現実はあらゆる可能な現実の総和であるかもしれない

物理学における最も強力な公式は、細い「S」で始まります。これは積分と呼ばれる一種の和を表す記号です。さらにその先には、作用と呼ばれる量を表すもう一つの「S」が続きます。この二つの「S」が組み合わさって、おそらくこれまでに考案された中で最も効果的な未来予測の方程式の本質を形成しています。

この予言的な公式はファインマン経路積分として知られています。物理学者の知る限り、この公式はあらゆる量子系――電子、光線、そしてブラックホールでさえ――の挙動を正確に予測します。経路積分は多くの成功を収めており、多くの物理学者はこれを現実の核心を直接覗き見る窓だと信じています。

「それが世界の本当の姿だ」とオランダのラドバウド大学の理論物理学者レナーテ・ロル氏は言う。

しかし、この方程式は数千もの物理学論文の紙面を飾っているものの、厳密な処方箋というよりはむしろ哲学に近い。私たちの現実は、考え得るあらゆる可能性の融合、つまり和であるということを示唆している。しかし、研究者にその和をどのように計算すべきかを正確に示しているわけではない。そのため、物理学者たちは数十年をかけて、様々な量子系における積分を構築・計算するための近似手法を蓄積してきた。

これらの近似は十分に機能するため、ロルのような勇敢な物理学者たちは今、究極の経路積分を追求しています。それは、考えられるあらゆる空間と時間の形状を融合させ、最終的に私たちの宇宙のような形状の宇宙を生み出す経路積分です。しかし、現実がまさにあらゆる可能な現実の総和であることを示すこの探求において、彼らはどの可能性を総和に含めるべきかという深い混乱に直面しています。

すべての道は一つに通じる

量子力学が本格的に発展したのは1926年、エルヴィン・シュレーディンガーが粒子の波動状態が刻々と変化する様子を記述する方程式を考案した時でした。その後10年間、ポール・ディラックは量子の世界に関する新たなビジョンを提唱しました。彼のビジョンは、物体はA地点からB地点へ移動する際に「最小作用」の経路、つまり大まかに言えば時間とエネルギーが最も少ない経路を取るという古くからある概念に基づいています。リチャード・ファインマンは後にディラックの研究に偶然出会い、この概念を具体化し、1948年に経路積分を発表しました。

この哲学の核心は、典型的な量子力学の実証である二重スリット実験で完全に示されています。

物理学者は、2つのスリットが入った障壁に粒子を発射し、障壁の後ろの壁のどこに粒子が着地するかを観察します。もし粒子が弾丸であれば、スリットの後ろで塊を形成するでしょう。ところが実際には、粒子は後ろの壁に沿って、繰り返し縞模様を描いて着地します。この実験は、スリットを通過するのは実際には粒子のあり得る位置を表す波であることを示唆しています。2つの波面が干渉し合い、粒子が最終的に検出される可能性のある一連のピークを作り出します。

干渉パターンは、障壁を通過する粒子の可能性のある経路の両方が物理的に現実であることを意味するため、極めて奇妙な結果です。

経路積分は、周囲に障壁やスリットがない場合でも、粒子がこのように振舞うと仮定しています。まず、障壁に3つ目のスリットを切ったところを想像してみてください。奥の壁の干渉縞は、新たな経路の可能性を反映して変化します。そして、スリットを切り続け、障壁がスリットだけになるまで続けます。最後に、空間の残りの部分を全てスリット状の「障壁」で埋めます。この空間に発射された粒子は、ある意味では、全てのスリットを通って奥の壁に至るあらゆる経路を辿ります。ループ状の迂回路を含む奇妙な経路も含みます。そしてどういうわけか、これらの選択肢を正しく合計すると、障壁がない場合に予想される結果、つまり奥の壁に一つの明るい点が現れます。

これは多くの物理学者が真剣に受け止めている量子挙動に関する急進的な見解だ。「私はそれを完全に現実だと考えています」と、モントリオール大学の物理学者リチャード・マッケンジーは述べた。

しかし、無限に続く曲線の経路がどのようにして一本の直線になるのでしょうか？ファインマンの手法は、大まかに言えば、それぞれの経路を取り、その作用（経路を通過するのに必要な時間とエネルギー）を計算し、そこから振幅と呼ばれる数値を得るというものです。振幅は、粒子がその経路を通過する確率を示します。そして、すべての振幅を合計することで、粒子がここからそこへ移動する際の振幅の総和、つまりすべての経路の積分が得られます。

単純に考えれば、個々の経路の振幅は同じ大きさなので、曲がる経路もまっすぐな経路も同じようにあり得るように見えます。しかし重要なのは、振幅が複素数であるということです。実数は線上の点を表しますが、複素数は矢印のような働きをします。矢印は経路によって異なる方向を指し示します。そして、互いに反対方向を向く2つの矢印の合計は0になります。

結論として、空間を移動する粒子の場合、ほぼ直線的な経路の振幅はすべて本質的に同じ方向を向き、互いに増幅し合う。しかし、曲がりくねった経路の振幅はあらゆる方向を向いているため、これらの経路は互いに反発し合う。残るのは直線経路のみであり、これは無限の量子的選択肢から、最小作用の古典経路がどのようにして唯一出現するかを示している。

ファインマンは、彼の経路積分がシュレーディンガー方程式と等価であることを示しました。ファインマンの方法の利点は、量子の世界を扱うためのより直感的な処方箋、すなわち「すべての可能性を合計する」という点です。

すべての波紋の合計

物理学者たちはすぐに、粒子を量子場における励起、つまりあらゆる点で空間を満たす実体として理解するようになりました。粒子が異なる経路に沿って場所から場所へと移動するのと同じように、場も様々な形で波紋を起こす可能性があります。

幸いなことに、経路積分は量子場にも適用できます。「何をすべきかは明らかです」とコネチカット大学の素粒子物理学者ジェラルド・ダン氏は言います。「すべての経路を合計するのではなく、場のすべての構成を合計するのです。」場の初期と最終の配置を特定し、それらを結びつけるあらゆる可能性のある履歴を考慮します。

ファインマン自身も1949年に経路積分を用いて電磁場の量子理論を発展させました。その後、他の力や粒子を表す場の作用と振幅を計算する方法が研究されました。現代の物理学者がヨーロッパの大型ハドロン衝突型加速器（LHC）での衝突の結果を予測する際、経路積分は多くの計算の基礎となっています。ヨーロッパのギフトショップでは、経路積分の鍵となる要素、つまり既知の量子場の作用を計算するための方程式が描かれたコーヒーマグカップまで販売されています。

「これは量子物理学にとって絶対的に基本的なことだ」とダン氏は語った。

物理学における勝利にもかかわらず、経路積分は数学者を不安にさせる。空間を移動する単純な粒子でさえ、無限の経路が存在する。場はさらにひどく、値は無限の場所で無限に変化する可能性がある。物理学者はこの不安定な無限の塔に対処するための巧妙な手法を持っているが、数学者は経路積分はそのような無限の環境で動作するように設計されたわけではないと主張する。

「まるで黒魔術のようです」と、中国揚州大学の理論物理学者で数学のバックグラウンドを持つイェン・チン・オン氏は言う。「数学者は、何が起こっているのか明確でないものを研究することに抵抗を感じるのです。」

しかし、その成果は議論の余地がない。物理学者たちは、原子核内の粒子を結びつける極めて複雑な相互作用である「強い力」の経路積分を推定することさえできた。彼らはそのために主に二つの手法を用いた。まず、時間を虚数とした。これは振幅を実数に変換する奇妙なトリックである。次に、無限の時空連続体を有限の格子として近似した。この「格子」量子場理論のアプローチを実践する人々は、経路積分を用いて陽子などの強い力を感じる粒子の特性を計算し、不安定な数学を克服することで、実験と一致する確固たる答えを得ることができる。

「私のような素粒子物理学者にとって、これはそれが機能しているという証拠です」とダン氏は語った。

時空 = 何の合計か?

しかし、基礎物理学における最大の謎は、実験の及ばないところにあります。物理学者たちは、重力の量子的な起源を解明しようとしています。1915年、アルバート・アインシュタインは重力を時空の構造における曲線の結果として再定義しました。彼の理論は、物差しの長さや時計の針の進み具合が場所によって変化すること、つまり時空が柔軟な場であることを明らかにしました。他の場にも量子的な性質があるため、多くの物理学者は時空にも量子的な性質があると考え、経路積分によってその振る舞いを捉えられると考えています。

ファインマンの哲学は明確だ。物理学者はあらゆる可能な時空の形状を総和すべきだ。しかし、時空の形状について考えるとき、一体何が可能なのだろうか？

例えば、時空が分裂し、ある場所と別の場所が分断される可能性も考えられる。あるいは、場所同士を繋ぐチューブ、つまりワームホールによって穴が開く可能性もある。アインシュタインの方程式はそのような特異な形状を許容するが、それにつながるような変化は禁じている。分裂や合流は因果律に反し、タイムトラベルのパラドックスを引き起こす。しかし、時空と重力が量子レベルでより大胆な動きをするかどうかは誰にも分からない。そのため、物理学者たちは、スイスチーズのような時空を「重力経路積分」に組み込むべきかどうか迷っている。

ある陣営は、すべてがブラックホールに入っていくと疑っている。例えば、スティーブン・ホーキングは、空間の形状における裂け目、ワームホール、ドーナツなど、様々な「位相的」変化を考慮に入れた経路積分を提唱した。彼は計算を容易にするために、時間に虚数ハックを用いた。時間を虚数にすることで、事実上、時間を別の空間次元に変換する。このような時間を超えた領域では、ワームホールに侵されたり、引き裂かれたりした宇宙が破壊されるという因果関係の概念は存在しない。ホーキングはこの時間を超えた「ユークリッド的」経路積分を用いて、時間はビッグバンから始まったと主張し、ブラックホール内部の時空の構成要素を数えた。最近、研究者たちはユークリッド的アプローチを用いて、死にゆくブラックホールから情報が漏れ出ていると主張している。

これは「より豊かな視点であるように思われます」と、ダラム大学の量子重力理論家サイモン・ロス氏は述べた。「あらゆる位相を含むように定義された重力経路積分には、私たちがまだ完全に理解していないいくつかの素晴らしい性質があります。」

しかし、より豊かな視点には代償が伴う。物理学者の中には、時間といった現実の重みとなる要素を取り除くことを嫌う者もいる。ユークリッド経路積分は「全く物理的に不可能だ」とロール氏は言う。

彼女の陣営は、時間を経路積分の中にとどめ、原因が結果に厳密に先行する、私たちがよく知っていて愛用している時空に位置づけようと努めている。このはるかに困難な経路積分を近似する方法を何年もかけて開発してきたロルは、このアプローチが機能する可能性のヒントを見つけた。例えばある論文では、彼女と共同研究者は標準的な時空形状をいくつか足し合わせ（それぞれを小さな三角形のキルトとして近似）、私たちの宇宙のようなものを導き出した。これは、粒子が直線的に運動することを示す時空における同等のものである。

他にも、時空と重力の時間を超えた経路積分を、あらゆる位相変化を含めて発展させている研究者がいる。2019年には、2次元宇宙における経路積分を、近似値ではなく厳密に定義した研究者たちがいるが、その際に用いた数学的ツールは、その物理的な意味をさらに曖昧にしている。こうした研究は、物理学者と数学者の間で、経路積分が活用されるのを待っている力を持っているという印象を強めるばかりだ。「経路積分を明確に定義するにはまだ時間がかかるかもしれません」とオング氏は述べた。「しかし、根本的には時間の問題だと思います」。

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。