ニュートンの第三法則に反するシステムの新しい理論

ニュートンの第三法則は、あらゆる作用には、反対方向に働く等しい反作用があることを示しています。この法則は400年もの間、私たちを安心させ続けてきました。なぜ私たちが床を突き抜けないのか（床も私たちを押し上げている）や、漕ぐとボートが水面を滑るように進むのかを説明しています。系が平衡状態にあるとき、エネルギーの出入りはなく、このような相互作用が法則です。数学的には、これらの系は統計力学によって簡潔に記述されます。統計力学は、物体の集合体がどのように振る舞うかを説明する物理学の一分野です。これにより、研究者は、水が凍るなど、物質の相転移、つまりある状態から別の状態への変化を引き起こす条件を完全にモデル化することができます。

しかし、多くのシステムは平衡状態から遠く離れた状態で存在し、存続しています。おそらく最も顕著な例は生命そのものでしょう。私たちは物質をエネルギーに変換する代謝によって平衡状態から外れた状態に保たれています。平衡状態に落ち着く人体は、死体と同義です。

このようなシステムでは、ニュートンの第三法則は意味をなさなくなります。「等しく反対」という法則は崩れ去ります。「二つの粒子を想像してみてください」と、シカゴ大学の凝縮系理論家、ヴィンチェンツォ・ヴィテリは言います。「AとBの相互作用の仕方が、BとAの相互作用の仕方と異なるとします。」このような非相互的な関係は、ニューロンネットワークや流体中の粒子のようなシステム、さらにはより大きなスケールでは社会集団にも現れます。例えば、捕食者は獲物を食べますが、獲物は捕食者を食べません。

このような手に負えないシステムでは、統計力学は相転移を表現するのに不十分です。平衡状態から外れると、非相反性が支配的になります。群れをなす鳥は、この法則がいかに容易に破られるかを示しています。鳥は後方を見ることができないため、個々の鳥は前方の鳥に応じて飛行パターンを変えます。つまり、鳥Aと鳥Bの相互作用は、鳥Bと鳥Aの相互作用とは異なります。つまり、相互関係がないのです。高速道路を猛スピードで走る車や渋滞に巻き込まれる車も同様に非相反性です。物質ではなく構造から特性を得るメタマテリアルを研究するエンジニアや物理学者は、非相反性の要素を利用して音響、量子、機械デバイスを設計してきました。

これらのシステムの多くは、個々の構成要素が独自のエネルギー源（細胞ならATP、車ならガソリンなど）を持っているため、非平衡状態にあります。しかし、こうした余分なエネルギー源と不一致な反応は、統計力学の範疇を超えた複雑な動的システムを形成します。このように絶えず変化するシステムの相をどのように分析できるでしょうか？

ヴィテリ氏とその同僚たちは、例外点と呼ばれる数学的対象に答えを見出しています。一般的に、系における例外点とは特異点、すなわち2つ以上の特徴的な性質が区別できなくなり、数学的に1つに収束する点を指します。例外点においては、系の数学的挙動は近傍点とは劇的に異なり、レーザーのようにエネルギーが絶えず増減する系において、例外点はしばしば奇妙な現象を記述します。

研究チームは今回、これらの例外点が非相反系における相転移も制御していることを発見した。例外点は新しいものではなく、物理学者や数学者は数十年にわたり様々な状況で研究してきた。しかし、この種の相転移とこれほど広く関連付けられたことはなかった。「非平衡系の文脈で例外点を用いることは、これまで誰も考えたことがありませんでした」と、ニューメキシコ州ロスアラモス国立研究所の物理学者シンシア・ライヒハルト氏は述べた。「ですから、例外点に関する既存のあらゆる手法を、これらの系を研究するために活用できるのです。」

この新たな研究は、長年互いに関連性がないと思われてきた様々な分野や現象の間にも関連性を見出している。「彼らの研究は、数学の発展にとって豊かな領域を象徴していると思います」と、ニューヨーク大学クーラント数学研究所のロバート・コーン氏は述べた。

対称性が崩れたとき

この研究は、鳥やニューロンではなく、量子の奇妙な性質から始まった。数年前、この論文の著者のうち2人、シカゴ大学のポスドク研究員である花井亮氏と、花井氏の指導教官であるピーター・リトルウッド氏は、ポラリトンと呼ばれる準粒子の一種を研究していた。（リトルウッド氏は、編集上独立したこの出版物にも資金提供を行っているシモンズ財団の研究部門であるフラットアイアン研究所の科学諮問委員会のメンバーである。）

準粒子はそれ自体が粒子ではありません。量子的な振る舞いの集合体であり、全体として見ると粒子と結びついているように見えます。ポラリトンは、光子（光を司る粒子）が励起子（それ自体が準粒子）と結合することで現れます。ポラリトンは質量が非常に小さいため、非常に高速に移動することができ、他の粒子よりも高い温度でボーズ・アインシュタイン凝縮（BEC）と呼ばれる物質状態（個々の原子がすべて単一の量子状態に崩壊する状態）を形成することができます。

しかし、ポラリトンを用いてBECを作るのは複雑です。漏れやすいのです。一部の光子は絶えずシステムから漏れ出てしまうため、その差を埋めるために光をシステムに継続的に注入しなければなりません。つまり、平衡状態が崩れているのです。「理論的な観点から言えば、そこが私たちにとって興味深い点でした」と花井氏は語りました。

花井とリトルウッドにとって、それはレーザーを作り出すことに似ていました。「光子は常に漏れ出ていますが、それでもある程度のコヒーレント状態が維持されます」とリトルウッドは言います。これは、レーザーに電力を供給する新しいエネルギーが絶えず追加されるためです。彼らは、平衡状態からの逸脱がBECやその他のエキゾチックな量子状態への遷移にどのような影響を与えるのか、そして特に、その変化がシステムの対称性にどのような影響を与えるのかを知りたかったのです。

対称性の概念は相転移の核心です。液体や気体は非常に対称性が高いと考えられています。なぜなら、分子サイズのジェット機で液体や気体の間を疾走すると、粒子の飛沫はどの方向を見ても同じように見えるからです。しかし、結晶やその他の固体の中を飛行すると、分子が直線状に並んでいることが分かります。そして、見えるパターンは、あなたがいる場所によって決まります。物質が液体または気体から固体に変化すると、研究者たちはその対称性が「破れる」と言います。

物理学において、最もよく研​​究されている相転移の一つは磁性材料に現れます。鉄やニッケルなどの磁性材料中の原子はそれぞれ磁気モーメントと呼ばれるものを持っており、これは基本的に微小な磁場です。磁石では、これらの磁気モーメントはすべて同じ方向を向いており、全体として磁場を形成します。しかし、材料を十分に加熱すると（高校の理科の実験でろうそくの火を使って加熱する場合でも）、磁気モーメントは乱雑になります。あるものは一方を向き、あるものは別の方向を向きます。全体的な磁場は失われ、対称性が回復します。冷却すると、磁気モーメントは再び整列し、自由対称性が崩れ、磁性が回復します。

鳥の群れは対称性の破れとも捉えられます。ランダムな方向に飛ぶのではなく、磁石のスピンのように一列に並びます。しかし、重要な違いがあります。強磁性相転移は平衡状態にある系であるため、統計力学を用いて容易に説明できます。

しかし、鳥類、そして細胞、バクテリア、そして交通を走る車は、システムに新たなエネルギーを付加します。「それらは内部エネルギー源を持っているため、異なる行動をとります」とライクハート氏は言います。「そして、それらはエネルギーを保存しないため、システムの観点から見ると、エネルギーはどこからともなく現れるのです。」

量子を超えて

花井氏とリトルウッド氏は、BEC相転移の研究を、よく知られた一般的な相転移から始めました。水を考えてみましょう。液体の水と蒸気は見た目は異なりますが、リトルウッド氏によると、基本的に両者の間には対称性の違いはありません。数学的には、転移点において、2つの状態は区別できません。平衡状態にある系では、その点は臨界点と呼ばれます。

臨界現象は、宇宙論、高エネルギー物理学、さらには生物系など、あらゆる分野で現れます。しかし、これらすべての例において、量子力学系が環境と結合し、絶え間ない減衰とポンピングを受けることで形成される凝縮体について、研究者たちは適切なモデルを見つけることができませんでした。

花井とリトルウッドは、臨界点と例外点は明らかに異なるメカニズムから生じたものであっても、いくつかの重要な性質を共有しているはずだと考えました。「臨界点とは、ある種興味深い数学的抽象概念です」とリトルウッドは言います。「そこでは、二つの相の違いは区別できません。まさに同じことが、これらのポラリトン系でも起こります。」

彼らはまた、数学的にはレーザー（厳密には物質状態）とポラリトン-励起子BECが同一の基礎方程式を持つことを知っていた。2019年に発表された論文で、研究者たちは点と点を結びつけ、量子力学系において例外点が相転移を引き起こす、新しく、そして極めて普遍的なメカニズムを提唱した。

「それがこれらの変化の最初の説明だったと我々は考えています」と花井氏は語った。

花井氏によると、ほぼ同時期に、彼らは物質の量子状態を研究しているにもかかわらず、その方程式が量子力学に依存していないことに気づいたという。彼らが研究していた現象は、より大きく、より一般的な現象にも当てはまるのだろうか？「この考え方（相転移を例外点に結びつける）は古典系にも適用できるのではないかと考え始めたのです。」

しかし、そのアイデアを追求するには、助けが必要だった。そこで彼らは、ヴィテリと、ヴィテリの研究室のポスドク研究員であるミシェル・フルチャートに協力を求めた。彼らは古典的領域における特異な対称性を研究している。彼らの研究は、非相反相互作用に富むメタマテリアルにも及んでいる。例えば、片側から押すと異なる反応を示す場合があり、また、例外的な点を示すこともある。

ヴィテリとフルチャートはすぐに興味をそそられた。ポラリトン凝縮体には何らかの普遍原理が働いているのだろうか？エネルギーが保存されない系に関する何らかの基本法則なのだろうか？

同期する

4人組となった研究者たちは、非相反性と相転移の関連性を支える一般原理の探求に着手した。ヴィテリにとって、それは手を動かして考えることを意味した。彼は難解で抽象的な現象を説明するために、物理的な機械システムを構築するのが得意だ。例えば、過去にはレゴブロックを使って格子を組み、その格子からエッジと内部で異なる動きをするトポロジカル材料を作成した。

「私たちが話しているのは理論的なことですが、おもちゃを使ってそれを実証することができます」と彼は言いました。

しかし、例外的な点については、「レゴだけでは不十分だ」と彼は言いました。彼は、自力で動くものの非相反的な相互作用のルールに支配されたブロックを使う方が、非相反的なシステムをモデル化するのが容易だと気づきました。

そこでチームは、非互恵的に行動するようにプログラムされた二輪ロボット群を作り上げました。これらのロボットアシスタントは小さく、可愛らしく、シンプルです。チームはそれらすべてに、特定の色分けされた行動をプログラムしました。赤いロボットは他の赤いロボットと、青いロボットは他の青いロボットと並びます。しかし、ここで非互恵性が生じます。赤いロボットは青いロボットと同じ方向を向きますが、青いロボットは赤いロボットとは反対方向を向きます。この配置により、どのエージェントも望むものを得ることができません。

研究チームはロボットを床に散らばらせ、同時に電源を入れた。すると、ほぼ瞬時にパターンが現れた。ロボットたちは動き始め、ゆっくりと、しかし同時に回転し、最終的にはほぼ一箇所で同じ方向に回転し始めた。ヴィテリ氏によると、ロボットには回転機能が組み込まれていなかったという。「これは、こうしたフラストレーションの溜まる相互作用によるものです。ロボットたちは常にフラストレーションを感じながら動き続けているのです。」

回転するイライラしたロボットの群れの魅力に、根底にある理論を覆い隠してしまう誘惑に駆られるが、これらの回転はまさに平衡状態から外れた系の相転移を実証した。そして、彼らが実証した対称性の破れは、花井とリトルウッドがエキゾチックな量子凝縮体を研究した際に発見したのと同じ現象と数学的に一致する。

この比較をより深く探求するために、研究者たちは分岐理論という数学の分野に着目しました。分岐とは、力学系の挙動における質的な変化であり、多くの場合、1つの状態が2つに分裂する形をとります。

数学者は分岐図（最も単純なものは熊手のような形）を描き、システムの状態がパラメータの変化にどのように反応するかを分析します。多くの場合、分岐は安定性と不安定性を分けるだけでなく、異なる種類の安定状態を分けることもあります。これは、数学的カオスに関連するシステムの研究に役立ちます。このようなシステムでは、開始点（最初のパラメータ1つ）の小さな変化が結果に大きな変化を引き起こす可能性があります。システムは、一連の分岐点を経て、非カオス的な挙動からカオス的な挙動へと移行します。分岐は相転移と長年にわたり関連しており、4人の研究者はこの関連性に基づいて、非相反システムの理解を深めました。

つまり、彼らはエネルギーランドスケープについても考える必要があった。統計力学において、系のエネルギーランドスケープは、エネルギーが空間内でどのように変化するか（例えば、位置エネルギーから運動エネルギーへ）を示す。平衡状態において、物質の相はエネルギーランドスケープの極小値（谷）に対応する。しかし、物質の相に関するこの解釈は、系が最終的にそれらの極小値に到達することを必要とする、とフルチャートは言う。

ヴィテリ氏によると、この新たな研究の最も重要な点は、物理学者や数学者が変動する系を記述するために用いる既存の言語の限界を明らかにした点にあるかもしれないという。平衡状態が与えられた場合、統計力学はエネルギーの最小化という観点から挙動や現象を捉える。エネルギーの付加も損失もないからだ。しかし、系が平衡状態から外れると、「必然的に、もはや我々が使い慣れたエネルギー言語で記述することはできなくなるが、それでも集団状態間の遷移は存在する」と彼は述べた。この新たなアプローチは、相転移を記述するにはエネルギーを最小化しなければならないという基本的な仮定を緩和するものだ。

「相互関係がないと仮定すると、私たちはもはやエネルギーを定義できなくなります」とヴィテリ氏は述べた。「そして、こうした遷移の言語を力学の言語に書き直さなければなりません。」

珍しい現象を探して

この研究は広範な意味を持つ。研究者たちは、自身のアイデアがどのように連携するかを示すために、様々な非相反系を解析した。彼らが例外点に結び付けた種類の相転移はエネルギーの考慮では記述できないため、これらの例外点対称性の変化は非相反系でのみ起こり得る。これは、相反性を超えた力学系における様々な現象が、この新しい枠組みで記述できることを示唆している。

リトルウッド氏によると、基礎を築いた今、彼らはそれをどれだけ広範囲に適用できるかを調査し始めたという。「私たちは、これまで同じ特性を持つとは考えられていなかった他の力学系にも、この手法を一般化し始めています」と彼は語った。

ヴィテリ氏は、非相反的な挙動を示すほぼあらゆる力学系は、この新しいアプローチで探究する価値があると述べた。「これは、最適化原理に支配されない力学系における集団現象の一般理論への真の一歩です。」

リトルウッド氏は、最も複雑な力学系の一つである人間の脳における相転移の探求に最も興奮していると述べた。「私たちが次に進むのは神経科学です」と彼は言った。ニューロンには「様々な種類」があり、興奮状態にある時もあれば抑制状態にある時もあることが示されていると彼は指摘する。「これは明らかに非相反性です」。つまり、ニューロンの分岐を利用し、ニューロンが同期して周期的な動きを示す相転移を探求することで、ニューロンの接続と相互作用を正確にモデル化できる可能性があるということだ。「これは私たちが探求している本当にエキサイティングな方向です」と彼は述べ、「そして、数学はうまく機能しています」と付け加えた。

数学者たちも興奮している。クーラント研究所のコーン氏は、この研究は乱流輸送や流体の流れといった、研究者がまだ認識していない他の数学的テーマと関連している可能性があると述べた。非相反系は、現在適切な数学言語が存在しない相転移やその他の空間パターンを示す可能性がある。

「この研究は新たな可能性に満ち溢れているかもしれませんし、もしかしたら新しい数学が必要になるかもしれません」とコーン氏は述べた。「数学と物理学が互いにつながり、双方に利益をもたらす、まさにその核心と言えるでしょう。ここに私たちがこれまで気づいていなかったサンドボックスがあり、私たちが実行できるかもしれないことのリストがあります。」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。

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