ドローンの推力を計算しましょう！

正直に言うと、私はドローンが大好きです。10代の頃からずっとラジコンカーを持っていました。そしてもちろん、一番印象的だったラジコンカーはガソリンで動くヘリコプターでした。でも、高価で飛ばすのが難しかったんです。でも、クワッドコプターなら楽勝です。しかも写真や動画も撮れます。

ドローンに強い関心があるので、次のステップとして物理学に応用するのは当然の流れです。このドローン、DJI Sparkの航空学の分析はいかがでしょうか。ドローンと物理学、これ以上の組み合わせがあるでしょうか？

そこで、スマートフォンを使って、Sparkが最初に垂直に、そして次に水平に移動するスローモーション動画をいくつか撮影しました。下に例を示します。そして、お気に入りのツールの一つである動画分析アプリ「Tracker」を使って、各フレームにおけるドローンの位置をプロットしました。このデータがあれば、加速度や推力などの性能仕様を導き出すのは、あとはひたすら進むだけです。

ビデオ: レット・アラン

ボールに乗って

この動画は、ドローンが移動する様子をタイムスタンプ付きのスナップショットで連続して撮影したもので、タイムスケールを補正するためにフレームレートを知る必要があります。私のスマホには、スローモーション撮影は毎秒240フレーム、つまり4.17ミリ秒間隔で行われると表示されています。

念のため確認するために、既に知っている事柄、つまり真上に投げ上げられたボールの加速度についてテスト分析を行ってみます。重力のみが作用する自由落下中の物体の垂直加速度は約-9.81メートル/秒²です。

つまり、ビデオフレームにメーター棒（手の横にある水平の棒）を置けば、距離のスケールと垂直方向の加速度の両方がわかります。そこから、実際のフレームレートを計算できます。ボールトスの様子はこんな感じです。

ビデオ: レット・アラン

^{このクリップにTrackerソフトウェアを適用し、フィッティング式で垂直加速度が-9.81 m/s 2}となるまでフレームレートを調整しました。少しいじってみたところ、時間間隔は4.28ミリ秒、つまり約234フレーム/秒になりました。フレームレートを調整した軌跡を以下に示します。

加速する物体の位置は、時間と時間の二乗の両方に依存します。物理学の入門コースを受講したことがあるなら、この有名な運動方程式を見たことがあるでしょう。

このデータに二次関数を当てはめると、t ²項の前の係数は加速度を2で割った値に等しいことがわかります。つまり、加速度は-9.822 m/s ²となります。これはかなり近い値なので、導出されたフレームレート234 fpsで計算することにしましょう。さて、ドローンの話に戻りましょう！

垂直加速度

まず、最も単純な加速、つまり真上への加速から始めましょう。動画をソフトウェアプログラムに取り込むと、位置（高さはメートル）と時間（秒）の関数としてプロットされたグラフが表示されます。

^{ドローンは静止状態から4.755 m/s 2}の加速度で上昇しているのがわかります。しかし、加速し続けるわけではなく、1.5秒も経たないうちに3.67 m/sの一定速度に達します。そのため、線は直線になっています。ドローンコントローラーのテレメトリデータを見ると、上昇速度は約3 m/sです。つまり、これは問題ないようです。

さて、いよいよ面白い部分です。ドローンの4つのローターから発生する推力はどれくらいでしょうか？まず、ドローンの質量（ m ）と垂直加速度（ a _y）がわかれば、力と運動の関係から垂直方向の有効正味力を計算できます。

この正味の力は、2つの異なる垂直方向の力に分解できます。(1) 上向きの推力F _T、(2) 下向きの重力mgです。これは日常生活で「重さ」と呼ばれるもので、質量と局所的な重力場g (9.8 N/kg) の積です。つまり、 F _net-y = F _T - mgとなります。これを代入して整理すると、推力は次の式になります。

これらの値はすべて分かっています。動画分析から、a _y = 4.755 m/s ^{2 で}あることを覚えておいてください。DJIの仕様書には、ドローンの重量（mg）が0.3 kgと記載されています。これらをすべて合計すると、推力は4.37ニュートンになります。すごいですね！

ところで、空気抵抗はどうでしょうか？最初はドローンは非常にゆっくりと移動しているので、空気抵抗は無視できる程度でしょう。しかし、一定の上昇速度に達すると、空気抵抗が影響する可能性があります。一定速度では加速度はゼロですが、ドローンには上向きの推力と、重力と空気抵抗による下向きの力の3つの力が作用します。この場合の抗力係数は推定できますが、これは宿題として残しておきます。

前進加速

では、ドローンが水平方向に加速していく様子を見てみましょう。水平位置と時間の関数を示すグラフがこちらです。

今回は加速度が4.88 m/s ²でした。この場合、ドローンは観測時間全体、つまり1.5秒強の間ずっと加速していることに注意してください。もちろん、もっと長く観測すれば、ある程度の一定速度に達するでしょう。

しかし、加速度の値はどうでしょうか？垂直加速度の4.755 m/s ²にかなり近い値です。重力による下向きの力がないので、もっと高い値になるはずではないでしょうか？そう思うかもしれませんが、ドローンのスラスターは、ドローンが落下しないようにするために、下向きの重力に対処しなければなりません。

ドローンが加速し始めるクローズアップ映像です。重要な部分もいくつかあり、見た目もかっこいいですね。

ビデオ: レット・アラン

これがクワッドコプターの素晴らしい点です。上下、前後、横、斜めなど、あらゆる方向に移動でき、これらの動きはすべて4つのモーターへの出力変化によって行われます。可動部品は4つの水平ローターだけです。ヘリコプターのような複雑なピッチングブレードは必要ありません。

この場合、前方のローターの出力が低下し（したがって推力も低下）、ドローンは前方に傾きます。この時点で、すべてのローターからの推力は上向きで、角度がついています。これにより、前方方向の推力成分が生成され、ドローンは加速します。ここで、次の力の図が役立つかもしれません。

しかし、今では推力の総量を計算する方法が2つあります。まず、垂直方向の力に注目します。この場合、ドローンは上下に加速しないため、垂直方向の正味の力はゼロになります。下向きの重力と推力の垂直成分は完全に相殺されます。

あるいは、水平方向からアプローチすることもできます。この場合、正味の水平方向の力は、質量と水平加速度の積になります。これらの力はベクトルであるため、水平方向（x）と垂直方向（y）の両方に同時に作用します。しかし、x方向とy方向は互いに直交しているため、これらのベクトルの成分は直角三角形を形成します。三角関数は、実際には直角三角形の辺の比です。さあ、これでx方向とy方向の推力成分が求められます。

F の sin θ 倍は m の x 倍の a に等しく、F の cos θ 倍は m の g に等しい。

傾斜角θが33.8度（動画から測定）の場合、これらの式から推力の総量は2つの異なる値を得られます。垂直方向の力から計算すると3.54ニュートン、水平方向の力から計算すると2.63ニュートンです。でも、ちょっと待ってください！なぜこの値が異なるのでしょうか？そして、なぜ垂直方向の結果は、ドローンが真上に移動していた前の結果と異なるのでしょうか？

まず、2つの計算の違いについてですが、水平方向の加速度に逆らう大きな空気抵抗が存在する可能性があります。空気抵抗の水平方向の値が0.504ニュートンであれば、どちらの方法でも同じ大きさの推力が発生します。

垂直方向の測定結果である3.54ニュートンが、ドローンが真上に飛行していた時の値（4.37ニュートン）と異なるのはなぜでしょうか？まあ、それほど大きな差はありません。単なる測定誤差かもしれません。しかし、他にもっともらしい説明があります。ドローンのソフトウェアが水平方向の加速度を適切な値に制限しているのかもしれません。結局のところ、衝突する可能性のある危険な物体のほとんどは、水平方向にあるのですから。

さて、宿題がもう一つあります。ドローンが減速して停止するときの水平加速度を測定してください。空気抵抗が推力と同じ方向に働くので、加速するときの加速度よりも大きくなるのではないかと思います。これが私の推測です。もし正しいかどうか教えてください！

WIREDのその他の素晴らしい記事