと仮定しましょう。もしそうなら、データの最初の部分に線形近似をすると、速度は287.6m/sとなります。ちなみに、この速度は時速642マイル（約1077km/h）に換算され、動画に表示されている時速577マイル（約873km/h）よりも速くなります。もしかしたら、表示されているフレームレートと録画されたフレームレートが違うのかもしれません。GavさんとDanさんが答えを教えてくれるかもしれません。

さて、データに戻りましょう。線形近似から、弾丸の運動方程式は次のようになります。

この運動方程式は、任意の時間における弾丸の位置を示すはずです。「ジャンプ」時間は0.00825秒です。等速度方程式によれば、弾丸の位置は1.795メートルですが、ビデオデータでは1.886メートルとなっています。この問題の逆はどうでしょうか？位置が1.886メートルだと分かっている場合、実際の時刻は何メートルになるでしょうか？これは（代数的に）かなり簡単な問題です。宿題として自分で解くこともできますが、私の場合は正しい時刻は0.008567秒でした。つまり、彼らは0.000317秒「遅れ」ていたことになります。でも待ってください！これは「実」時間ではそのくらいずれていたのですが、ビデオはスローモーションで再生されていました。10万fpsで録画されていましたが、実際には30fpsで表示されていたと仮定します。つまり、この短い時間間隔は実際には1秒ずれていたということです。これが間違いです。

しかし、それは単なる表面的なエラーで、私が調べたかったことではありません。むしろ、銃口から発射される弾丸にかかる空気抵抗の量を推定できるかどうかを知りたいのです。弾丸にかかる空気抵抗は非常に扱いにくいと言わざるを得ません。これらの弾丸が超高速で飛行している場合、空気抵抗のより単純なモデルが必ずしも機能するとは限りません。しかし、いずれにせよ、弾丸にかかる空気抵抗は弾丸の動きと反対方向に作用し、速度を低下させるはずです。そこで、この短い飛行中の弾丸の加速度を推定できるかどうか試してみたいと思います。

1次元では、加速度は速度の変化を時間の変化で割ったものとして定義されます。これは次の式で表すことができます。

軌道の始点と終点における速度を求めればよいのです。これは、この2点における位置-時間グラフの傾きになります。これを飛行時間で割ることで、加速度の大まかな近似値が得られます。結果は以下のとおりです。

バレット：v ₁ = 934 m/s、v ₂ = 854 m/s、Δt = 0.0051秒、加速度 = 15,686 m/s ²。これは非常に高い値です。
AK-47: v ₁ = 752 m/s、v ₂ = 698 m/s、Δt = 0.0062 秒、加速度 = 8710 m/s ²。
45 cal: v ₁ = 246 m/s、v ₂ = 242 m/s、Δt = 0.012 秒、加速度 = 333 m/s ²。
9 mm: v ₁ = 351 m/s、v ₂ = 330 m/s、Δt = 0.0105 秒、加速度 = 2000 m/s ²。

これらの加速度の値は非常に高いように思われるので、空気抵抗の基本モデルを用いて加速度を概算してみます。使用する式は以下のとおりです。

この式で、ρは空気の密度（約1.2 kg/m ³）、Aは弾丸の断面積、Cは抗力係数です。弾丸のサイズと質量はWikipediaのこちらのページから概算できるので、抗力係数は0.295とします。これらの値と銃身からの速度から、加速度は624 m/sとなります。確かに高い数値ですが、測定された加速度ほどではありません。それでも、動画の数値はそれほど異常ではないと思います。弾丸は非常に高速で移動しており、空気との相互作用によって、特に最初はかなり減速します。

もちろん、弾道物理学はかなり複雑になる可能性がありますが、だからといって大まかな見積もりを立てることを止めるつもりはありません。