今年の円周率の日、円周率を計算してみましょう

今年も円周率の日（3月14日。円周率の最初の数字である3と14にちなんで）がやってきました。今年の円周率のお祝いに入る前に、この素​​晴らしい数字について最も重要なことをいくつかまとめておきたいと思います。

• 米国以外では、円周率の日はおそらく 7 月 22 日 (22/7) でしょう。この分数は円周率の驚くほど正確な推定値です。
• 質量とバネを使って円周率の値を求めることができます。
• 円周率の値は局所的な重力場と関連しています。
• 乱数を使用して円周率の値を求めることができます (これが私のお気に入りです)。
• そして最後に、π、e、1、0、i（虚数）の間には関係があります。

今日は数値積分を使って円周率を計算します。一体どういう意味でしょうか？まずは例を挙げましょう。半円の面積はどうやって求めるのでしょうか？

円の面積は円周率×半径の2乗です。これは半径1（単位なし）の円の半分で、面積は円周率/2になります。他の方法で面積を求める場合は、この面積に2を掛ければ円周率が得られます。これが私の計画です。

でも、ある図形、いや、どんな図形でも、面積はどうやって求めるのでしょうか？ここで微積分が役に立ちます。半円の面積は、たくさんの長方形の面積を足し合わせることで求められます。長方形の面積を求めるのはとても簡単です。私の言いたいことを理解していただくために、半円の中にいくつか長方形を描いてみましょう。

これらの細長い長方形の面積は、「底辺×高さ」という公式で求められます。長方形の高さは「y」、底辺は「dx」です。ここで、dxはx軸に沿った任意の長さです。長方形の頂点が円に接するため、実際の高さを求めることができます。円の方程式から高さを求めることができます。

さて、これらの長方形をすべて足し合わせると、半円の面積が求められます。面積の和は次のように表せます。

でもちょっと待ってください！これは円（半円）の実際の面積の近似値としては不十分ではないでしょうか？ええ、確かにその通りです。しかし、実際にはこれらの小さな面積の長方形の幅に依存します。実際、幅（dx）がゼロになる極限を取れば、正確な面積が得られます。これは実は微積分における積分の定義なのですが、それはまた別の機会に説明します。代わりに、たくさんの長方形の面積を単純に足し合わせる数値計算を行います。もちろん手作業でも可能ですが、退屈になるかもしれません。そこで、コンピュータープログラムを使って計算してみましょう。はい。

Python による数値計算の例です。「再生」ボタンを押してコードを実行できますが、以下にコードに関するコメントをいくつか記載しておきます。

満足できる場合はコードを変更できますが、考慮すべき点がいくつかあります。

• これは数値計算です。つまり、このプログラムは数値のみを扱います。面積は厳密にはm²などの単位で表すべきです^が、ここではそうではなく、数値のみで表されています。
• Pythonのループでは、タブインデントされているものすべてがループの一部として扱われます。インデントを解除すると、ループ内ではなくなります。
• 18行目は奇妙に見えるかもしれません。なぜなら、実際そうだからです。これを代数方程式と考えるなら、Aは両辺にあるので打ち消されるはずですが、これは方程式ではありません。Python（そしてほとんどの他の言語）では、「=」は「等しくする」という意味です。この行は、Aの古い値に新しい値を加算し、それをAの新しい値にしています。

この初期計算では、dx は 0.1 です。つまり、半円の面積を求めるのに必要な長方形は 20 個だけです。これにより、円周率のおおよその値は 3.10452 になりますが、これは明らかに正確な円周率ではありません。もちろん、長方形の幅を狭くすれば、より正確な推定値を得ることができます。上記のコードを変更して試してみてください（ヒント：dx の値を変更してください）。しかし、このまま放っておくわけにはいかないので、異なるステップサイズでの円周率の値をプロットしたものを以下に示します。

おそらくこれは最良のグラフではないかもしれませんが、今のところはこれで十分です。このグラフのコードを確認したい場合は、こちらをご覧ください。しかし、最終的には円周率の期待値に近づきます。この方法では円周率の100万桁は得られないかもしれませんが、少なくとも積分について何かを学ぶことができるかもしれません。