「記念碑的な」数学の証明がトリプルバブル問題を解く

泡の塊の形状を理解するにあたって、数学者たちは数千年もの間、私たちの物理的な直感に追いつこうと努力してきました。自然界のシャボン玉の塊は、しばしばエネルギーが最も低い状態、つまり泡の壁（泡同士の壁も含む）の総表面積を最小化する状態に瞬時に収束するように見えます。しかし、シャボン玉がこの課題を正しく達成しているかどうか、あるいは単に大きな泡の塊がどのように見えるかを予測しているだけかどうかは、幾何学における最も難解な問題の一つです。ギリシャの数学者ゼノドロスが2000年以上も前に主張していたにもかかわらず、数学者たちが球形が単一の泡として最適であることを証明するのには、19世紀後半までかかりました。

泡の問題は簡単に説明できます。まず体積の数値リストを用意し、次にそれらの体積の空気を最小の表面積で個別に囲む方法を問います。しかし、この問題を解くには、数学者は泡の壁の様々な形状を幅広く検討しなければなりません。そして、例えば5つの体積を囲むという課題であれば、5つの泡の集まりにのみ注目する余裕すらありません。おそらく、表面積を最小化する最善の方法は、体積の1つを複数の泡に分割することでしょう。

2次元平面というより単純な設定（複数の領域を囲みながら周囲の長さを最小化しようとする）においてさえ、例えば9個や10個の領域を囲む最適な方法は誰にもわかりません。泡の数が増えると、「すぐに、もっともらしい推測さえできなくなってしまいます」と、イスラエルのハイファにあるテクニオン大学のエマニュエル・ミルマン氏は述べています。

しかし、四半世紀以上前、現在ベルリン工科大学に所属するジョン・サリバンは、特定のケースにおいては、指針となる仮説が存在することに気づきました。バブル問題はどの次元でも意味を持ち、サリバンは、囲もうとする体積の数が最大でも次元より1大きい限り、ある意味で他のどの方法よりも美しい、体積を囲む特定の方法が存在することを発見しました。それは、球面上の完全に対称的なバブルクラスターの影のようなものです。この影のクラスターは、表面積を最小化するものであるはずだと彼は推測しました。

その後の10年間で、数学者たちは、たった2つの体積を囲むというサリバン予想を証明する画期的な論文を次々と発表しました。ここでの解決策は、晴れた日に公園で吹いたことがあるような、おなじみの二重シャボン玉です。これは、2つの球体の間に平らな壁または球状の壁（2つのシャボン玉の体積が同じか異なるかによって異なります）が挟まれた構造です。

しかし、ウィリアムズ大学の数学者フランク・モーガンは2007年に、サリバンの予想を3巻にわたって証明するには「あと100年はかかるかもしれない」と推測した。

今、数学者たちは長きにわたる待ち時間から解放され、三重バブル問題の解決策をはるかに超える成果を手に入れた。テキサス大学オースティン校のミルマンとジョー・ニーマンは、2022年5月にオンライン投稿された論文で、3次元以上の三重バブルと4次元以上の四重バブルについてサリバン予想を証明した。さらに、5次元以上の五重バブルに関する続編論文も執筆中だ。

6個以上のバブルの場合、ミルマンとニーマンは、最良のクラスターはサリバン予想の候補となる重要な属性の多くを備えていなければならないことを示しており、数学者たちがこれらのケースでもサリバン予想の証明への道を歩み始めるきっかけとなる可能性がある。「彼らはサリバン予想の背後にある本質的な構造を理解したという印象を受けます」と、テキサス大学オースティン校のフランチェスコ・マギーは述べた。

ミルマンとニーマンの中心定理は「記念碑的」だとモーガン氏はメールで述べた。「多くの新しいアイデアを盛り込んだ、素晴らしい成果です。」

シャドーバブル

実際のシャボン玉を体験すると、少なくとも小さなシャボン玉の塊に関しては、最適なシャボン玉の塊とはどのような形をしているのか、魅力的な直感が得られます。シャボン玉吹き棒で吹き出す3重または4重のシャボン玉は、球状の壁（時には平らな壁）を持ち、長いシャボン玉の鎖のような形ではなく、密集した塊を形成する傾向があります。

しかし、これらが本当に最適なバブルクラスターの特徴であることを証明するのはそれほど簡単ではありません。例えば、数学者は、最小化バブルクラスターの壁が常に球面なのか平面なのかを知りません。彼らが知っているのは、壁が「一定平均曲率」を持つことだけです。つまり、平均曲率はある点から別の点まで一定です。球面や平面はこのような性質を持ちますが、円筒や波状面と呼ばれる波状体など、他の多くの面にもこの性質があります。ミルマン氏によると、一定平均曲率を持つ表面は「まるで動物園」のようです。

しかし 1990 年代に、サリバンは、囲むボリュームの数が次元より最大で 1 大きい場合、他のクラスターよりも優れていると思われる候補クラスターが存在することを認識しました。そのクラスターは、実際のシャボン玉の小さなクラスターに見られる特徴を持つ 1 つの (唯一の) クラスターです。

そのような候補がどのように構築されるかを把握するために、Sullivan のアプローチを使用して、平面に 3 つのバブル クラスターを作成してみましょう (つまり、「バブル」は 3 次元オブジェクトではなく、平面内の領域になります)。まず、球体上で互いに等距離にある 4 つの点を選択します。次に、これらの 4 つの点のそれぞれが、球体の表面にのみ存在する小さなバブルの中心であると想像してください (つまり、各バブルは小さな円盤です)。球体の上の 4 つのバブルを、互いにぶつかり始めるまで膨らませ、その後、全体として表面全体を埋め尽くすまで膨らませ続けます。最終的に、球体が膨らんだ四面体のように見える、4 つのバブルの対称的なクラスターが作成されます。

次に、この球体を無限の平面の上に置きます。まるで球体が無限の床に置かれたボールのように見えます。球体は透明で、北極にランタンがあると想像してください。4つの泡の壁が床に影を投影し、そこに泡の塊の壁を形成します。球体上の4つの泡のうち3つは床の影の泡に投影され、4つ目の泡（北極を含む泡）は、3つの影の泡の塊の外側にある無限の床に投影されます。

3つの泡の集合体がどのような形になるかは、球体を床に置いた際にどのように配置したかによって決まります。球体を回転させて、北極のランタンに別の点が移動すると、通常は影も変わり、床に浮かぶ3つの泡の面積も異なります。数学者たちは、面積として任意の3つの数値を選ぶと、3つの影の泡の面積が正確にその面積になるように球体を配置する方法は基本的に1つしかないことを証明しました。

このプロセスはどの次元でも自由に実行できます (ただし、高次元の影は視覚化が難しくなります)。ただし、影のクラスター内に含められるバブルの数には制限があります。上記の例では、平面上に 4 つのバブル クラスターを作成することはできませんでした。そのためには、互いに等距離にある 5 つの点から始める必要がありますが、球面にそれほど多くの等距離の点を配置​​することは不可能です (ただし、高次元の球面では可能です)。Sullivan の手順は、2 次元空間では最大 3 つのバブル、3 次元空間では 4 つのバブル、4 次元空間では 5 つのバブルなど、複数のバブルで構成されるクラスターを作成する場合にのみ機能します。これらのパラメーターの範囲外では、Sullivan スタイルのバブル クラスターは存在しません。

しかし、サリバンの手法は、そのパラメータの範囲内で、私たちの物理的直感が理解できる範囲をはるかに超える状況でバブルクラスターを生成してくれる。「23次元空間で15個のバブルを視覚化することは不可能です」とマギーは言う。「そんな物体をどうやって描写できるというのでしょうか？」

しかし、サリバンの泡候補は、球状の祖先から、自然界で見られる泡を彷彿とさせる独特の特性を受け継いでいます。壁はすべて球状または平面で、3つの壁が交わる場所では120度の角度を形成し、対称的なY字型を形成します。囲もうとしているそれぞれの体積は、複数の領域に分割されるのではなく、単一の領域に収まります。そして、すべての泡は互いに（そして外部にも）接し、密集したクラスターを形成します。数学者たちは、サリバンの泡がこれらの特性をすべて満たす唯一のクラスターであることを示しました。

サリバン氏が、これらが表面積を最小にするクラスターであるはずだと仮説を立てたとき、彼は本質的に「美しさを仮定しよう」と言っていた、とマギー氏は言う。

しかし、バブル研究者は、提案された解法が美しいからといって、それが正しいと決めつけることには慎重であるべきだ。「非常に有名な問題があります…最小化問題では対称性が期待されるのに、見事に対称性が破れるという問題です」とマギー氏は述べた。

例えば、無限の空間を等体積の泡で満たし、表面積を最小化するという、これと密接に関連する問題があります。1887年、イギリスの数学者で物理学者のケルビン卿は、その解決策として、優雅なハニカム構造が考えられると示唆しました。1世紀以上にわたり、多くの数学者がこの解決策が有力な解決策だと信じていました。しかし1993年、2人の物理学者が、より対称性は低いものの、より優れた選択肢を発見しました。「数学には、このような奇妙なことが起こる例が山ほどあります」とマギー氏は言います。

闇の芸術

サリバンが1995年に予想を発表した当時、その二重バブルの部分は既に1世紀もの間議論の的となっていました。数学者たちは2年前に2次元の二重バブル問題を解き、その後10年間で3次元空間、そしてさらに高次元空間でそれを解きました。しかし、サリバン予想の次のケースである三重バブルに関しては、バブル間の界面が特に単純な2次元平面でしか予想を証明できませんでした。

そして2018年、ミルマンとニーマンは、ガウスバブル問題と呼ばれる設定において、サリバンの予想に類似した問題を証明しました。この設定では、空間上のあらゆる点が金銭的価値を持つと考えることができます。原点が最も高価な地点であり、原点から離れるほど土地は安くなり、ベルカーブを形成します。目標は、（事前に選択された容積ではなく）事前に選択された価格を持つ囲い地を、（境界の表面積ではなく）囲い地の境界にかかる費用を最小化する方法で作成することです。このガウスバブル問題は、コンピュータサイエンスにおいて、丸めスキームやノイズに対する感受性の問題などに応用されています。

ミルマンとニーマンは、数学界で最も権威のある学術誌とも言えるAnnals of Mathematicsに証明を提出した（後に同誌に受理された）。しかし、二人はそこで終わりにするつもりはなかった。彼らの手法は、古典的なバブル問題にも有望に思えたのだ。

彼らは数年にわたってアイデアを出し合った。「200ページに及ぶメモがありました」とミルマンは言う。最初は進歩しているように見えた。「しかし、すぐに『この方向を試したけどダメ。あの方向を試したけどダメ』という状況に変わったのです」。リスクを回避するため、二人の数学者は他のプロジェクトも進めた。

そして昨秋、ミルマンは休暇を取得し、ニーマンを訪ねることにした。二人でバブル問題に集中的に取り組めるようにするためだ。「休暇中は、ハイリスク・ハイリターンの投資に挑戦する絶好の機会です」とミルマンは語った。

最初の数ヶ月は、彼らは行き詰まっていました。最終的に、彼らはサリバンの完全な予想よりも少し簡単な課題に挑戦することにしました。泡にもう1次元の余裕を与えると、ボーナスが得られます。最高の泡のクラスターは、中心平面を挟んで鏡面対称になるのです。

サリバンの予想は、2次元以上における三重バブル、3次元以上における四重バブル、といった具合です。ミルマンとニーマンは、ボーナス対称性を得るために、3次元以上における三重バブル、4次元以上における四重バブル、といった具合に対象を限定しました。「全てのパラメータ範囲でこの対称性を得ることを諦めた時、初めて真の進歩を遂げたのです」とニーマンは述べています。

この鏡面対称性を利用して、ミルマンとニーマンは、鏡面より上に位置する泡クラスターの半分をわずかに膨らませ、鏡面より下に位置する半分をわずかに収縮させるという摂動論を考案しました。この摂動は泡の体積を変えませんが、表面積を変える可能性があります。ミルマンとニーマンは、最適な泡クラスターに球面でも平面でもない壁がある場合、クラスターの表面積を減少させるようにこの摂動を選択できることを示しました。これは矛盾です。なぜなら、最適なクラスターは既に表面積が最小になっているからです。

擾乱を利用して泡を研究するという考えは決して新しいものではないが、どの擾乱が泡クラスターの重要な特徴を検出するのかを見極めるのは「ちょっとした闇の芸術」だとニーマン氏は語った。

後から考えると、「（ミルマンとニーマンの摂動を）見てみると、とても自然に見えます」とカリフォルニア大学デービス校のジョエル・ハス氏は語った。

しかし、こうした摂動を自然なものとして認識することは、そもそもそれを思いつくよりもはるかに簡単だとマギー氏は言う。「『いずれ誰かが見つけるだろう』と言えるようなものではありません」と彼は言った。「これは本当に驚くべきレベルの天才的な発見です」

ミルマンとニーマンは、摂動法を用いて、最適なバブルクラスターはサリバンのクラスターの核となる特性をすべて満たす必要があることを示しました。ただし、おそらく一つだけ例外があります。それは、すべてのバブルが互いに接触しなければならないという条件です。この最後の条件のために、ミルマンとニーマンはバブルがクラスターを形成するあらゆる接続方法を検討する必要がありました。バブルが3つか4つしかない場合、考えられる可能性はそれほど多くありません。しかし、バブルの数が増えるにつれて、接続パターンの選択肢は指数関数的増加よりも速いペースで増加します。

ミルマンとニーマンは当初、これらすべてのケースを網羅する包括的な原理を見つけたいと考えていました。しかし、数ヶ月間「頭を悩ませた」後、ミルマンによると、当面は3重バブルと4重バブルを扱える、よりアドホックなアプローチで満足することにしたとのことです。彼らはまた、サリバンの5重バブルが最適であるという未発表の証明を発表しましたが、それが唯一の最適なクラスターであるとはまだ証明していません。

ミルマンとニーマンの研究は「従来の手法の延長ではなく、全く新しいアプローチだ」とモーガンはメールで述べた。マギーは、このアプローチはさらに発展させることができ、おそらく5つ以上のバブルのクラスターや、サリバン予想で鏡面対称性を持たないケースにも適用できるだろうと予測した。

さらなる進歩が容易に進むとは誰も期待していない。しかし、ミルマン氏とニーマン氏は決して諦めなかった。「私の経験から言うと」とミルマン氏は言う。「幸運にも成し遂げることができた大きなことはすべて、諦めないことだけでした。」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。