物理学者、宇宙と衝突する量子ルールを書き換える

現代物理学には、激しい分裂が横たわっている。一方には、素粒子を確率的な波として描く量子論があり、もう一方には、空間と時間が曲がり、重力が生じるというアインシュタインの一般相対性理論がある。物理学者たちは90年にわたり、量子力学と重力の両方を包含する、より根本的な現実の記述という、両者の調和を模索してきた。しかし、その探求は厄介なパラドックスに直面してきた。

問題の少なくとも一部は量子力学の中心にある原理にあるというヒントが増えている。量子力学とは、世界の仕組みについてあまりにも明白な仮定であり、述べる価値はほとんどなく、ましてや疑問視する価値もない。

ユニタリティー原理と呼ばれるこの原理は、常に何かが起こるというものです。粒子が相互作用するとき、起こり得るすべての結果の確率の合計は100%でなければなりません。ユニタリティーは、原子や素粒子が瞬間ごとにどのように進化するかを厳しく制限します。また、変化は双方向であることを保証します。つまり、量子スケールで起こり得るあらゆる出来事は、少なくとも理論上は元に戻すことができます。これらの要件は、物理学者が有効な量子公式を導き出す際に、長年にわたり指針となってきました。「一見些細なことに思えるかもしれませんが、非常に制限の厳しい条件です」と、イリノイ大学のヨナタン・カーン助教授は述べています。

しかし、かつて不可欠な足場と思われていたものが、物理学者による量子力学と重力の調和を阻む、息苦しい拘束具となっている可能性がある。「量子重力におけるユニタリー性は非常に未解決の問題です」と、カナダ、ウォータールーにあるペリメーター理論物理学研究所の理論家、ビアンカ・ディトリッヒ氏は述べた。

主な問題は、宇宙が膨張しているということです。この膨張は一般相対性理論によってうまく説明できます。しかし、これは宇宙の未来が過去とは全く異なるものになることを意味します。一方、ユニタリー性は量子レベルで過去と未来の間にきちんとした対称性を要求するのです。「そこには緊張関係があり、よく考えてみると非常に不可解なことです」と、カリフォルニア大学サンタバーバラ校の量子重力理論家、スティーブ・ギディングス氏は述べています。

この矛盾をめぐる懸念は長年にわたり存在してきました。しかし最近、二人の量子重力理論家が、ユニタリー性の制約を緩め、膨張する宇宙により適合させる方法を発見したかもしれません。ハーバード大学のアンドリュー・ストロミンガーとジョーダン・コトラーは、より緩やかな等長性原理によって、ユニタリー性を導きの光とした厳格な要件を満たしつつ、膨張する宇宙にも対応できると主張しています。

「ユニタリティーは必要ありません」とストロミンガーは言った。「ユニタリティーは条件として強すぎるのです。」

多くの物理学者が等長法の提案に好意的であり、中には独自に同様の結論に達した者もいるが、この更新が過激すぎるか、あるいはそれほど過激ではないかについては意見が分かれている。

固定額

日常生活では、出来事は必然的に単一の方法で展開します。例えば、コインを投げれば、表か裏が出る確率は100%です。

しかし1世紀前、量子力学の先駆者たちは驚くべき発見をした。ユニタリー性を常識から神聖な原理へと高めた発見である。その驚きとは、数学的には量子の世界は確率ではなく、振幅と呼ばれるより複雑な数で動いているということだった。振幅とは本質的に、粒子が特定の状態にある度合いであり、正、負、虚数をとる。ある粒子が実際に特定の状態にあるのを観測する確率を計算するために、物理学者は振幅を二乗する（振幅が虚数の場合は絶対値を二乗する）ことで虚数と負の部分が取り除かれ、正の確率が得られる。ユニタリー性によれば、これらの確率の合計（実際にはすべての振幅の二乗）は1になる。

このひねり、つまり隠れた振幅を二乗して実際に目にする結果を計算するという手法こそが、ユニタリー性に力を与える。粒子の状態が変化すると（例えば磁場中を飛行したり、他の粒子と衝突したりすると）、その振幅も変化する。物理学者は、粒子がどのように進化したり相互作用したりできるかを解明する際に、振幅は二乗の固定和を崩すような変化を決して起こさないという事実を利用する。例えば1920年代、このユニタリー性の要件は、イギリスの物理学者ポール・ディラックを反物質の存在を示唆する方程式を発見する導きとなった。「私は、自分の愛するものに合わない理論を考えることに興味がなかった」とディラックはユニタリー性について記している。

物理学者は、ヒルベルト空間（粒子が取り得るすべての状態を表す抽象空間）における粒子の量子状態の動きを追跡することで、確率と振幅を一致させています。粒子の振幅はヒルベルト空間における座標に対応しており、物理学者は粒子の変化を行列と呼ばれる数学的対象で捉え、座標を変換します。ユニタリー性は、物理的に許容される変化は、ヒルベルト空間における粒子の状態を回転させても座標の二乗和が1にならないような特別な「ユニタリー」行列に対応しなければならないことを規定しています。

これは哲学的な意味を持つ数学的事実です。時間経過に伴う何らかの変化に対応する特定のユニタリー行列が分かれば、あらゆる量子状態を未来へと回転させることも、過去へと回転を戻すこともできます。そして、その状態は必ずヒルベルト空間内の別の実行可能な状態へと落ち着くことになります。ヒルベルト空間は拡大も縮小もしません。「過去は未来を完全に決定し、未来は過去を完全に決定します」とコトラー氏は言います。「これは、情報は生成も破壊もされないという主張と関連しています。」

しかし、この根本的な仮定は、私たちを取り囲む宇宙と矛盾しているように思われます。

宇宙の衝突

銀河はますます遠く離れつつあります。私たちの膨張宇宙は一般相対性理論の方程式に対する完全に有効な解ですが、物理学者たちは、その成長が量子力学にとって厄介な問題となることにますます気づき始めています。なぜなら、粒子にとって、どこに存在し、どのように振る舞うかという選択肢が、ますます拡大していくからです。宇宙が拡大するにつれて、ヒルベルト空間の可能性も拡大しないはずがありません。「現在の宇宙には、初期宇宙よりも多くの自由度があるのは間違いありません」と、ニュージャージー州プリンストン高等研究所の理論物理学者、ニマ・アルカニ＝ハメド氏は述べています。

「私は長年、それが無視されている問題だと感じていました」とストロミンガー氏は語った。

ギディングス氏は、ユニタリーかつ膨張する宇宙を舞台にした逆説的な思考実験で、この問題を浮き彫りにする。ギディングス氏によれば、現在の宇宙の状態を仮定し、「無害な光子を一つ」加えるとどうなるだろうか。おそらく、この光子はアンドロメダ銀河とこの銀河の中間にある、新たに創造された空間に留まっているのだろう。ユニタリー性は、この宇宙が過去にどのような状態にあったかを計算でき、量子状態を好きなだけ回転させることができるはずだと主張する。

しかし、宇宙の状態を巻き戻すことと余分な光子は、不具合を生み出す。過去に遡ると、宇宙は小さくなり、光子の波長も縮む。現実の宇宙では、これは問題にならない。光子が縮むのは、何らかの亜原子過程を経て生成された瞬間までであり、その過程を逆転させると消える。しかし、余分な光子はその特別な過程によって生成されたわけではないので、時間を巻き戻しても消える代わりに、その波長は最終的にありえないほど小さくなり、エネルギーが非常に集中して、光子はブラックホールに崩壊する。これによりパラドックスが生じ、この架空の膨張宇宙では、微視的なブラックホールが光子に変換されるという不条理な示唆が生じる。この思考実験は、ユニタリー性と宇宙膨張の単純な組み合わせが機能しないことを示唆している。

ディトリッヒは、より一般的な観点から見て、ユニタリー性には疑わしい点があると考えている。量子力学は時間を絶対的なものとして扱うが、一般相対性理論は時計の針の動きを複雑化し、ある瞬間から次の瞬間への変化という概念を複雑化させる。「私は個人的に、ユニタリー性にそれほど頼ったことはありません」と彼女は述べた。

問題は、宇宙の膨張と量子論の厳格な数学の両方に対応できる代替の枠組みとはどのようなものかということです。

ユニタリティ 2.0

昨年、ストロミンガーは量子重力研究と量子情報理論（量子状態に蓄えられた情報を研究する理論）の両方に携わるコトラーと共同研究を始めた。二人は、量子情報理論の中に、膨張宇宙に似た、よく研究されている仕組みがあることに気づいた。それは量子誤り訂正と呼ばれるもので、量子状態から構成される小さなメッセージが、より大きなシステム内で冗長に符号化される仕組みだ。彼らは、若い宇宙の内容が、現代の膨張した宇宙の形に同じように織り込まれているのではないかと考えた。

「後から考えれば、これはまさに量子符号化に取り組んでいる人々が行ってきたことだというのが明白な答えです」とストロミンガー氏は語った。

今年初めに発表された論文で、二人は量子誤り訂正符号が属する「等長変換」と呼ばれる変換のクラスに焦点を当てました。等長変換は、柔軟性が加わったユニタリー変換に似ています。

2つの位置をとることができる電子を考えてみましょう。そのヒルベルト空間は、2つの位置における振幅のあらゆる組み合わせから成ります。これらの可能性は円上の点として考えることができます。つまり、すべての点は水平方向と垂直方向の両方向に何らかの値を持ちます。ユニタリー変化は円周上で状態を回転させますが、可能性の集合を拡大したり縮小したりすることはありません。

しかし、等尺性変化を視覚化するには、この電子の宇宙が3番目の位置を許容する程度に膨張するとしよう。電子のヒルベルト空間は拡大するが、特別な方法で拡大する。つまり、別の次元を獲得するのだ。円は球面となり、その上で粒子の量子状態は回転し、3つの位置の混合を収容することができる。円上の任意の2つの状態間の距離は、この変化に対して一定に保たれる。これはユニタリー性のもう一つの要件である。つまり、選択肢は増えるが、非物理的な影響は生じない。

「等長変換を扱うことは、ユニタリー性の一種の一般化です」とギディングス氏は言う。「本質の一部は保たれているのです。」

私たちの宇宙は、実空間の膨張に伴って継続的に増殖する膨大な次元を持つヒルベルト空間を持つと考えられます。より単純な概念実証として、ストロミンガーとコトラーは、遠ざかる鏡で終わる直線からなる模型の宇宙の膨張を研究しました。彼らは、宇宙がある長さから別の長さへと成長する確率を計算しました。

こうした計算には、量子の専門家はしばしばシュレーディンガー方程式を使用する。これは、量子システムが時間とともにどのように発展するかを予測する。しかし、シュレーディンガー方程式によって指示される変化は完全に可逆的である。「その文字通りの目的は、ユニタリー性を強化することです」とアルカニ＝ハメド氏は述べた。そのため、ストロミンガーとコトラーは、代わりにリチャード・ファインマンが考案した経路積分と呼ばれる量子力学の代替バージョンを使用した。この方法は、量子システムが開始点から終了点までに取ることができるすべての経路を合計することを含み、新しい状態（複数の終了点につながる分岐経路として現れる）の生成に問題なく対応します。最終的に、ストロミンガーとコトラーの経路積分は、おもちゃの宇宙の成長をカプセル化する行列を吐き出し、それは確かにユニタリー行列ではなく等長行列でした。

「膨張する宇宙を記述したい場合、現状のシュレーディンガー方程式は機能しません」とコトラー氏は述べた。「しかし、ファインマンの定式化では、方程式は自らの意志で動き続けます。」コトラー氏は、等長変換に基づく量子力学のこの代替手法は「膨張する宇宙を理解する上でより有用となるだろう」と結論付けている。

可能性の幻影

ユニタリー性を緩和すれば、ギディングスらを悩ませてきた思考実験の欠陥を解決できる可能性がある。それは、過去と未来の関係性、そして宇宙のどのような状態が実際に可能かという概念の転換を通じて実現するだろう。

等長法が問題を解決する理由を理解するために、コトラーは0または1（2次元ヒルベルト空間）という2つの可能な初期状態のいずれかで誕生する、おもちゃの宇宙を記述します。彼はこの宇宙の膨張を支配する等長法則を考案しました。それは、あらゆる瞬間において、0は01になり、1は10になるというものです。宇宙が0から始まる場合、最初の3つの瞬間は0 → 01 → 0110 → 01101001（8次元ヒルベルト空間）と成長します。1から始まる場合、10010110になります。この弦は、この宇宙に関するすべて、例えばすべての粒子の位置を捉えています。0と1の重ね合わせで構成された、はるかに長い弦は、おそらく現実の宇宙を記述していると考えられます。

このおもちゃの宇宙には、いかなる時点においても 2 つの状態が存在します。1 つは 0 から生じ、もう 1 つは 1 から生じます。最初の 1 桁の構成は、より大きな 8 桁の状態に「エンコード」されています。この進化は、開始時に 2 つの可能性、終了時に 2 つの可能性があるという点で、ユニタリー進化に似ています。しかし、等尺性進化は、膨張する宇宙を記述するためのより適切な枠組みを提供します。重要なのは、例えば、時計を戻したときに問題を引き起こす、こことアンドロメダの間に余分な光子を追加するような自由を生じさせることなく、これを実現していることです。例えば、宇宙が 01101001 の状態にあると想像してください。最初の 0 を 1 に反転すると (余分な光子などの小さな局所的な変化を表します)、紙の上では問題ない状態 (11101001) が得られ、より広いヒルベルト空間では一見有効な座標系になります。しかし、特定の等尺性規則を知っていれば、このような状態には親状態がないことがわかります。この想像上の宇宙は決して発生しなかったでしょう。

「未来の構成の中には、過去の何にも一致しないものがあります」とコトラー氏は述べた。「過去には、そのような未来へと進化するようなものは何もないのです。」

ギディングス氏は、昨年ブラックホールの研究中に遭遇したパラドックス的な状態を排除するための同様の原理を提唱した。彼はこれを「歴史が重要」と呼び、宇宙のある状態は、矛盾を生じさせることなく過去へと進化できる場合にのみ物理的に可能であるという考え方だ。「これは一種の長引く謎でした」と彼は述べた。ストロミンジャー氏とコトラー氏は「この謎を取り上げ、物事に対する新しい考え方を導き出そうとしています」。

ギディングス氏は、このアプローチはさらなる発展に値すると考えている。ディトリッヒ氏も同様の考えで、10年前、共同研究者のフィリップ・ヘーン氏と共に時空の量子理論を定式化しようと試みた際に、等長性について同様の認識に至った。一つの希望は、こうした研究が最終的に、私たちの宇宙を支配するかもしれない特定の等長性則――「0は01になる」というよりも、はるかに複雑な規則――につながるかもしれないということだ。コトラー氏は、真の宇宙論的等長性は、天空の物質分布におけるどの特定のパターンが可能で、どのパターンが不可能かを計算し、その予測を観測データと照らし合わせることで検証できると推測している。「もっとよく見れば、これは見つかるが、これは見つからない」と彼は言った。「それは本当に役に立つかもしれない」

等長法とその先へ

このような実験的証拠は将来的に蓄積される可能性があるが、短期的には、等長性の証拠は、それが時空の柔軟性と量子論の振幅を組み合わせるのに役立つことを示す理論的研究と思考実験から得られる可能性が高い。

ユニタリー性が疑わしい思考実験の一つに、ブラックホールが挙げられます。ブラックホールとは、物質が極度に密集し、時空を行き止まりへと歪ませる現象です。スティーブン・ホーキングは1974年、ブラックホールは時間の経過とともに蒸発し、そこに落ち込んだあらゆるものの量子状態を消去するという計算を行いました。これは、ブラックホール情報パラドックスとして知られる、一見明白なユニタリー性の破れに見えます。コトラーとストロミンガーが仮説を立てるように、ブラックホールが等尺的に成熟するヒルベルト空間を持つとすれば、物理学者はこれまで考えていたものとは多少異なる難問に直面することになるかもしれません。「この点を考慮しない解決策は考えられません」とストロミンガーは述べています。

もう一つの賞は、宇宙がどのように成長するかだけでなく、そもそも万物がどこから来たのかを記述する詳細な量子論だろう。「私たちには宇宙がなかったのに、突然宇宙ができたんです」とアルカニ＝ハメド氏は言う。「一体、これは一体どういうユニタリー進化なのでしょうか？」

しかし、アルカニ＝ハメド氏は、等長性理論をユニタリー性理論に置き換えるだけでは十分ではないと疑念を抱いている。彼は、ユニタリー性理論だけでなく、量子論や一般相対性理論における多くの基本的な仮定から脱却しようとする研究プログラムのリーダーの一人である。

次に登場する理論は、量子力学がアイザック・ニュートンの運動法則から完全に決別したように、全く新しい形をとるだろうと彼は考えている。新しい形がどのようなものになるかを示す例として、彼は2014年に当時の教え子であったヤロスラフ・トルンカと共同で行った発見から生まれた研究プログラムを挙げる。彼らは、特定の粒子が衝突する際、それぞれの起こり得る結果の振幅が、アンプリチュヘドロンと呼ばれる幾何学的物体の体積に等しいことを示した。この物体の体積を計算することは、標準的な振幅計算方法を用いるよりもはるかに簡単だ。標準的な方法では、粒子衝突が瞬間ごとにどのように展開するかを骨の折れる作業で再構築する必要があるからだ。

興味深いことに、アンプリチュヘドロンはユニタリー性に従う答えを与えるものの、その原理は形状そのものの構築には用いられていない。また、粒子が時空をどのように運動するかについての仮定も用いられていない。この純粋に幾何学的な素粒子物理学の定式化の成功は、現在矛盾している既存の原理から自由な、現実に対する新たな視点の可能性を示唆している。研究者たちは、このアプローチを徐々に一般化し、様々な粒子や量子理論に関連する幾何学的形状の探究へと発展させている。

「これは単一性を組織化する別の方法かもしれない」とコトラー氏は言う。「そしておそらく、単一性を超越する種を持っているかもしれない」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。