二つの幾何学的世界の間の鏡面的なつながりを探る

27年前、ある物理学者グループが数学を根底から覆す偶然の発見をしました。彼らは弦理論の詳細を解明しようとしていた時、奇妙な対応関係を発見しました。ある種の幾何学的世界から生じる数が、全く異なる種類の幾何学的世界から生じる全く異なる種類の数と完全に一致するのです。

物理学者にとって、この対応は興味深いものだった。しかし数学者にとっては、とんでもない話だった。彼らは何十年もの間、この二つの幾何学的設定を互いに独立して研究してきたのだ。これらが密接に関連していると主張することは、宇宙飛行士が月に飛び込んだ瞬間に、何らかの隠された繋がりによって妹が地球に戻ってくると主張するのと同じくらい、ありそうもないことに思えた。

「まったくとんでもないことに思えました」と、カリフォルニア大学サンタバーバラ校の数学者で、一致する数字を調査した最初の数学者の一人であるデビッド・モリソン氏は語った。

30年近く経ち、懐疑論はとうの昔に啓示へと変わりました。物理学者たちが初めて観察した幾何学的関係は、現代数学において最も発展途上の分野の一つとなっています。この分野は「鏡面対称性」と呼ばれ、一見遠く離れた二つの数学的宇宙が、何らかの形で互いを正確に映し出しているように見えるという事実に由来しています。そして、最初の対応関係、つまり片側の数値の集合がもう一方の数値の集合と一致するという観測以来、数学者たちは精巧な鏡像関係の事例を数多く発見してきました。宇宙飛行士と妹は一緒にジャンプするだけでなく、手を振り、一緒に夢を見るのです。

最近、鏡面対称性の研究は新たな展開を見せています。長年にわたり、同じ根底にある現象のさらなる例が発見され、数学者たちはなぜこの現象が起こるのかという説明に近づきつつあります。

「我々は着地地点を見つけるところまで来ています。着陸が見えてきました」と、カリフォルニア大学バークレー校の数学者、デニス・オールー氏は語った。

ミラー対称性の根本的な説明を求める取り組みは、複数の数学者グループによって進められている。彼らは、この分野における中心的な予想の証明に近づいている。彼らの研究は、幾何学的DNAの一種、つまり根本的に異なる2つの幾何学的世界がどのようにして共通の特徴を持つのかを説明する共通コードを発見するのと同じようなものだ。

鏡の発見

後にミラー対称性の分野となるものは、物理学者が余剰次元の探求に着手したことから始まりました。1960年代後半にはすでに、物理学者たちは電子、光子、クォークといった基本粒子の存在を、微小な振動する弦で説明しようと試みていました。1980年代までに、物理学者たちは「弦理論」を成立させるためには、弦が10次元、つまり私たちが観測できる4次元時空よりも6次元多い次元に存在する必要があることを理解しました。彼らは、この目に見えない6次元で起こっていることが、私たちの物理世界の観測可能な特性を決定づけているのではないかと提唱しました。

「直接見ることも測ることもできない小さな空間があるかもしれないが、その空間の幾何学的形状のいくつかの側面が現実世界の物理学に影響を与える可能性がある」とケンブリッジ大学の数学者マーク・グロス氏は語った。

最終的に、彼らは6次元の記述の可能性を見出しました。しかし、それに入る前に、空間が幾何学的形状を持つとはどういうことかについて少し考えてみる価値があります。

蜂の巣と超高層ビルを考えてみましょう。どちらも三次元構造ですが、幾何学的には全く異なります。配置が異なり、外面の曲率も内角も異なります。同様に、弦理論の研究者たちは、失われた六次元を想像するために全く異なる方法を考案しました。

一つの方法は代数幾何学という数学の分野で生まれました。この分野では、数学者は多項式方程式（例えばx ² + y ² = 1）の解（この場合は円）をグラフ化することで研究します。より複雑な方程式は、精巧な幾何学的空間を形成することがあります。数学者は、元の方程式をより深く理解するために、これらの空間の性質を探求します。数学者は複素数をよく使用するため、これらの空間は一般に「複素」多様体（または図形）と呼ばれます。

もう一方のタイプの幾何学的空間は、軌道を回る惑星などの物理系を考えることで初めて構築されました。この種の幾何学的空間における各点の座標値は、例えば惑星の位置や運動量を指定することができます。惑星のあらゆる可能な位置とあらゆる可能な運動量を組み合わせると、惑星の「位相空間」が得られます。これは、惑星の運動を完全に記述する点群を含む幾何学的空間です。この空間は、惑星の運動を支配する物理法則を符号化した「シンプレクティック」構造を持っています。

シンプレクティック幾何学と複雑幾何学は、蜜蝋と鋼鉄のように互いに大きく異なります。それらは全く異なる空間を作り出します。複雑な形状は非常に強固な構造を持っています。円をもう一度考えてみてください。少しでも揺らすと、もはや円ではなくなります。多項式では記述できない全く異なる形状です。シンプレクティック幾何学ははるかに柔軟です。円と、少し揺らした円は、ほとんど同じ形になります。

「代数幾何学はより厳格な世界ですが、シンプレクティック幾何学はより柔軟な世界です」と、ケンブリッジ大学の研究員ニック・シェリダン氏は述べた。「それが両者がこれほどまでに異なる世界である理由の一つであり、深い意味で両者が最終的に同等であるとは、実に驚くべきことです。」

1980年代後半、弦理論家たちは、失われた6次元を記述する2つの方法を考案しました。1つはシンプレクティック幾何学から導き出されたもので、もう1つは複素幾何学から導き出されたものです。彼らは、どちらのタイプの空間も、彼らが説明しようとしていた4次元世界と整合することを実証しました。このような組み合わせは双対性と呼ばれます。つまり、どちらでも成立し、両者を区別できるテストは存在しません。

その後、物理学者たちは双対性がどこまで及ぶのかを探り始めました。そしてその過程で、2種類の空間の間に関連性を発見し、数学者たちの注目を集めました。

1991年、フィリップ・カンデラス、ゼニア・デ・ラ・オッサ、ポール・グリーン、リンダ・パークスの4人の物理学者チームが複素空間側の計算を行い、シンプレクティック空間側の対応する数値を予測するために用いる数値を生成しました。この予測は、6次元シンプレクティック空間に描くことができる曲線の種類の数に関するものでした。数学者たちは長年、これらの曲線の数を数えることに苦労してきました。物理学者たちが予測を行うために用いている複素空間上の計算と、これらの曲線の数に何らかの関係があるとは、数学者たちは考えもしませんでした。

この結果はあまりにも突飛なもので、当初数学者たちはそれをどう解釈すべきか途方に暮れていました。しかし、1991年5月にカリフォルニア州バークレーで物理学者と数学者が急遽招集された会議から数ヶ月後、この関連性は反駁の余地のないものとなりました。「最終的に数学者たちは物理学者の予測を検証する作業に取り組み、この二つの世界の間の対応関係が、何世紀にもわたってこの鏡の両面を研究してきた数学者たちが気づいていなかった現実のものであることに気づきました」とシェリダンは述べています。

この鏡映双対性の発見は、この二種類の幾何学的空間を研究する数学者たちが、短期間で利用できるツールの数が倍増したことを意味した。代数幾何学の手法を用いてシンプレクティック幾何学の問題に答えることができ、その逆もまた可能となった。彼らはこの関連性を活用する研究に没頭した。

別れは辛い

同時に、数学者と物理学者は、ミラーリング現象の共通の原因、あるいは根底にある幾何学的説明を特定しようと試みました。現在では、共通の遺伝暗号の要素によって非常に異なる生物間の類似点を説明できるのと同様に、数学者たちはシンプレクティック多様体と複素多様体を「トーラスファイバー」と呼ばれる共通の基本要素の集合に分解することで、ミラー対称性を説明しようとしました。

トーラスとは、中央に穴が開いた図形です。通常の円は1次元トーラスであり、ドーナツの表面は2次元トーラスです。トーラスは任意の次元数を持つことができます。低次元のトーラスを適切に組み合わせることで、高次元の図形を構築できます。

簡単な例として、地球の表面を想像してみてください。地球は2次元の球体です。あるいは、たくさんの1次元の円（緯線のように）を貼り合わせてできていると考えることもできます。貼り合わせたこれらの円は、球体の「トーラス繊維化」、つまり個々の繊維が織り合わさって大きな全体を構成しているのです。

トーラスファイブレーションはいくつかの点で有用です。一つは、数学者に複雑な空間をよりシンプルな方法で考えさせる点です。2次元球面のトーラスファイブレーションを構築できるのと同様に、鏡面対称性を特徴とする6次元シンプレクティック空間や複素空間のトーラスファイブレーションを構築できます。これらの空間のファイバーは円ではなく、3次元トーラスです。6次元シンプレクティック多様体を視覚化することは不可能ですが、3次元トーラスはほぼ触知可能です。「これだけでも大きな助けになります」とシェリダン氏は言います。

トーラスファイブレーションは別の意味でも有用です。それは、一方の鏡像空間を、もう一方の鏡像空間を構築するために使用できる構成要素の集合へと縮減するのです。言い換えれば、アヒルを見ても必ずしも犬を理解することはできませんが、それぞれの動物を生の遺伝子コードに分解すれば、両方の生物に目があることがそれほど驚くべきことではないと思わせるような類似点を探すことができるのです。

シンプレクティック空間をその複素鏡像に変換する方法を、簡略化して示します。まず、シンプレクティック空間に対してトーラスファイブレーションを実行します。すると、たくさんのトーラスが得られます。それぞれのトーラスには半径があります（円（1次元トーラス）が半径を持つのと同じです）。次に、それぞれのトーラスの半径の逆数を取ります。（つまり、シンプレクティック空間における半径4のトーラスは、複素鏡像では半径¼のトーラスになります。）そして、これらの逆数の半径を持つ新しいトーラスを用いて、新しい空間を構築します。

1996年、アンドリュー・ストロミンガー、シン・トン・ヤウ、エリック・ザスローは、任意のシンプレクティック空間をその複素鏡像に変換する一般的なアプローチとしてこの手法を提案しました。トーラスファイブレーションを用いて鏡像の一方から他方へ移動することが常に可能であるという提案は、提唱者にちなんでSYZ予想と呼ばれています。このSYZ予想の証明は、（1994年にマキシム・コンツェビッチが提唱したホモロジー鏡像対称性予想とともに）ミラー対称性における基礎的な問題の一つとなっています。

SYZ予想は証明が難しい。なぜなら、実際にはトーラスファイブレーションを作成し、その半径の逆数を取るという手順が容易ではないからだ。その理由を理解するには、地球の表面の例に戻ってみよう。一見すると、円で縞模様を描くのは簡単そうに思えるが、極では円の半径はゼロになる。そして、ゼロの逆数は無限大だ。「半径がゼロだと、少し問題があります」とシェリダンは言った。

同じ困難は、6次元シンプレクティック空間のトーラスファイブレーションを作ろうとする際に、より顕著に現れます。そこでは、ファイバーの一部が一点（半径がゼロの点）に絞られたトーラスファイバーが無限に存在する可能性があります。数学者たちは、このようなファイバーの扱い方を模索し続けています。「このトーラスファイブレーションこそが、ミラー対称性における最大の難しさなのです」と、ペンシルベニア大学の数学者トニー・パンテフ氏は述べています。

言い換えると、SYZ 予想はトーラスファイバがシンプレクティック空間と複素空間の間の重要なリンクであると述べていますが、多くの場合、数学者は予想が規定する変換手順を実行する方法を知りません。

長い間隠されていたつながり

過去27年間、数学者たちは数億もの鏡像関係の例を発見してきました。このシンプレクティック多様体は、あの複素多様体と鏡像関係にあります。しかし、ある現象がなぜ起こるのかを理解する上で、量は重要ではありません。箱舟一杯分の哺乳類を集めても、毛の起源の理解には一歩も近づけないのです。

「4億例といった膨大な数の例があります。例が不足しているわけではありませんが、それでもなお、全体像がなぜ機能するのかについて、具体的な事例だけでは十分なヒントが得られません」とグロス氏は述べた。

数学者たちは、一般的な構築法、つまり、どんなシンプレクティック多様体でも渡せば、その鏡像を返すことができるような方法を見つけたいと願っている。そして今、彼らはその実現に近づいていると確信している。「私たちは、この現象を個々のケースごとに理解する段階を過ぎようとしています」とオールー氏は述べた。「私たちは、この方法が可能な限り一般性を持って機能することを証明しようとしているのです。」

数学者たちは、相互に関連する複数の分野で進歩を遂げています。数十年にわたるミラー対称性の分野の構築を経て、彼らはこの分野がそもそも機能する主な理由をほぼ理解しつつあります。

「妥当な時間内に実現すると思います」と、フランスの高等科学研究所（IHES）の数学者で、この分野のリーダーであるコンツェビッチ氏は述べた。「本当にすぐに証明されると思います。」

活発な研究分野の一つに、SYZ予想を回避する方法があります。これは、完全なトーラスファイブレーションを必要とせずに、シンプレクティック側から複素数側へ幾何学的情報を移植しようとするものです。2016年、グロス氏と長年の共同研究者であるハンブルク大学のベルント・ジーベルト氏は、そのための汎用的な手法を発表しました。彼らは現在、この手法がすべてのミラー空間で有効であることを証明する証明を完成させています。「証明は完全に書き下ろされましたが、まだ混乱しています」とグロス氏は述べ、ジーベルト氏と共に年末までに証明を完成させたいと考えています。

もう一つの主要な研究分野は、トーラスファイブレーション（鏡面空間を与える）を仮定すると、鏡面対称性に関する最も重要な関係はすべてそこから導かれるということを証明しようとしています。この研究プログラムは「ファミリー・フロール理論」と呼ばれ、コロンビア大学の数学者モハメド・アブザイドによって開発されています。2017年3月、アブザイドは、この論理の連鎖が特定の種類の鏡面対には成立することを証明した論文を発表しましたが、まだすべての鏡面対には成立していません。

そして最後に、この分野の起源に立ち返る研究があります。シェリダン、シール・ガナトラ、ティモシー・ペルツの3人の数学者は、1990年代にコンツェビッチがホモロジーミラー対称性予想に関連して提唱した画期的なアイデアを基に研究を進めています。

これら3つの取り組みを総合的に考えると、ミラー現象を完全に解明できる可能性があります。「私たちは、あらゆる大きな『なぜ』という疑問がほぼ理解される段階に近づいていると思います」とオールー氏は述べました。

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。