数学の「最古の問題」に新たな答えが見つかる

数論学者は常に隠れた構造を探し求めています。そして、避けられないと思われる数値パターンに直面したとき、彼らはその真価を試し、与えられたパターンが出現しない状況を考案しようと懸命に試みますが、しばしば失敗します。

オックスフォード大学のトーマス・ブルームによる、そのようなパターンの回復力を証明する最新の研究結果の1つは、はるか古代エジプトにまで遡る疑問に答えている。

「これは史上最古の問題かもしれない」とダートマス大学のカール・ポメランス氏は言う。

この問題は、1⁄2、1⁄7、1⁄122のように、分子に1が含まれる分数に関するものです。これらの「単位分数」は、古代エジプト人にとって特に重要でした。なぜなら、彼らの記数法ではこれらしか分数が存在しなかったからです。2⁄3を表す単一の記号を除いて、より複雑な分数（3⁄4など）は、単位分数の和（1⁄2 + 1⁄4）でしか表すことができませんでした。

こうした和に対する現代の関心は、1970 年代にポール・エルデシュとロナルド・グラハムが、逆数を足すと 1 になる部分集合を含まない整数の集合を設計することがどれだけ難しいかを問うたことで高まりました。たとえば、集合 {2, 3, 6, 9, 13} はこのテストに合格しません。この集合には、逆数が単位分数 1⁄2、1⁄3、1⁄6 (これらの和は 1 になります) である部分集合 {2, 3, 6} が含まれています。

より正確には、エルデシュとグラハムは、十分に大きな正の整数の割合（20 パーセントでも 1 パーセントでも 0.001 パーセントでも可）をサンプリングするどの集合にも、その逆数を合計すると 1 になる部分集合が必ず含まれると推測しました。最初の集合が十分な数の整数をサンプリングするという単純な条件（「正の密度」を持つとして知られる）を満たしている場合、その部分集合を見つけにくくするようにそのメンバーが意図的に選択されたとしても、その部分集合は必ず存在することになります。

「これは正気の人間なら絶対に解けない、不可能な問題だと思っていました」とモントリオール大学のアンドリュー・グランビル氏は語った。「この疑問を解くための明確なツールが見当たらなかったのです」

ブルーム氏がエルデシュ氏とグラハム氏の疑問に関わるようになったのは、宿題がきっかけだった。昨年9月、彼はオックスフォード大学の読書会で20年前の論文を発表するよう依頼された。

アーニー・クルートという数学者によるこの論文は、いわゆるエルデシュ＝グラハム問題のカラーリング版を解いたものでした。この論文では、整数がランダムに色で指定された異なるバケットに分類されます。ある整数は青いバケット、ある整数は赤いバケット、といった具合です。エルデシュとグラハムは、この分類にどれだけ多くの異なるバケットが使われたとしても、少なくとも1つのバケットには逆数の和が1になる整数のサブセットが含まれるはずだと予測しました。

クルートは、微積分学と密接に関連する数学の一分野である調和解析から強力な新手法を導入し、エルデシュ＝グラハムの予測を検証しました。彼の論文は、この分野の最高峰の学術誌であるAnnals of Mathematicsに掲載されました。

「クルート氏の議論は読むのが楽しい」とジョージア大学のジョルジス・ペトリディス氏は述べた。「創造性、独創性、そして高度な技術力が必要だ。」

クルートの論文は印象的であったものの、エルデシュ＝グラハム予想の密度版には答えることができなかった。これは、クルートがバケットソート定式化では利用できるものの密度版では利用できない利便性を利用したためである。

クルートは数をバケットに分類する際に、大きな素因数を持つ合成数を避けようとしました。これらの数の逆数は、より単純な分数に簡約して簡単に1になるのではなく、分母が非常に大きい分数になる傾向があります。そこでクルートは、比較的小さな素因数を多数持つ数が十分な数だけ存在する集合には、逆数の和が1になる部分集合が必ず含まれることを証明しました。

クルートは、少なくとも1つのバケットが常にこの性質を満たすことを示し、これは色付けの結果を証明するのに十分でした。しかし、より一般的な密度バージョンでは、数学者は単に最も都合の良いバケットを選ぶことはできません。小さな素因数を持つ数を含まないバケットで解を探さなければならない場合があり、その場合、クルートの方法は機能しません。

「それは私がどうしても回避できないことだった」とクルート氏は語った。

しかし20年後、ブルームがクルート氏の論文を自分の読書グループに発表する準備をしていたとき、彼はクルート氏が紹介した手法からさらに多くのことを得られることに気づいた。

「ちょっと待てよ、クルートの方法は実は最初に思ったよりも強力だと思ったんだ」とブルームは言った。「それで数週間試してみたら、より強力な結果が得られたんだ」

クルートの証明は、指数和と呼ばれる積分の一種に依存していました。これは、問題に整数解がいくつ存在するか、つまり単位分数の和が1となる部分集合がいくつ存在するかを検出できる式です。しかし、落とし穴があります。これらの指数和を正確に解くことはほぼ不可能であり、推定することさえ非常に困難になることがあります。

クルート氏の推定により、彼が扱っていた積分は正であり、初期セットに少なくとも 1 つの解が存在することを意味する特性であることが証明されました。

「彼は近似的に解いたが、それで十分だ」とオーストリアのグラーツ工科大学のクリスチャン・エルショルツ氏は語った。

ブルームはクルートの戦略を、大きな素因数を持つ数にも適用できるように改良した。しかし、そのためには一連の障害を乗り越える必要があり、指数和がゼロより大きいこと（ひいてはエルデシュ＝グラハム予想が正しいこと）を証明することがより困難になった。

クルートとブルームはともに積分を複数の部分に分割し、1 つの主要な項が大きく正であること、および他のすべての項 (負になる場合もある) は小さすぎて意味のある違いを生まないことを証明しました。

しかし、クルートは大きな素因数を持つ整数を無視して、それらの項が十分に小さいことを証明したのに対し、ブルームの手法では指数和のそれらの部分をより適切に制御することができ、その結果、そうでなければ問題を引き起こす可能性のある数を扱う際に、より多くの余裕が生まれました。そのような問題児は、与えられた項が小さいことを示す上で依然として邪魔になることがありましたが、ブルームはそのような問題が発生するケースは比較的少ないことを証明しました。

「私たちは常に指数関数的な和を推定しています」とブリティッシュコロンビア大学のグレッグ・マーティン氏は述べた。「しかし、指数関数自体に非常に多くの項がある場合、それを推定し、それが大きく正の値であることを示す方法を見つけるには、かなりの楽観主義が必要です。」

ブルームはこの手法を、逆数の和が1になる数の集合を探すために用いるのではなく、逆数の和がより小さな分数になる数の集合を探すために用いました。そして、それらを構成要素として用いて、目的の結果を得ました。

「正直に言って、1は見つからないんです」とブルーム氏は言った。「もしかしたら1/3かもしれないけど、それを3回、3通りのやり方でやって、全部足し合わせれば1になるんです」

これにより、この数値パターンが実際にどれほど堅牢であるかについて、彼はより強い主張を展開しました。つまり、集合に数直線上のごく小さいが十分に大きな断片が含まれている限り、その断片がどのような形をしているかに関係なく、単位分数のきれいな合計値を見つけることは避けられない、ということです。

「これは素晴らしい成果です」とブリティッシュコロンビア大学のイザベラ・ラバ氏は述べた。「組合せ論と解析的数論は過去20年間で大きく進歩しました。そのおかげで、古い問題に新たな視点とより効率的な方法で立ち返ることが可能になったのです。」

同時に、数学者たちは新たな疑問を解く必要に迫られています。今度は、単位分数の和が1になる集合についてです。素数はその一例です。素数の逆数の和が1になるような部分集合は存在しません。しかし、この性質は、逆数の和が素数の逆数よりもさらに速く無限大に近づくという意味で「より大きい」他の無限集合にも当てはまります。これらの和は、隠れた構造が再び現れ、逆数の一部が必然的に1になる前に、どれほど速く増加できるのでしょうか？

「エルデシュ・グラハム予想はごく自然な疑問だが、完全な答えではない」とペトリディス氏は語った。

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。

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