数学者たちはついに、溶けた氷が滑らかなままであることを証明した

コップ一杯の水に氷を落としてみましょう。溶け始める様子を想像できるでしょう。そして、どんな形になろうとも、鋭い角と細かい尖端で構成された雪の結晶のように溶けていくことは決してないだろうということもご存知でしょう。

数学者は、この融解プロセスを方程式でモデル化しています。方程式はうまく機能しますが、現実に関する明白な事実と一致することを証明するのに130年もかかりました。3月に投稿された論文で、スイス連邦工科大学チューリッヒ校のアレッシオ・フィガッリとジョアキン・セラ、そしてバルセロナ大学のザビエル・ロス＝オトンは、方程式が実際に直感と一致することを証明しました。このモデルに雪の結晶が現れることは不可能ではないかもしれませんが、極めて稀で、完全に一時的なものです。

「今回の結果は、この分野に新たな視点を開くものです」と、スイス連邦工科大学ローザンヌ校のマリア・コロンボ氏は述べた。「これまで、この現象についてこれほど深く、かつ正確に理解された例はありませんでした。」

氷が水中でどのように溶けるかという問題は、1889年にこの問題を提起した物理学者ヨーゼフ・シュテファンにちなんで、シュテファン問題と呼ばれています。これは「自由境界問題」の最も重要な例であり、数学者は熱の拡散などの過程がどのように境界を移動させるかを検討します。この場合、境界は氷と水の間です。

数学者たちは長年にわたり、こうした進化する境界の複雑なモデルを解明しようと試みてきました。この新たな研究は、この進歩を推し進めるため、異なる種類の物理系、すなわち石鹸膜に関する先行研究から着想を得ています。これらの研究を基に、氷と水の間の進化する境界では、カスプやエッジのような鋭い点はほとんど形成されず、たとえ形成されたとしてもすぐに消滅することを証明しています。

これらの鋭い点は特異点と呼ばれ、物理世界と同様に数学の自由境界でも一時的なものであることがわかります。

溶ける砂時計

再び、コップ一杯の水の中にある氷を考えてみましょう。この二つの物質は同じ水分子でできていますが、水は固体と液体という二つの異なる相を呈しています。二つの相が接するところに境界が存在します。しかし、水の熱が氷に伝わると、氷は溶けて境界が移動します。そして最終的に、氷と境界は消えてしまいます。

直感的に、この融解境界は常に滑らかであると思えるかもしれません。というのも、水の入ったコップから氷を取り出すときに、鋭い角で手を切るようなことはないからです。しかし、少し想像力を働かせれば、鋭い点が現れるシナリオを容易に想像することができます。

砂時計の形をした氷を水に沈めてみましょう。氷が溶けるにつれて、砂時計のくぼみはどんどん細くなり、最終的には氷が完全に溶けてしまいます。この瞬間、かつては滑らかなくぼみだった部分が、2つの尖った尖端、つまり特異点に変わります。

「これは、自然に特異点を示す問題の一つです」とパルマ大学のジュゼッペ・ミンジョーネ氏は述べた。「物理的な現実がそれを物語っているのです。」

しかし現実は、特異点が制御されていることを示唆しています。カスプは温水によって急速に溶けてしまうため、長くは続かないはずです。砂時計だけでできた巨大な氷の塊から雪の結晶が作られるかもしれません。しかし、それでも一瞬しか続かないはずです。

1889年、ステファンはこの問題を数学的に精査し、氷の融解を記述する2つの方程式を導き出しました。1つは、温かい水から冷たい氷への熱の拡散を記述する方程式で、この拡散によって氷は収縮し、水の領域は拡大します。もう1つの方程式は、融解の進行に伴って氷と水の界面がどのように変化するかを追跡します。（実際には、これらの方程式は、氷が非常に冷たくなり、周囲の水が凍ってしまう状況も記述できますが、本研究では研究者たちはその可能性を無視しています。）

「重要なのは、2つのフェーズがどこで一方から他方に切り替わるかを理解することだ」とコロンボ氏は語った。

1970年代に数学者たちがこれらの方程式が確固たる基盤を持っていることを証明するまで、ほぼ100年かかりました。水の初期温度と氷の初期形状といった初期条件が与えられれば、このモデルを無限に実行することで、温度（あるいはそれと密接に関連する積算温度と呼ばれる量）が時間とともにどのように変化するかを正確に記述することが可能になります。

しかし、モデルが極めて奇妙なシナリオに到達する可能性を阻むものは何も見つからなかった。例えば、方程式は氷と水の境界がカスプの森を形成する様子や、鋭く静止した雪片の様子を記述するかもしれない。言い換えれば、モデルが意味のない結果を出力する可能性を排除できなかったのだ。ステファン問題は、こうした状況における特異点が実際には十分に制御されていることを示す問題へと変化した。

そうでなければ、氷の融解モデルは壮大な失敗であり、何世代にもわたる数学者を騙して実際よりも確実だと信じ込ませてきたということを意味する。

石鹸のインスピレーション

数学者が氷の融解方程式を理解し始める前の10年間に、彼らは石鹸膜の数学において驚異的な進歩を遂げました。

二つのワイヤーリングを石鹸水に浸し、その後引き離すと、その間に石鹸膜が形成されます。表面張力によって膜は可能な限り張られ、カテノイドと呼ばれる形状、つまり陥没した円筒のような形になります。この形状は、二つのリングを最小の表面積で繋ぐため、数学者が極小曲面と呼ぶものの一例となります。

石鹸膜は、独自の方程式群によってモデル化されます。1960年代までに数学者たちは石鹸膜の理解を深めていましたが、その解がどれほど奇妙なものになるかは理解していませんでした。ステファン問題と同様に、その解は受け入れがたいほど奇妙で、私たちが期待する滑らかな膜とは全く異なる、無数の特異点を持つ石鹸膜を記述することになるかもしれません。

1961 年と 1962 年に、エンニオ・デ・ジョルジ、ウェンデル・フレミングらは、特異点の状況が懸念されていたほど悪いかどうかを判断するための優れたプロセスを発明しました。

二つの境界面、例えば二つの環の集合の間にある石鹸膜の形状を記述する石鹸膜方程式の解があるとします。石鹸膜表面上の任意の点に焦点を合わせてみましょう。この点の近傍の形状はどのように見えるでしょうか？私たちが何も知らないうちは、鋭い尖端から滑らかな丘まで、想像できるあらゆる特徴を持つ可能性があります。数学者たちは、まるで無限の倍率を持つ顕微鏡を持っているかのように、その点にズームインする方法を考案しました。そして、ズームインすると、見えるのは平面だけであることを証明しました。

「いつもだよ。それだけだ」とロス・オトンは言った。

この平坦さは、その点付近の形状が特異点ではないことを示唆していました。もしその点が尖端に位置していたら、数学者たちは平面ではなく、くさび形に近いものを見るでしょう。そして、彼らは点をランダムに選んだので、フィルム上のすべての点は、近くで見ると滑らかな平面に見えるはずだと結論付けることができました。彼らの研究によって、フィルム全体が滑らかで、特異点に悩まされていないことが確立されました。

数学者たちはステファン問題にも同じ手法を用いようとしましたが、氷の場合はそれほど単純ではないことにすぐに気づきました。常に滑らかに見える石鹸膜とは異なり、融解中の氷は実際に特異点を示します。石鹸膜は静止したままですが、氷と水の境界は常に動いています。これは、後に別の数学者が取り組むことになる新たな課題をもたらしました。

映画から氷へ

1977年、ルイス・カファレッリはステファン問題のための数学的な拡大鏡を発明しました。石鹸の膜を拡大するのではなく、氷と水の境界を拡大する方法を考案しました。

「これは彼の偉大な直感でした」とミンジョーネは言った。「彼はこれらの手法を、デ・ジョルジの極小曲面理論から、より一般的な設定へと持ち込むことができたのです。」

数学者たちが石鹸膜方程式の解を拡大すると、平坦な部分しか見えなかった。しかし、カファレッリが氷と水の間の凍結境界を拡大すると、全く異なるものが見えることがあった。それは、ほぼ完全に温かい水に囲まれた凍結点だった。これらの点は氷のカスプ、つまり特異点に対応しており、融解境界の後退によって取り残される。

カファレッリは、氷の融解に関する数学において特異点が存在することを証明しました。また、その数を推定する方法も考案しました。氷の特異点の正確な位置では、特異点が氷でできているため、温度は常に0℃です。これは単純な事実です。しかし驚くべきことに、カファレッリは特異点から離れるにつれて、温度が明確なパターンで上昇することを発見しました。特異点から1単位の距離を移動して水に入ると、温度は約1単位上昇します。2単位離れると、温度は約4単位上昇します。

これは放物線関係と呼ばれます。温度を距離の関数としてグラフ化すると、ほぼ放物線の形になるからです。しかし、空間は三次元であるため、特異点から一方向だけでなく、三つの異なる方向に向かって温度をグラフ化することができます。したがって、温度は三次元の放物線、つまり放物面と呼ばれる形状のように見えます。

カファレッリの洞察は、氷水境界に沿った特異点の大きさを明確に評価する方法を提供しました。特異点は温度が0℃となる点として定義され、放物面は特異点とその周辺の温度を表します。したがって、放物面が0℃となるところはどこでも特異点となります。

では、放物面がゼロになる場所はいくつあるでしょうか？ 隣り合った放物面の列で構成された放物面を想像してみてください。このような放物面は、直線全体にわたって最小値、つまりゼロになることがあります。つまり、カファレッリが観測した特異点は、単なる氷の点ではなく、実際には直線、つまり無限に細い氷の端の大きさである可能性があるということです。また、多くの直線を組み合わせて面を形成できるため、彼の研究は、一連の特異点が境界面全体を埋め尽くす可能性を残していました。もしこれが真実なら、ステファン問題における特異点は完全に制御不能だったことになります。

「モデルにとっては大惨事となるでしょう。完全な混乱です」と、2018年に数学界最高の栄誉であるフィールズ賞を受賞したフィガリ氏は述べた。

しかし、カファレッリの結果は最悪のシナリオに過ぎなかった。潜在的な特異点の最大サイズを確定したものの、方程式の中で特異点が実際にどれほどの頻度で発生するか、またそれがどれほど長く続くかについては何も言及していなかった。2019年までに、フィガリ、ロス＝オトン、そしてセラは、さらなる情報を得るための驚くべき方法を発見した。

不完全なパターン

ステファン問題を解くために、フィガリ、ロス＝オトン、セラは、方程式に現れる特異点が制御されていることを証明する必要があった。特異点はそれほど多くなく、長く続かない。そのためには、形成されうるあらゆる種類の特異点を包括的に理解する必要があった。

カファレッリは氷が溶けるにつれて特異点がどのように発達するかの理解に進展を遂げていたが、その過程において、どう対処すべきか分からなかった特徴があった。彼は特異点周辺の水温が放物面状のパターンを描くことを認識していた。しかし同時に、それがこのパターンに厳密に従うわけではないことも認識していた。完全な放物面と実際の水温の見え方の間にはわずかなずれがあるのだ。

フィガッリ、ロス＝オトン、そしてセラは、顕微鏡を放物面パターンからのこの逸脱に向けました。彼らはこの小さな欠陥 ― 境界からかすかに揺れる冷気のささやき ― にズームインし、そこに独自のパターンがあり、それが様々な種類の特異点を生み出していることを発見しました。

「放物線状のスケールを超えています」とミラノ工科大学のサンドロ・サルサ氏は言う。「驚くべきことです。」

彼らは、これらの新しいタイプの特異点はすべて、自然界と同じように急速に消滅することを証明した。ただし、特に謎めいた2つの特異点だけは例外だった。彼らの最後の課題は、これら2つの特異点も出現と同時に消滅し、雪片のようなものが存続する可能性を否定することを証明することだった。

消失するカスプ

最初のタイプの特異点は、2000年にすでに登場していた。数学者のフレデリック・アルムグレンが、石鹸の膜に関する1,000ページに及ぶ恐ろしい論文でその特異点を調査したのだが、その論文はアルムグレンが亡くなった後に、妻で石鹸の膜のもう一人の権威であるジーン・テイラーによって初めて公表された。

数学者たちは3次元では石鹸膜が常に滑らかであることを示していましたが、アルムグレンは4次元では新たな種類の「分岐」特異点が現れ、石鹸膜が奇妙な形で尖ることを証明しました。これらの特異点は非常に抽象的で、きれいに視覚化することは不可能です。しかし、フィガリ、ロス＝オトン、そしてセラは、氷と水の融解境界に沿って非常によく似た特異点が形成されることに気づきました。

「このつながりは少し不思議です」とセラ氏は言った。「数学の世界では、物事が予期せぬ形で展開することがあるのです。」

彼らはアルムグレンの研究を用いて、これらの分岐特異点の1つを取り囲む氷は、拡大しても同じ円錐状のパターンを呈していることを示した。温度の放物面パターンは直線全体に沿って特異点が存在する可能性を示唆するが、円錐状のパターンは一点にのみ鋭い特異点を持つ。この事実を用いて、彼らはこれらの特異点が空間的にも時間的にも孤立していることを示した。そして、それらは形成されるとすぐに消えてしまうのだ。

二つ目の特異点は、さらに神秘的でした。その感覚を理解するには、薄い氷のシートを水に沈めることを想像してみてください。氷はどんどん縮み、そして突然、一瞬にして消え去ります。しかし、その直前に、シート状の特異点、つまり剃刀のように鋭い二次元の壁を形成します。

ある時点で、研究者たちはズームインして類似のシナリオを発見しました。まるで薄い氷のシートの中にあるかのように、2つの氷の前面が点に向かって崩壊していくのです。これらの点は厳密には特異点ではなく、特異点が形成されようとしている場所です。問題は、これらの点付近の2つの前面が同時に崩壊するかどうかでした。もし同時に崩壊した場合、シート状の特異点は、たった一瞬だけ形成され、その後消滅することになります。最終的に、彼らは方程式の中でまさにこのシナリオが展開されることを証明しました。

「これはある意味、直感を裏付けるものだ」とバーナード大学のダニエラ・デ・シルバ氏は語った。

異常な分岐特異点とシート状特異点の両方がまれであることを示したことで、研究者は、ステファン問題のすべての特異点はまれであるという一般的な声明を出すことができました。

「ランダムに時間を選択した場合、特異点が見える確率はゼロです」とロス・オトン氏は語った。

数学者たちは、この研究の技術的な詳細を理解するには時間がかかるだろうと述べています。しかし、この成果が他の多くの問題の進歩の基盤となると確信しています。シュテファン問題は、境界が変化する数学の分野全体にとって基礎的な例です。しかし、シュテファン問題自体、そして氷が水中でどのように溶けるかという数学についてはどうでしょうか？

「ここは閉まっています」とサルサは言った。

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。

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