観覧車の頂上で体が軽くなるのはなぜでしょうか?

私が（趣味で）よくやっているのは、古典的な物理学の問題を取り上げ、その解答をじっくりと検討することです。その後、さらに一歩踏み込んで、何が起こるかを見てみましょう。今日は、この問題から始めましょう（この問題の版は、ほぼすべての物理学の教科書に掲載されています）。

州のフェアで観覧車に乗っています。観覧車の半径は10メートルで、1回転するのに30秒かかります。円運動の頂点と底辺におけるあなたの見かけの重さはどれくらいですか？

もちろん、この質問で最初に注目すべきは「見かけの重さ」です。これは一体何を意味するのでしょうか？見かけの重さを理解するには、通常の重さ、つまり地球（通常は）と物体の間に働く重力を考慮する必要があります。この重さは、地球の質量（一定）、物体の質量、そして地球の中心と物体の間の距離（おそらく地球の半径）によって決まります。地球の質量と半径は実際には変化しないため、これら2つを組み合わせると、重さの大きさを表す次の式が得られます。

ここでgは重力場の値で、約9.8ニュートン/キログラムです。この重力場（つまり物体の重さ）は、山頂など地球の表面から離れた場所であっても、基本的に一定です。

しかし、重さに関して奇妙なことがあります。私たち人間は重力を実際には感じていないのです。重力は体のあらゆる部分を引っ張るので、実際には重力を感じていないのです。その代わりに、椅子や床など、重力に逆らって物体が押している力を感じます。物体が表面から受けるこの力は、表面に対して垂直なので「垂直力」と呼ばれます（垂直とは垂直という意味です）。

椅子に座っている人間（あなたも今まさにそうしているかもしれません）の場合、押し上げる法線方向の力は、引き下げる重さの力と等しくなります。物体に働く正味の力は、物体の質量と加速度の積に等しくなります。物体が加速度ゼロで平衡状態にある場合、椅子と重さが等しくなるように、合計の力もゼロでなければなりません。

でも、椅子をなくしてしまったらどうなるでしょうか？ 意地悪なトリックではありますが、物理学的には有効です。支えとなる椅子がなければ、人間は重力だけで下向きに加速していきます。どんな気分になるでしょうか？ 転んでしまった自分がバカみたいに思えるでしょうが、床に落ちるほんの一瞬、無重力状態を感じるでしょう。確かに無重力状態は感じますが、実際には無重力状態ではないのです。

地球周回軌道上の宇宙飛行士にも全く同じことが起こります。彼らは実際には「無重力」ではなく、加速しているためにそう感じているだけです。詳しい説明はこちらをご覧ください。

さて、観覧車に戻りましょう。なぜ上から下へ移動すると、見かけの重さが変化するのでしょうか？答えは加速度です。加速度は速度の変化率として定義されます。しかし、速度と加速度はどちらもベクトルなので、次のように表されます。

加速度は速度の変化に依存し、速度はベクトルであるため、物体は速度の大きさではなく方向を変えるだけで加速度を持つことができます。この点を示すために、異なる時刻における運動物体の2つの速度ベクトルを示します。

はい。単に円運動（方向は常に変化している）をしながら、速度（速度の大きさ）が同じであれば、加速運動となります。この加速の方向は、旋回の曲率に基づいて円の中心に向かいます。この加速の大きさは速度とともに増加し、旋回円の半径とともに減少します。これら2つの要素を組み合わせると、回転する物体（速度変化なし）の加速度は次の式で表されます。

加速度の添え字「c」は、これが円運動のみを行う物体の加速度であることを明確にするためのものです（通常、「c」は「centripetal（求心性）」の略で、文字通り中心を指すことを意味します）。物体の速度（単位：m/s）はvですが、加速度は角速度（ω）を用いて計算することもできます。

さて、背景資料はこれで十分でしょう。それでは、観覧車の問題を解いてみましょう。まずは、乗り物の上部にいる人間の力の図から始めましょう。

人間（上部の赤い円）に作用する力は2つだけであることに注目してください。重力による下向きの力と、座席（垂直方向の力）による上向きの力です。人間は平衡状態ではなく、円運動によって加速しているため、これら2つの力の大きさは等しくありません。この瞬間の加速の方向は、円の中心に向かって下向きです。

この垂直方向（y軸）の力と加速度の関係を使用すると、次のようになります。

これら2つの力の合計は質量と加速度の積に等しくなりますが、加速度は円運動（負のy方向）によるものです。椅子の力（法線方向の力）を解くと、見かけの重さと等しくなります。

これは、観覧車の頂上では、観覧車の大きさと角速度の両方に依存する量だけ、見かけの重さが実際の重さよりも低くなることを示しています。最初の問題では、半径（10メートル）があり、角速度は2πラジアンを30秒（一回転にかかる時間）で割った値になります。これらの値を式に代入すると、質量70kgの人にかかる力は655ニュートン（体重686ニュートンに対して）と算出できます。これは見た目の重さが極端に低いわけではなく、通常感じる重さの95%に過ぎません。実際、もし巨大な観覧車がもっと普通の速度で回転していたら、何も感じないかもしれません。

わかりました。では、乗り物の底部はどうでしょうか？こちらが力の図です。

乗り物の頂上から底まで降りる際に変化するものは2つだけです。人間の質量も重力場も変わらないため、変わらないものの一つは重さです。しかし、変わるのは法線力と加速度の方向です。円の中心が上を向いているため、加速度はY軸の正方向になります。正方向の力の正味の向きを作るには、法線力が重力よりも大きくなければなりません。

体重70kgの人間の見かけの体重は716.7ニュートンとなり、通常の体重よりわずかに重いことになります。これが、この質問の従来の答えです。

しかし、少し変わった質問はどうでしょうか？観覧車の動きにおける他の地点での見かけの重さはどれくらいでしょうか？人が回転中心の横に水平に立っている地点ではどうでしょうか？ここに図があります。

ここでも、変化するのは加速度です。大きさではなく方向です。この時点では、加速度は水平方向です。つまり、法線力は2つの作用をしなければなりません（重力は変化しないので、すべては法線力次第です）。法線力は、下向きに引っ張る重力と釣り合うように上向きに押す必要があり、同時に、人間を円の中心に向かって加速させるために右向きに押す必要があります。

これは、解くのがそれほど単純ではないため、従来のコースではあまり扱われない問題です。しかし、これをx方向とy方向の力に分解すると、次のようになります。

これらの力について解くつもりはありません。代わりに、Pythonで計算を作成して、観覧車の周りのすべての位置の解を求めます。これは私が好きなことです。基本的なプログラムを作成しますが、まずは観覧車を一周する人間にかかる力を視覚化した図をご覧ください（完全なコードはこちら）。

この観覧車は上の問題の観覧車よりも少し速く回転しているので、法線力 (水色の矢印) が目に見えて変化しているのがわかるでしょう。では、見かけの重さを角度位置の関数としてプロットしたい場合はどうすればよいでしょうか。加速度の方向が常に変化するため、これは少し複雑になることがあります。法線力を計算する 1 つの方法は、法線力を円の中心方向 (ラジアル方向) の成分と円の接線方向の成分に分割することです。この方法では、重力は、乗員の位置に応じてこれら 2 つの方向に変化する成分を持ちます。ラジアル力は、ラジアル加速度が求心加速度と等しくなるような値になり、接線力は重力の接線成分とちょうどバランスをとります。

コードを見ればもっと理解できるかもしれません。以下がグラフです。

いいですね。気に入りました。あ、最後に一つ。これは数値計算ではなく、ただのグラフです。数値計算は、問題を多くの小さなステップに分割して解きます。それでも、これはクールで（そして便利です）。例えば、観覧車が大きくなったり小さくなったりしたらどうなるでしょうか？回転が速くなったり遅くなったりしたらどうなるでしょうか？コード内のこれらの変数を変更して、見かけの重さがどうなるかを確認できます。あっという間に、あっという間に。

WIREDのその他の素晴らしい記事

• Crisprと食品の変異の未来
• 次の携帯電話の画面は、割れにくくなるだろう
• 最も守るのが難しいオンラインファンダム10選
• 学校は無料で顔認識技術を利用できます。そうすべきでしょうか？
• 画期的な法改正により、DIY銃器のパンドラの箱が開かれる
• もっと知りたいですか？毎日のニュースレターに登録して、最新の素晴らしい記事を見逃さないでください。