物理学対決：運動量原理 vs. ニュートンの第二法則

次の物理学の問題を考えてみましょう。

質量が1 kgで、x方向の速度が1 m/sの物体には、1ニュートンの正味の力が（x方向も）作用しています。1秒後の物体の速度はいくらでしょうか？（はい、ここでは単純な数字を使っています。数字自体が重要なわけではないからです。）

この単純な問題を2つの異なる方法で解いてみましょう。最初の方法では、ニュートンの第二法則を使います。1次元の場合、これは次のように書けます。

この式を使うと、物体の加速度（x方向）を求めることができます。詳細は省略しますが、加速度が1 m/s ²であることは容易に理解できるはずです。次に、加速度（x方向）の定義が必要です。あ、念のため言っておきますが、これらの式は本質的にベクトル方程式なので、慎重に扱っています。

開始速度が1 m/sで、1秒間に1 m/s ²の加速度で加速すると、最終速度（x方向）は2 m/sになります。素晴らしいと思いませんか？

さて、2つ目の方法は、運動量原理を用いる方法です。これは、正味の力が物体の運動量を変化させるというものです。一次元の運動量は、物体の質量と速度（少なくとも光速よりもはるかに遅い速度の場合）の積です。

運動量原理は次の式で表すことができます。

物体の初期運動量は1キログラム・メートル/秒で、1秒間に1Nの力が加わると、最終運動量は2kg・m/秒になります。この運動量を質量で割ると、最終x速度は2m/秒となります。これは前と同じです。

^{さて、これで運動量原理とニュートンの第二}法則の基本的な理解はできましたね。どちらの方法が良いでしょうか？素晴らしい質問ですね。考慮すべき重要な点をいくつか見ていきましょう。

運動量原理は高速でも機能する

本当に速い速度のことです。弾丸のような速さではなく、宇宙からやってきて大気圏に激突するような速さです。光速（3×10 ^{8 m/s）に近い速度で移動する粒子に働く力をモデル化する場合、ニュートンの第}^二法則の単純なバージョンは適用できません。しかし、運動量のより適切な定義を用いれば、運動量原理は依然として有効です。質量と速度の積だけでなく、運動量は次のように定義できます。

この式では、c は光速を表しています。面白いのは、この運動量の定義は超低速物体（ロケットなど）にも適用できることです。物体の速度が光速よりもはるかに小さい場合、式の下部にあるすべての要素はほぼ 1 に等しくなり、前述の運動量の定義と同じになります。

運動量は保存量である

物理学では、保存されるものを計算するのが好きです。保存量とは、外部との相互作用がない場合、系内で一定のままである量のことです。そうです、運動量はそのような量の一つです。もし、系内の他の粒子とのみ相互作用する複数の粒子からなる系があるとしたら、その系の全ベクトル運動量は一定です。そうです、これは重要なことです。

入門物理学の授業では、角運動量とエネルギーという2つの保存量を学びます。ニュートンの第二法則ではなく運動量原理に焦点を当てることで、^保存量の重要性が強調されます。これは良いことだと思います。

ニュートンの法則はアリストテレスに関するものである

そうです、アリストテレスです。ご存知のギリシャの哲学者ですね。ニュートンの運動の法則は、もう一つの一般的な運動の考え方、アリストテレスの運動の法則への反論として考えることができます。アリストテレスは基本的に、力と運動は次のように作用すると述べました。

物体の自然な状態は静止したままである。
物体を一定の力で押すと、物体は一定の速度で動きます。
物体を押すのをやめると、物体の動きも止まります。

ニュートンの第^一法則は、物体の自然な状態は等速度であることであり、第二法則は、物体の正味の力と加速度の間には関係があると述べています。つまり、これはある意味でアリストテレスへの返答と言えるでしょう。とはいえ、アリストテレスの話は飛ばした方が良いかもしれません。ええ、確かに、力と運動についてアリストテレスと同じ考えを持っている人はたくさんいますが、私は最初からやり直して、代わりに運動量原理を使うのが好きです。

運動量原理の何が問題なのか

運動量原理には問題があります。すべてが素晴らしいわけではありません。まず第一の問題はコミュニケーションです。最近、同僚が、誰かが運動量原理を使うとき、その人は教科書『Matter and Interactions』（Chabay and Sherwood共著、Wiley出版）を使っていることを明確に指摘しました。私がこの教科書をとても気に入っている理由は以前にも説明しましたが、大きな違いの一つは運動量原理の使い方です。

^{ニュートンの第二}法則でもモデル化できるケースに運動量原理を用いることで、新たな語彙と用語が追加されます。物理学についてこの方法で話すことに慣れていない人にとっては、まるで別の言語のように感じられるかもしれません。もちろん、実際にはそれほど大きな違いはありませんが、第一印象は大きな違いを生むことがあります。これは特に、力と運動について学び始めたばかりの人にとって当てはまります。つまり、ある意味、運動量原理を使うことは、何か面白いアイデアを説明しようとしている時に、一歩後退するようなものと言えるかもしれません。

しかし、結局のところ、これら 2 つの方法は本質的に同じものです。

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