デュア・リパのミュージックビデオにおける回転ハグの物理的意味

デュア・リパについてはあまり詳しくないのですが、物理法則については少し知っています。このミュージックビデオのダンスは、非常に興味深い効果を生み出すために、巧みな物理法則を巧みに利用しています。ダンサーたちは回転するプラットフォームの上でパフォーマンスを披露しており、これにより不可能に思える動きを披露しています。片方のダンサーがもう片方のダンサーを持ち上げ、かなり後ろに傾きます。二人はそのままひっくり返って落ちるかと思いきや、そうはなりません。

この動きはビデオの約2:40で起こります。

この動きを本当に理解するには、基本的な物理学を理解する必要があります。まずは平衡状態にある物体から始めましょう。物理学において、平衡とは、物体の加速度（直線平衡）と角加速度（回転平衡）がゼロであることを意味します。例として、通常の人間が通常の回転しない床の上にまっすぐ立っている様子を見てみましょう。

ええ、普通の人間は片足で立っているわけではありませんが、楽しい人間にしたかったのです。人間の加速度はゼロなので、力の合計もゼロでなければなりません。これはニュートンの第二法則にそのまま当てはまります。

この面白い人間には、2つの力が働いています。重力は真下に引っ張り、人間の特定の点、つまり「重心」を引っ張っているように見えます。確かに、技術的には、体のすべての部分に質量があり、地球に引き寄せられます。しかし、数学的には、重力全体が1点に作用しているかのように計算できます。典型的な人間の場合、その重心はおへそのあたりにあります。もう1つの力は、床から押し上げる力です。これは足と床の相互作用なので、接触点に力をかけることが重要です。上の図では、これをF _Nと表記しました。Nは「法線」を表します。床に対して垂直（法線）であるため、これを法線力と呼びます。しかし、人が平衡状態を保つためには、法線力と重力の強さが等しくなければなりません。

さて、平衡のもう一つの側面、回転平衡についてです。片足で立っている人間の場合、回転平衡とは回転しないことを意味します。直線平衡が正味の力がゼロであることを意味するのと同様に、回転平衡は正味のトルクがゼロであることを意味します。トルクとは基本的に回転力です。ドアを押して開ける場合、回転していない状態から回転する状態（開く状態）へと変化させるトルクが作用します。トルクの値は、以下の3つの要素によって決まります。

押す力または引く力の大きさ（手でドアを押すときなど）。
力の作用点から回転点までの距離（ドアの蝶番から手までの距離）。これをトルクアームと呼ぶこともあります。
トルクアームと力の間の角度（θ）の正弦。ドアに対して垂直に押すと、この角度は90度になります。

したがって、トルクは方程式として次の式で表すことができます。トルクにはギリシャ文字のタウ（τ）を使います。

片足で立っている人間の正味トルクがゼロであることは容易に分かります。足を回転点とすると、法線力と重力の両方のトルクアームがゼロになり、トルクもゼロになります。ゼロ＋ゼロはゼロなので、合計トルクはゼロです。

では、同じ考え方を使って、なぜ極端に体を後ろに傾けながら誰かを抱きしめることができないのかを説明しましょう（素晴らしい回転台に乗っている場合を除く）。実は、分かりやすくするために、極端に体を後ろに傾けている人間一人にかかる力を描いてみます。

たとえこの二つの力（重力と法線力）が同じ大きさであっても、合計トルクはゼロにはなりません。足の接地点を回転点とすると、法線力のトルクはゼロ（トルクアームはゼロ）ですが、重力のトルクはゼロではありません。この合計トルクによって、この楽しそうに体を傾けている人間は転倒し、地面に叩きつけられます。こうして、人間は悲しげな姿に。地面に倒れた悲しげな人間。

では、一体何がこれらのダンサーたちを転倒から守っているのでしょうか？答えは、偽の力です。そう、実際には力ではない、偽の力です。あら、偽の力なんて聞いたことないの？いや、もしかしたらそうかもしれませんが、きっと偽の力を感じたことはあるはずです。

次のような状況を想像してみてください。あなたは赤信号で車の中に座っています（車は動いていません）。この瞬間、あなたには2つの力しか作用していません。下向きの重力と、シートからの上向きの力です。加速していないので、この2つの力は大きさが等しく、反対向きです。

ああ、でも待って！隣の車線に、ちょっと変わった車が走っています。信号が青になったので、アクセルを踏んで加速します（もちろん、安全に、そして制限速度内で）。するとどうなるでしょう？感じますよね？加速すると、シートに押し戻されるような力が感じられます。まるで「加速の重さ」みたいな感じですよね？これは実はアインシュタインの等価原理です。加速と重力の違いは区別できない、というものです。つまり、ある意味では、あなたが感じるこの力は、あなたが認識できる限り、重力と同じくらい現実的なものなのです。

力と加速度の関係（ニュートンの運動の第二法則）は、加速しない座標系でのみ機能します。加速している車の中にボールを落とすと、ボールはまるで車の加速度とは逆方向に押す力がかかっているかのように動きます。そこに車の加速度に比例する「偽の力」を加えると、ニュートンの運動の第二法則が再び機能します。これは実に便利な法則です。

なんと、回転する台は加速します。実際、円運動する物体はすべて加速します。加速とは速度の変化率（微積分学では、速度の時間微分）として定義されます。しかし、速度はベクトルです。つまり、同じ速度で左に動くことと右に動くことは異なります。実際、物体が一定速度で動いているにもかかわらず方向を変えることは、速度の変化です。つまり、円運動はまさに加速です。これを「求心性」加速と呼びます。これは文字通り「中心を指す」加速を意味します。そうです、円運動する物体の加速度は、円の中心を指します。

この加速度の大きさは、物体の速度（速度の大きさ）と円運動の半径という2つの要素に依存します。回転台上のすべての点は角速度は同じですが、速度は同じではないため（中心から遠い点ほど速く移動する必要があるため）、求心加速度を角速度（ω）で表す方が便利な場合があります。

準備はできました。回転するプラットフォームの上でダンサーが踊るという、一見不可能な物理現象に備えましょう。まずは図を見てみましょう。

ここでは多くのことが起こっています。しかし、実際には、新しい力は2つだけです。まず、偽の力があります。この瞬間、円運動の中心は右にあります。つまり、求心加速度も右方向です。したがって、回転するダンサーを参照フレームとして考える場合、左（加速度の反対方向）に押す偽の力が必要になります。でも待ってください！偽の力に新しい緑の点を付けたことに気づきましたか？はい、これは事実です。技術的には、人間のすべての部分が加速しています。しかし、重力が1点（重心）に作用しているかのように計算できるのと同様に、偽の力についても同じことが言えます。アインシュタインによれば、それは重力と同じように感じられるのです。

しかし、地球の重力はほぼ一定です。上下に動いても目立った変化はありません。しかし、偽の回転力はそうではありません。回転台の中心に近づくにつれて、加速度（つまり偽の回転力）は中心でゼロまで減少します。つまり、「加速の中心」として機能する点は、回転軸から少し離れた位置にあることになります。この加速の中心の正確な位置は、宿題として計算してもらいます。（人間の密度分布、台の角速度、そして人間の位置によって異なります。）

では、なぜダンサーは転倒しないのでしょうか？回転座標系では、偽の力によってもトルクが生じていることがわかります。足の接地点を支点として、重力は時計回りのトルクを生じますが、偽の力は反時計回りのトルクを生じます。この2つのトルクが合計されてゼロになり、ダンサーがその傾斜角度を維持できる可能性があります。もちろん、プラットフォームの回転が速すぎると、偽の力によるトルクによってダンサーはプラットフォームから外側に回転し、離れてしまいます。ダンサーが大きく傾くと、重力トルクが大きくなり、最終的に転倒してしまいます。

でも待ってください！この図にはもう一つの力、摩擦力があります。横方向に押す偽の力があるということは、正味の力をゼロにするために、押し返す摩擦力が存在するはずです。この摩擦力がなければ、ダンサーは回転するプラットフォームから滑り落ちてしまいます。摩擦力の基本モデルでは、次の関係を用いて、摩擦力の大きさは法線力に比例します。

この式において、μ _{s は}2つの材料（ゴムと木材など）の相互作用によって決まる摩擦係数です。この摩擦力は、人の足が滑るのを防ぐために必要な値（ある最大値まで）です。そのため、式には「より小さいか等しい」という記号が入っています。しかし、これでダンサーが滑るのを防ぐために必要な摩擦力（と係数）の大まかな推定値を得ることができます。実際には、角速度と回転距離の値さえ分かれば十分です。

動画を見ると、ダンサーは約0.8秒で4分の1回転していることがわかります（時間を取得するためにTracker Video Analysisを使用しました）。このことから、角速度は毎秒0.98ラジアンと算出されます。回転半径については、加速度の中心を約1メートルと近似します。これにより、回転座標系におけるx方向とy方向の正味の力に関する以下の2つの式が得られます。

これら 2 つの方程式を使用すると、係数の次の式を取得できます。

質量が打ち消されることに注目してください。これにより、計算が簡単になります。半径と角速度（重力定数 g = 9.8 m/s ²）の推定値を入力すると、静摩擦係数は約0.1になります。これは、ダンサーの靴とプラットフォームの間に発生する可能性のある最大の摩擦力であることに注意してください。摩擦係数はこの値よりも大きくても構いませんが、小さすぎると滑って転倒する可能性があります。しかし、ゴム製の靴を履いている場合は、ダンサーは簡単に静摩擦係数を0.5以上にして滑るのを防ぐことができます。つまり、ゴム製の靴は必要ないように見えますが、このダンスの動きには依然として優れた物理学が必要です。

WIREDのその他の素晴らしい記事