トランポリンに乗った車：運動エネルギーでさらにキック

バルコニーからトランポリンにスイカを落とすのは見たことがあるでしょう。でも、高い塔からトランポリンに車を落とすとどうなるでしょうか？これは物理学の面白さを全く新しい次元へと引き上げるものです。マーク・ロバートとHow Ridiculousのチームが制作したこの動画では、まさにそれが起こります。

まず彼らは、防弾ケブラーシートを重ねてパッドとし、分厚い鉄骨と144個の大きなガレージドア用バネで支えた、モンスター級のトランポリンを自作しました。その後、様々な物を使ってテストを行い、スイカ1袋分、ボウリングの玉20個、そして66ポンドのアトラスストーンを水風船の上に落下させました。車が落下するシーンは動画の終盤、9:20から始まっています。

たとえこれがすごいと思わなかったとしても（いい加減にしろ、実験的にすごいことが証明されているんだから）、ソーシャルディスタンスを実践している今、自宅で物理の問題を解くための素晴らしい情報源にはなります。いくつか解いてみましょう。しかも、例として解いているつもりです。本当のところ？どうしようもないんです。物理が好きなんです。

1. 落下高さはどのくらいですか?

動画を見て、車がトランポリンにぶつかるまでにどれくらい落下したか分かりますか？これは最高の質問です。答えを教えてしまうとネタバレになってしまうので、まずは自分で試してみたい方はここで一時停止してください。

準備はいいですか？物理学に詳しい方なら、距離を求めるには自由落下時間を測定するだけでいいことがお分かりでしょう。

基本から始めましょう。物体が人の手から離れると、その物体に作用する力は下向きの重力のみになります。この力の大きさは、物体の質量（m）と重力場（g = 9.8 N/kg）の積です。物体の加速度も質量に依存するため、自由落下するすべての物体は、同じ9.8 m/s ²の下向きの加速度を持ちます。では、落下時間と高さにはどのような関係があるのでしょうか？これを導いてみます。「運動方程式を使ってください」とは言いません。

一次元における加速度の定義は、速度の変化（Δv）を時間の変化（Δt ）で割ることです。経過時間（動画から確認できます）と加速度（地球上なので）が分かれば、速度の変化を求めることができます。なお、加速度は下向きなので、負の gを使用しています。

この式において、v ₁は物体の開始速度（この場合はゼロ）、v _{2 は}最終速度です。ここで別の定義を見てみましょう。平均速度（1次元）は次のようになります。ここで、Δyは垂直方向の位置の変化です。

一定の加速度を持つ物体（この例のように）の場合、平均速度は初速度と終速度の和を2で割った値、つまり文字通り速度の平均です。初速度はゼロなので、平均速度は終速度の半分になります。これを使って、位置の変化、つまり落下距離を求めることができます。

はい、物体は下向きに動いているので、 y座標の変化は負です。残っているのは時間だけです。スイカを落とす動画の部分を見ました。スローモーションのショットもありますが、一定時間で動いているショットもあります。これらのショットから落下時間を求めることができます。

YouTubeのタイムスタンプを使って計算することもできますが、詳細な情報が得られません。私は動画分析ツール「Tracker」を使うのが好きです。こういう時はこれが一番です（しかも無料です）。これを使うと、落下時間は2.749秒です。これを上の式に当てはめると、落下高度は37.0メートル（121.5フィート）と分かります。これで一つの疑問が解決しました。

2. 衝突速度はどれくらいですか?

物体を静止状態（つまり初速度ゼロ）から落とすと、トランポリンにぶつかる直前の速度はどれくらいでしょうか？ えっと、この質問にも答えるつもりだと思ったんですか？いいえ。実は、これはそれほど難しくありません。時間と加速度の定義を使えば答えが見つかります。あなたならできます。あなたを信じています。

3. 有効ばね定数はいくらですか?

この動き全体を見ていきましょう。車は落下します。落下するにつれて重力の力が車に作用し、速度がどんどん増していき、ついにトランポリンに接触します。この時点で、トランポリンのバネが伸び、車に上向きの力が生じます。バネが伸びるほど、上向きの力は大きくなります。

物体が減速するには、運動の方向と反対方向に働く正味の力が必要であることを覚えておいてください。車がトランポリンに最初にぶつかったとき、後方に押す力は重力よりも小さいため、正味の力は依然として下向きにかかっており、車は加速し続けます。これは生徒が直感的に理解しにくい点です。加速を決定するのは正味の力であることを覚えておいてください。

車が減速し始めるのは、バネの力が下向きの重力よりも大きくなるまでです。もちろん、車はまだ下降しているので、バネはさらに伸び、バネの力が増加します。最終的に車は下降を止め、上昇を始めます。

さて、それをどのように定量化できるでしょうか？バネの力をモデル化する一つの方法は、フックの法則を用いることです。これは、バネの力（F _s）はバネが伸びる、または縮む距離（s ）に比例するというものです。この比例定数はバネ定数kと呼ばれます。kはバネの硬さと考えることができます。

実は、このモデルをトランポリンに直接適用することはできません。なぜなら、バネが車の動きと一直線になっていると仮定しているからです。実際、車が10cm下がると、状況の幾何学的構造上、バネはそれ以上伸びます。でも心配はいりません。すべてが1次元であると仮定すれば、全体的な有効バネ定数が得られます。そうすると、問題は次のようになります。

仕事-エネルギー原理を用いることで、バネ定数kの式を求めることができます。これは、ある系に与えられた仕事は、その系におけるエネルギーの変化に等しいという原理です。したがって、地球、車、バネからなる系を定義すると、系には外部との相互作用がないため、仕事は発生しません。つまり、全エネルギーは一定、つまりエネルギーは保存されるということです。

このシステムには、実際には3種類のエネルギーしか関与していません。以下に、これらのエネルギーの式と説明を示します。

• 運動エネルギー（K）：物体が運動しているときに持つエネルギーです。運動エネルギーは、物体の質量と速度の両方に依存します。

• 重力による位置エネルギー (U _g ): 2つの物体（例えば車と地球）が重力で相互作用している場合、その位置に応じた位置エネルギーが生じます。地球の表面では、この位置エネルギーは車の質量と任意の垂直位置に比例すると近似できます。（この位置については気にする必要はありません。重要なのは位置の変化だけです。）

• 弾性位置エネルギー (U _s ):バネ位置エネルギーとも呼ばれます。これは、バネの圧縮量または伸長量とバネ定数の両方に依存します。これでバネの剛性を表す式が得られます。

仕事-エネルギー原理を使うことの何がそんなに素晴らしいかご存知ですか？ある状態から別の状態への変化だけに注目し、その間の出来事はすべて無視できるのです。つまり、車が停止している状態（落下地点の頂点）から始めて、バネの底部（再び停止状態）で終わることができるのです。中間地点で車がどれだけの速度で動いているかを知る必要はありません。それは全く重要ではありません。これらをすべてまとめると、次の式が得られます。

いくつか注意点があります。落下の頂点の位置と速度には添え字の1を、底部には添え字の3を使用しています（ステージ2はバネに当たる時点です）。どちらの位置でも、運動エネルギーはゼロです。つまり、運動エネルギーの変化もゼロです。高さの変化（y ₃ - y ₁）は、（上の図から）- hです。落下開始時の伸び（s ₁ ）は、バネがまだ圧縮されていないため、ゼロです。これで（図の表記法と合わせて）バネ定数kを求めることができます。

少し進歩しましたね。あと必要なのは、伸長距離s（トランポリンがどれだけ下がるか）と車の質量だけです。伸長距離の推定はそれほど難しくないはずです。だいたい1.5メートルくらいのようです。

でも、質量はどうなってるの？マークは車の質量を調整したと言っていましたが、結果的にどれくらいの質量になったのかは言っていませんでした。ああ、彼に聞けばいいのに？いや、そんなことしたら面白くないでしょ？質量をうまく推測して、質問を締めくくってください。

4. 実際のトランポリンのバネ力を計算します。

さて、上ではバネが車の動きと一直線になっていると仮定しましたが、明らかにそうではありません。トランポリンの面白いところは、バネの伸びる距離とトランポリンが下がる距離が異なることです。何が起こっているのかを確認するために、非常に単純化したトランポリンを作ってみましょう。

このバージョンでは、水平方向のバーが2本の水平方向のバネで支えられています。バーの上に質量体が乗ると、質量体が下方に移動し、バネが伸びます。図を以下に示します。

いくつか考慮すべき点があります。まず、トランポリンがyの距離だけ下に移動した場合、バネ（伸びていない長さL ₀）はどれくらい伸びるでしょうか？図から簡単に計算できます。

次に、このバネ力のどの成分が上向きなのでしょうか？左側のバネは上向きと左向きの力を、右側のバネは上向きと右向きの力をそれぞれ発揮します。もしバネの力が等しい場合、これらのバネ力の水平成分は打ち消され、上向きの成分だけが残ります。しかし、その大きさは、バネの水平方向に対する角度（図ではθ ）によって異なります。

次にできることは次のとおりです。バネ定数と伸長していない長さの値をいくつか選びます。そして、正味の垂直バネ力を垂直位置の関数としてプロットします。このプロットは直線的でしょうか？フックの法則に従う単一のバネであれば、まさにその通りです。正直なところ、どのような結果が得られるかは分かりません。だからこそ、これは宿題として最適な問題なのです。

トランポリンの有効バネ定数の式は導き出しましたが、数値は得られませんでした。この値を大まかに推定したい場合は、ガレージドアのバネを144個用意すると良いでしょう。伸びていない状態の長さ（おそらく約75cm）を推定できます。ガレージドアのバネ定数についてはよく分かりません。「450ポンド」のバネと書かれていますが、それが何を意味するのか明確ではありません。推測で構いません。

有効バネ定数（または距離の関数としての力）がわかったら、前の問題に戻って車の質量を解くことができます。これは素晴らしいですね。ズルをしないで、マークに聞いてください。

5. 車の重心はどこにありますか?

落とした車の種類は分かりません。オーストラリア製の車でしょうか？ただ、質量を変えたことは確かで、おそらくエンジンを外したのではないかと思います。そうすれば、このスタントがやりやすくなるかもしれません。エンジンがないと、回転せずに「車輪が上がった」状態で落下する可能性が高くなるからです。

なぜそう思うのか？それは、重心があるからです。物体の重心とは、その物体に単一の重力が作用していると仮定できる点です。もちろん、車はたくさんの小さな部品でできており、それぞれが地球と重力的に相互作用しています。しかし、これらすべての力を一つの力として扱う方が簡単です。そして、力が一つだけであれば、その力の作用する位置は一つで、それが重心です。

ほとんどの車の重心は車体の中心にありません。これは、エンジンと呼ばれる非常に重い部品が重心を前方に移動させているためです。しかし、もし車をケーブルで吊るしたらどうなるでしょうか？車が回転しないようにするには、ケーブルの張力と重力の両方が同じ点を通過する必要があります。そうすることで、トルクが生じなくなります。つまり、車体を通るケーブルから線を引くと、その線は重心を通ることになります。

吊り下げられた車の写真がこれです:

写真のように3点の取り付けポイントを使用すると、車体は多少回転して重心がメインケーブルと一直線になるようにしますが、大きく揺れることはありません。さて、宿題です。重心の位置を推定し、エンジンを戻したときに車体が前方にどれだけ移動するかを確認しましょう。

6. 空気抵抗は重要ですか?

ああ、もう宿題の質問は聞きたくないの？残念だ。

以前の分析では、車が落下する際、車に作用する力は重力のみであると仮定しました。これは正しいでしょうか？明らかに完全に正しいわけではありませんが、おそらく問題ないでしょう。車は落下する際、空気中を移動します。車は空気を押しのける必要があるため、空気は車を押し返します。これが空気抵抗の本質です。空気抵抗は速度とは反対方向の力で、通常は次の式でモデル化できます。

このモデルでは、ρは空気の密度、Aは断面積、Cは形状に依存する抗力係数、そしてもちろんvは速度です。

空気抵抗を考慮した落下物体の運動を実際にモデル化しようとすると、複雑な計算が必要になります。車の速度は変化し、空気抵抗は速度に依存するため、これまでのような単純な仮定を用いることはできません。実際、空気抵抗を考慮した物体の運動を解く最良の方法は、小さな時間ステップに分割し、数値計算を行うことです。以下にその例を示します。

しかし、ここでは空気抵抗を無視できると確信しています。理由は次のとおりです。塔の高さは45メートルと記載されています。空気抵抗は重力と逆方向に働くため、大きな空気抵抗があると落下時間が長くなります。より長い時間（以前と同じように空気抵抗を無視した場合）を使用すると、計算上の塔の高さは45メートルを超えます。私はそのような結果は得られなかったので、空気抵抗は問題にならないと思います。それでも、モデル化は必要です。

7. 科学と工学の本質とは何ですか?

はっ！これでしばらくは忙しくなりそうです。実はこれは宿題ではありませんが、おそらくこの動画の一番の見どころです。マーク・ロバートはこう言っています。

「CADで何かを設計し、それが十分に良いか分析し、そしてテストして答えを検証するという繰り返しです。コンピューターを使って設計を分析することで、コンピューターの性能がそれほど高くなかった以前よりもはるかに複雑なシステムを作ることができます。」

「高校で物理を学んだとき、数学と方程式を使って周囲の世界を理解し、予測できるという考えが、私が初めて科学に夢中になったきっかけです。」

はい。すべてはモデルに関することです。

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