ミラーと極座標を使って戦車の砲弾を追跡する

[#動画: https://www.youtube.com/embed/xpJ8EoGmLuE もしインターネットがオンラインの物理教科書だとしたら、Slow Mo Guysが宿題の多くを代筆しているでしょう。Slow Mo Guysとは、もちろんギャビンとダンのことです。彼らは超高速カメラを使って、私たちの周りのものを観察しています。ええと、この場合、彼らが見ているのは普通の物ではありません。戦車から発射された高速砲弾の動きを観察しているのです。

しかし、この戦車の砲弾が秒速約2,000フィート（約609メートル）で飛んできたら、どうやって見えるでしょうか？砲弾の軌道がフレームに入るくらいカメラを遠くに置くこともできます。しかし、その場合、高速で移動する物体はほとんど見えません。動画では小さすぎます。では、砲弾が大きく見えるように軌道に近づいたらどうでしょうか？はい、見えますが、全体の軌道のほんの一部しか見えません。

この問題の解決策は、両方の方法を使うことです。カメラを通路に近づけ、弾丸が通過するにつれて視点を回転させます。Slow Mo Guysはカメラを通路から82フィート（約24メートル）離して設置する予定です。つまり、カメラを毎秒約3,000度回転させる必要がありますが、これはほぼ不可能です。しかし、カメラを回転させる代わりに、回転鏡を使います。カメラは鏡を見つめ、そこから戦車の砲弾を捉えます。そうすれば、鏡が回転する間、カメラは動かずに済みます。完璧です。

本当の質問はこれです。発射物を追跡するために、鏡の角度位置をどうやって決めるのでしょうか？答えは極座標です。数学の授業で極座標を使った問題を出題された時、冗談だと思ったかもしれませんね。でも、実はこれって時々必要なんです。

さあ、やってみましょう。直交座標と極座標という2つの異なる座標系を復習しましょう。また、極座標を使って超高速の弾丸を追跡するにはどうすればよいでしょうか？

直交座標

これはおそらく皆さんもよくご存知のものです。二次元にはX軸とY軸があり、それらは互いに垂直です。原点を選択すると、物体の位置をX座標とY座標で表すことができます。

この座標系については、おそらく皆さんも見たことがあるでしょうから、特に説明することはありません。いくつかコメントさせてください。単位を忘れないでください。xとyの数値だけではありません。これらの数値は、現実世界と関連付けるために単位が必要です。

さて、発射体が負のx方向に600m/sの速度で移動しているとしましょう。この場合、発射体の位置に関する以下の運動学方程式を書くことができます。

これらの式において、x ₁は開始時のx座標、x _{2 は}時間 Δt 後の位置です。y座標はx方向にのみ移動しているため、変化しないことに注意してください。

でも、位置が簡単にわかるからといって、カメラのミラーをどこに向ければいいかがわかるわけではありません。なるほど、分かりました。位置を使ってミラーの角度を計算することは可能ですが、極座標を使うほど面白くはありません。

ああ、直交座標系の原点を移動しても大した問題ではないことも付け加えておきます。確かに開始位置は異なりますが、速度方程式はほぼ同じです。

極座標

平面上の動き（戦車殻の上下運動は無視）を扱う場合、物体の原点に対する位置を表すために2つの座標が必要になります。極座標では、2つの直交する距離（xとy）の代わりに、角度と距離を使用します。以下は、極座標を使用する前の同じ物体です。

xとyの代わりに、r（元の座標からの距離）とθ（x軸からの角度）を使います。はい、直交座標の上に極座標を描くと、2つの座標系の関係が分かります。rとθの値を求めるには、直角三角形を使います。この三角形の斜辺はr、角度はθです。これにより、以下の変換式が得られます。

すべて順調に見えます。しかし、問題があります。物体の速度を極座標でどのように表すのでしょうか？これは簡単な問題ではありません。発射体がx方向に移動している場合、その速度は直交座標系ではx方向のみです。しかし、極座標では角度値とr値の両方が変化します。物体の座標を2つの異なる時刻で示すと、このことがわかります。

極座標で速度を記述するのは単なる一次元ではなく、その値は一定ではありません。なぜ極座標を使うのでしょうか？極座標を使えば、物体の角度位置がわかるからです。これはまさに鏡の向きを決めるために必要なものです。ちなみに、極座標系の原点を動かすと、値がかなり変わることに注意してください。

よし、やってみよう。極座標で速度を表す式を導こう。かなり数学的な計算が必要なので、文章ではなく、導出過程を動画で紹介する。実は、文章も書いたので、どうぞ。

しかし、最終的には、直交座標系で得られるような簡潔で美しい式にはなりません。得られるのは、時間とともに変化し、時間に関する2階微分に依存するrとθの式です。そう、微分方程式です。しかし、待ってください！まだすべてが失われたわけではありません。微分方程式を解きたくないのは分かっていますし、解く必要もありません。この問題は、小さなステップに分割し、各ステップを解くことで解くことができます。これが数値計算の鍵となる考え方です。このようなことは、少しのコンピュータコードで実現するのが最も簡単です。

数値計算を作成するには、次のものが必要です（極座標）。

オブジェクトの開始位置です。動画ではカメラが82フィート（25メートル）離れていると記載されているので、これを開始時のR値として使用します。初期角度は90度です。
初期速度はどうでしょうか？2次元（rとθ）なので、この2方向の速度が必要です。極座標における速度の奇妙な点は、物体が移動するとr方向とθ方向が変化するということです。直交座標では、x方向とy方向は一定です。そこで、この物体にθ方向の初期速度を600m/sとしましょう。

これで十分でしょう。これらの値があれば、微分方程式を使って、ある短い時間間隔後の極の速度と位置を求めることができます。あとは、止めたいと思ったとき、あるいはコンピュータがクラッシュするまで、これを繰り返します。位置の角度値を時間の関数としてプロットしたコードを以下に示します。自由に編集して再実行してください。何も壊れることはありません。

角度と時間のグラフから、これはそれほど単純な問題ではないことがわかります。カメラのミラーを特定の角速度で回転させて発射物を追うだけでは不十分です。戦車の砲弾がカメラに近づくほど、視界内に留まるためにはミラーを速く回転させる必要があるのです。

さて、ここであなた（または将来私）への質問をいくつかさせていただきます。

宿題

上記のコードを使って、rと時間のグラフを作成してください。
コードでは、各タイムステップにおけるrとthetaの値を用いて物体のx座標を計算します。位置と時間をプロットし、x座標の速度が一定であることを確認してください。
コード内の開始位置（r）を変更してください。開始位置が戦車砲弾に近づいたらどうなるでしょうか？遠ざかっていたらどうなるでしょうか？
ミラーの最大角速度（ラジアン/秒）はどれくらいですか?
長さ10cmのカメラを中心軸に回転させ、このカメラの先端が投射物に追従すると仮定します。このカメラの先端の求心加速度を計算してください。カメラの先端の質量が50グラムだと仮定します。カメラを固定するために必要な力を計算してください。
戦車の砲弾を追跡するためにカメラを回転させるために必要な電力 (ワット単位) を推定します。

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