対称性が数学者を魅了し続ける理由

数学者がモンスター群に魅了されたとしても無理はありません。モンスター群とは、あまりに巨大で謎めいた代数的対象であり、その存在が証明されるまでにほぼ 10 年もかかりました。それから 30 年後の今、弦理論家 (隠れた次元で振動する小さな弦によってすべての基本的な力と粒子がどのように説明できるかを研究する物理学者) は、このモンスター群を物理的な疑問に結び付けようとしています。10 の 53 を超える要素からなるこの集合の何が^数学者と物理学者の両者を魅了するのでしょうか。モンスター群のような代数群の研究は、対称性の数学的構造を理解するのに役立ち、隠れた対称性は新しい物理理論を構築するための手がかりを提供します。群論は多くの点で数学的抽象の典型ですが、私たちが最もよく知っている数学的経験のいくつかの根底にもなっています。対称性の基礎と、その構造を明らかにする代数を探ってみましょう。

私たちは物事が対称的だとよく言いますが、それは一体どういう意味でしょうか？直感的に、私たちは対称性を一種の鏡映しとして捉えています。例えば、正方形の中央に垂直線を引いたとしましょう。

この線は正方形を二つの等しい部分に分け、それぞれの部分はもう一方の鏡像となります。このよく知られた例は線対称性と呼ばれます。しかし、鏡像とは関係のない対称性も存在します。

たとえば、正方形も回転対称性を持っています。

ここでは、正方形をその中心点（対角線の交点）を中心に反時計回りに回転させる過程を見ていきます。90度（1/4回転）回転した後は、回転前と同じように見えます。このように物体を変形させることで、結果が元の状態と区別がつかなくなるため、対称性が定義されます。上記の回転は正方形の対称性の一つであり、線対称の例はもう一つの対称性と考えることができます。

ここで少し用語の定義をしておきましょう。元の物体を「原像」、変換後の物体を「像」と呼び、「写像」とは、ある物体（点、線分、正方形など）を別の物体に変換する過程を指します。対称性を保つには、変換によって物体のサイズや形状が変化しないことが必要です。この条件を満たす変換は「等長変換」、つまり剛体運動と呼ばれます。基本的な等長変換には、直線を基準とした鏡映変換、点を中心とした回転変換、ベクトルに沿った並進変換があります。

正方形の対称性の分析を続けましょう。対称性の1つは「中心を通る垂直線を軸とした直線の鏡映」であり、もう1つは「中心を反時計回りに90度回転」であることはわかっています。他にも対称性はあるのでしょうか？どのようなもので、いくつあるのでしょうか？数学ではよくあることですが、事前に計画を立て、適切な表記法を身につけておくと、分析がはるかに簡単になります。

まず、対称性を利用して正方形を変形し、その結果がこれであると説明したとします。

どの対称性が適用されたのでしょうか？正方形は回転したのでしょうか？鏡映されたのでしょうか？もちろん、対称性の基準が明確ではないため、それを見分けることは不可能です。具体的な対称性を特定するために、まずは元の正方形の頂点にラベルを付けてみましょう。

さらに、元の正方形を描くときはいつでも、次のようにラベルが付けられていると想像することに同意しましょう。左上隅はA、右上はB、右下はC、左下はDです。

正方形を変形すると、ラベルがどこに配置されるか確認できます。例えば、中心を通る垂直線で反射すると、正方形の画像は次のようになります。

元のラベル付けと比較すると、AはB の位置、B はA の位置にあります。同様に、CとD の位置は入れ替わっています。元のラベル付けをABCDとすると、この変換によって得られる新しいラベル付けをBADCと表記します。これは、この変換において、AはBに、BはAに、CはDに、D はCにマッピングされることを意味します。この表記法の仕組みは、次のように視覚化できます。

開始位置は常にABCDとするため、リスト内の相対位置は、変換によって各元の頂点がどこにマッピングされるかを表します。別の例として、反時計回りに90度回転する場合はDABCと表記されます。これは、AがDに、BがAに、というようにマッピングされるためです。

技術的には、これは変換によって角に何が起こるかを説明しているだけですが、結局のところ、正方形全体に何が起こるかを説明するにはこれで十分です。対称性は等長変換であり、オブジェクトのサイズと形状が保存されるためです。等長変換では角または頂点を平らにすることはできません。そうするとオブジェクトの形状が変わってしまうからです。つまり、角A、B、C、Dはすべて角にマッピングされる必要があります。同様に、等長変換の特性により、線分は線分にマッピングされることが保証されます。したがって、正方形の角がどこに行くかがわかれば、辺も一緒に進みます。言い換えると、正方形の辺のイメージは、その端点である頂点のイメージによって決まります。

これは、 A、B、C、Dの4つの文字の配置によって、正方形の対称性を完全に特定できることを意味します。これはそれ自体注目に値することですが、同時に正方形の対称性の数の上限も示しています。つまり、正方形の対称性の数は、これら4つの文字の配置の数と同じだけ存在するということです。では、そのような配置はいくつあるでしょうか？

これらの文字の組み合わせを考えてみましょう。4つの文字のどれから始めても構いませんが、最初の文字を選んだら、2番目の文字の選択肢は3つしかありません。2番目の文字を選んだら、3番目の文字の選択肢は2つ、そして最後に4番目の文字の選択肢は1つしかありません。基本的な数え方から、次のようになります。

4 × 3 × 2 × 1 (= 4!) = 24

文字A、B、C、Dの可能な配置。したがって、正方形の対称性は最大24通りあります。

実際、正方形の対称性は24個よりはるかに少なく、もう一つ簡単な議論でその理由が分かります。元の図に戻りましょう。正方形の対称性がAをBに写像すると仮定します。Cはどこに写像できるでしょうか？

答えは、C はDにのみ写像できるということです。AとC は正方形の対角線の端点です。等長変換は大きさを変えないので、AとCの距離は写像の前後で同じでなければなりません。AがBに写像される場合、正方形上でAの現在位置から対角線の長さだけ離れた点はDのみであり、そこにC を写像する必要があります。

これにより、正方形の対称性の可能な数が大幅に減少します。対称性を構築したと仮定します。点A が最終的に到達する場所は、いくつありますか？頂点は頂点に向かわなければならないため、Aの像の到達点は4つしかありません。そして、 Aの到達点を決定したら、 Cの到達点は、 Aの像の対角点となる頂点の1つしか考えられません。つまり、 Bの到達点は2つしかなく、同様の議論から、 Dの到達点は1つしか考えられないことがわかります。

結局のところ、正方形の対称性を決定するには、Aがどこに位置するか（4つの選択肢）とBがどこに位置するか（2つの選択肢）という2つの点しか決める必要はありません。つまり、正方形の対称性は4 × 2 = 8通りしかありません。以下に、私たちの表記法を用いた完全なリストを示します。

8つの可能性すべてが正方形の真の対称性である保証はありません。しかし、リストは短いので、それらを確認して、すべてが正当な対称性に対応していることを確認できます。左側の4つは回転（0度、90度、180度、270度）、右側の4つは鏡映（垂直線と水平線による2つ、対角線による2つ）です。

つまり、これら8つの変換はすべて対称性であり、正方形には最大8つの対称性しかないことが分かっているので、どうやらすべてを発見したようです。しかし、本当にこれですべてなのだろうか？

対称性を組み合わせる自然な方法に気づいたとき、一つの懸念が生じます。それは、単にそれらを連続して適用することです（変換に対する操作は「合成」と呼ばれます）。正方形に対称性を適用すると、同じ正方形が再び得られるので、さらに別の対称性を適用して、再び同じ正方形を生成することができます。つまり、複数の対称性を連続して適用すると、それらの対称性の合成自体が正方形の対称性になります。上記の8つの対称性の様々な組み合わせによって、正方形の新しい対称性を生成できる可能性があります。

しかし、実際にやってみると面白いことが起こります。正方形を反時計回りに90度回転させ、中心を通る垂直線を基準に鏡映変換するとどうなるでしょうか。頂点はどうなるでしょうか？回転によってA はDに、鏡映によってCに向かい、最終的にA はCに向かいます。BはAに回転し、鏡映されてBに戻るので、BはBに写像されます。CはBに回転し、鏡映されてAに戻り、D はCに回転し、鏡映されてDに戻ります。ここで採用した記法では、これら2つの変換の合成は次のように記述できます。

しかし、この対称性は既にリストに載っています！反時計回りに90度回転させ、中心を通る垂直線を軸に鏡映させると、実際には対角線BDを軸に鏡映されます。つまり、上記の8つの対称性の組み合わせはすべて、それ自体が上記の8つの対称性のいずれかであるということです。

これで、この対称性の集合に内在する根本的な代数構造が明らかになりました。2つの対称性を合成によって組み合わせると、別の対称性が得られます。これは、2つの数を加算して別の数を得るのとほぼ同じです。恒等対称性（0度回転）は、私たちの数体系における数0の働きと全く同じように機能します。そして、すべての対称性は元に戻すことができます。3を足すと-3を足すと元に戻るように。例えば、正方形を90度回転させると、さらに270度回転させると元に戻ります。

これらは群の本質的な代数的性質であり、正方形の対称性の集合のような群に、私たちがよく知っている数体系に似た構造と規則性を与えます。しかし、対称性の群は独自の複雑で微妙な特性も示します。例えば、正方形の対称性の群は8つの要素しか含みませんが、これは私たちの無限数体系とは全く対照的です。対称性は数を足すのと同じように組み合わせることができますが、組み合わせる順序によって意味が異なります。3 + 4 = 4 + 3 ですが、反転の後に回転を行うのは、回転の後に反転を行うのと必ずしも同じではありません。

正方形の単純な対称性の根底にある代数構造を垣間見ることができました。数学者や弦理論家たちは、この怪物の奥底に潜むものを発見するのでしょうか？

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オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。