空間と時間は量子エラー訂正コードになる可能性がある

1994年、 AT&Tリサーチの数学者ピーター・ショアは、「量子コンピュータ」という仮想の装置が巨大な数を素因数分解し、現代の暗号技術の多くを破ることができることを発見し、一躍有名になった。しかし、量子コンピュータの実際の構築には根本的な問題が立ちはだかっていた。それは、その物理的コンポーネントの本質的な脆弱性である。

クアンタマガジン

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。

通常のコンピューターの2進情報ビットとは異なり、「量子ビット」は量子粒子で構成され、|0⟩ と |1⟩ と呼ばれる2つの状態のいずれかに同時に存在する確率を持ちます。量子ビットが相互作用すると、それぞれの状態は相互依存的になり、それぞれの |0⟩ と |1⟩ の確率は、もう一方の量子ビットの確率に依存します。量子ビットは操作ごとに「エンタングルメント」を深めるにつれて、偶発的な可能性は増大します。この指数関数的に増加する同時可能性を維持し、操作することこそが、量子コンピューターを理論的に非常に強力なものにしているのです。

しかし、量子ビットは途方もなくエラーを起こしやすい。微弱な磁場やマイクロ波の迷走パルスでさえ、他の量子ビットと比較して|0⟩と|1⟩になる確率が逆転する「ビット反転」や、二つの状態間の数学的関係を反転させる「位相反転」を引き起こす。量子コンピュータが機能するためには、科学者は個々の量子ビットが破損した場合でも情報を保護する方法を見つけなければならない。さらに、これらの方法は、量子ビットを直接測定することなくエラーを検出・訂正する必要がある。なぜなら、測定は量子ビットの共存可能性を、量子計算を維持できない単なる0か1という明確な現実へと崩壊させてしまうからだ。

1995年、ショアは因数分解アルゴリズムに続き、もう一つの衝撃的な発見を成し遂げました。「量子誤り訂正符号」の存在を証明したのです。コンピュータ科学者のドリット・アハロノフとマイケル・ベン＝オール（そして独立して研究を進めていた他の研究者たち）は、その1年後、これらの符号が理論上、誤り率をゼロに近づけることができることを証明しました。「これは90年代の核心的な発見であり、スケーラブルな量子コンピューティングがそもそも可能であると人々に確信させたのです」と、テキサス大学の量子コンピュータの第一人者であるスコット・アーロンソンは述べています。「量子コンピューティングは、単に途方もない工学上の問題に過ぎないのです。」

現在、世界中の研究室で小型量子コンピュータが実用化されつつあるものの、通常のコンピュータを凌駕する実用的なコンピュータの実現には、まだ数年、あるいは数十年かかる見込みです。現実の量子ビットの途方もないエラー率に対処するには、はるかに効率的な量子エラー訂正符号が必要です。アーロンソン氏は、ハードウェアの改良と並んで、より優れた符号を設計する取り組みは「この分野の主要な推進力の一つ」だと述べています。

しかし、過去四半世紀にわたるこれらのコードの粘り強い探求の中で、2014年に奇妙な出来事が起こりました。物理学者たちが量子誤り訂正と空間、時間、重力の性質の間に深いつながりがあることを示す証拠を発見したのです。アルバート・アインシュタインの一般相対性理論では、重力は質量の大きい物体の周りで曲がる空間と時間、つまり「時空」の構造と定義されています。（空中に投げられたボールは時空を直線的に進み、その直線自体も地球に向かって曲がって戻ってきます。）しかし、アインシュタインの理論がどれほど強力であっても、物理学者たちは、重力にはより深い量子的な起源があり、そこから何らかの形で時空構造の外観が生まれるはずだと考えています。

その年、2014年、3人の若い量子重力研究者が驚くべき発見に至った。彼らは物理学者が好む理論上の遊び場、ホログラムのように機能する「反ド・ジッター空間」と呼ばれるおもちゃの宇宙を研究していたのだ。宇宙内部の屈曲性のある時空構造は、その外縁に存在する量子粒子が絡み合った状態から生じる投影である。アハメド・アルムヘイリ、シー・ドン、ダニエル・ハーロウは計算を行い、このホログラフィックな時空の「出現」が量子誤り訂正符号のように機能することを示唆した。彼らは高エネルギー物理学ジャーナル誌で、少なくとも反ド・ジッター（AdS）宇宙においては、時空自体が符号であると推測した。この論文は量子重力研究コミュニティに活発な動きを引き起こし、時空のより多くの特性を捉える新たな量子誤り訂正符号が発見された。

カリフォルニア工科大学の理論物理学者ジョン・プレスキル氏は、量子エラー訂正は、時空が脆弱な量子物質から織り成されているにもかかわらず、どのようにして「本質的な堅牢性」を実現しているのかを説明するものだと述べている。「私たちは、幾何学が崩壊しないように細心の注意を払っているわけではありません」とプレスキル氏は述べた。「量子エラー訂正とのこの関連性こそが、なぜそうなるのかを説明する最も深い説明だと思います」

量子誤り訂正という言語は、研究者たちがブラックホールの謎を探ることを可能にし始めている。ブラックホールとは、時空が中心に向かって急激に内側に曲がり、光さえも脱出できない球状領域である。「すべてはブラックホールに帰結する」と、現在ニュージャージー州プリンストン高等研究所に所属するアルムヘイリ氏は述べた。こうしたパラドックスに満ちた場所は、重力が頂点に達し、アインシュタインの一般相対性理論が破綻する場所だ。「時空がどのようなコードを実装しているかを理解すれば、ブラックホール内部の理解に役立つ可能性があるという兆候がいくつかある」と彼は述べた。

さらに、研究者たちはホログラフィック時空がスケーラブルな量子コンピューティングへの道を示し、ショアらがかつて構想したビジョンを実現する可能性も期待している。「時空は私たちよりもはるかに賢いのです」とアルムヘイリ氏は言う。「こうした構造に実装されている量子誤り訂正符号は非常に効率的なものです。」

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では、量子誤り訂正符号はどのように機能するのでしょうか？不安定な量子ビット内の情報を保護する秘訣は、情報を個々の量子ビットではなく、多数の量子ビット間のエンタングルメントパターンに保存することです。

簡単な例として、3量子ビットのコードを考えてみましょう。このコードは、3つの「物理」量子ビットを用いて、1つの「論理」量子ビットの情報をビット反転から保護します。（このコードは位相反転を保護できないため、量子エラー訂正にはあまり役立ちませんが、それでも有益です。）論理量子ビットの|0⟩状態は、3つの物理量子ビットすべてが|0⟩状態にあることに対応し、|1⟩状態は、3つすべてが|1⟩状態にあることに対応します。システムはこれらの状態の「重ね合わせ」状態にあり、|000⟩ + |111⟩と表されます。しかし、量子ビットの1つがビット反転したとします。量子ビットを直接測定することなく、どのようにしてエラーを検出し、訂正するのでしょうか？

量子ビットは、量子回路内の2つのゲートに入力できます。1つのゲートは、1番目と2番目の物理量子ビットの「パリティ」（同じか異なるか）をチェックし、もう1つのゲートは1番目と3番目の物理量子ビットのパリティをチェックします。エラーがない場合（つまり、量子ビットの状態が|000⟩ + |111⟩の場合）、パリティ測定ゲートは、1番目と2番目、および1番目と3番目の量子ビットが常に同じであると判定します。しかし、1番目の量子ビットが誤ってビット反転し、状態|100⟩ + |011⟩が生成された場合、ゲートは両方のペアに差異を検出します。 2番目の量子ビットのビット反転（|010⟩ + |101⟩）では、パリティ測定ゲートは1番目と2番目の量子ビットが異なり、1番目と3番目の量子ビットが同じであることを検出します。3番目の量子ビットが反転した場合、ゲートは「同じ」「異なる」と示します。これらの固有の結果から、必要な修正操作（もしあれば）が明らかになります。修正操作とは、論理量子ビットを崩壊させることなく、1番目、2番目、または3番目の物理量子ビットを元に戻す操作です。「量子エラー訂正は、私にとって魔法のようなものです」とアルムヘイリ氏は述べています。

最高の誤り訂正符号は、通常、物理量子ビットの半分強から符号化された情報をすべて復元できます。たとえ残りの量子ビットが破損していたとしてもです。この事実は、2014年にアルムヘイリ、ドン、ハーロウが量子誤り訂正が量子もつれから反ド・ジッター時空が生じる仕組みと関連している可能性を示唆した根拠です。

AdS 空間は、私たちの「ド・ジッター」宇宙の時空幾何学とは異なることに注意することが重要です。私たちの宇宙は、宇宙を際限なく膨張させる正の真空エネルギーで満たされていますが、反ド・ジッター空間は負の真空エネルギーを持ち、MC エッシャーの円極限設計の 1 つの双曲幾何学をもたらします。エッシャーのモザイク状の生き物は、円の中心から外側に向かうにつれてどんどん小さくなり、最終的には周辺で消えます。同様に、AdS 空間の中心から放射状に広がる空間次元は徐々に縮小し、最終的に消えて、宇宙の外側の境界を確立します。著名な物理学者フアン・マルダセナが、AdS 空間内部の曲がった時空構造が、より低次元の重力のない境界に存在する粒子の量子理論と「ホログラフィックな双対」であることを発見した後、1997 年に AdS 空間は量子重力理論家の間で人気を博しました。

過去20年間に何百人もの物理学者が行ってきたように、この二重性の仕組みを研究する中で、アルムヘイリ氏と同僚は、最適な量子エラー訂正コードの場合と同様に、AdS空間の内部のどの点も境界の半分強から構成できることに気付いた。

ホログラフィック時空と量子誤り訂正は同一であると推測した論文の中で、彼らは単純なコードでさえ2次元ホログラムとして理解できることを説明した。ホログラムは、円周上の等距離点に3つの「キュートリット」（3つの状態のいずれかに存在する粒子）で構成される。この3つのキュートリットのもつれは、円の中心にある単一の時空点に対応する1つの論理キュートリットを符号化する。このコードは、3つのキュートリットのいずれかが消去されても、その点を保護する。

もちろん、一点だけでは宇宙全体はそれほど広くありません。2015年、ハーロウ、プレスキル、フェルナンド・パスタフスキ、そしてベニ・ヨシダは、AdS空間のより多くの特性を捉えた、HaPPYコードというニックネームを持つ別のホログラフィックコードを発見しました。このコードは、空間を五角形のブロックでタイル状に並べます。この研究分野のリーダーであるスタンフォード大学のパトリック・ヘイデン氏は、「小さなティンカートイ」と呼んでいます。それぞれのティンカートイは、単一の時空点を表しています。「これらのタイルは、エッシャーのタイル張りで魚の役割を果たしているようなものです」とヘイデン氏は言います。

HaPPYコードや、これまでに発見された他のホログラフィック誤り訂正方式では、「エンタングルメントウェッジ」と呼ばれる内部時空領域内のあらゆるものが、境界の隣接領域にある量子ビットから再構成されます。境界上の重なり合う領域には、重なり合うエンタングルメントウェッジが存在するとヘイデン氏は述べました。これは、量子コンピュータの論理量子ビットが物理量子ビットの様々なサブセットから再現可能であるのと同じです。「そこで誤り訂正特性が重要になります。」

「量子誤り訂正は、このコード言語における幾何学をより一般的な方法で考えさせてくれます」と、カリフォルニア工科大学の物理学者プレスキル氏は述べた。「私の意見では、この言語はより一般的な状況、特に私たちのようなド・ジッター宇宙にも適用できるはずです」と彼は述べた。しかし、空間的な境界を持たないド・ジッター空間は、これまでホログラムとして理解するのがはるかに困難であることが証明されてきた。

今のところ、アルムヘイリ、ハーロウ、ヘイデンといった研究者たちは、ド・ジッター世界と多くの重要な特性を共有しながらも、研究がより単純なAdS空間に固執している。どちらの時空構造もアインシュタインの理論に従うが、単に異なる方向に曲がっているだけだ。おそらく最も重要なのは、どちらの宇宙にもブラックホールが存在するということだ。「重力の最も基本的な特性は、ブラックホールが存在することです」と、現在マサチューセッツ工科大学の物理学助教授を務めるハーロウは言う。「それが重力を他のすべての力と異なるものにしているのです。量子重力が困難なのはそのためです。」

量子誤り訂正という用語が、ブラックホールを記述する新たな方法をもたらしました。ブラックホールの存在は「訂正可能性の崩壊」によって定義されるとヘイデン氏は述べています。「誤りが多すぎて、バルク（時空）内で何が起こっているのかを追跡できなくなると、ブラックホールが発生します。それはまるで無知を溜め込む場所のようなものです。」

ブラックホールの内部に関しては、無知が蔓延しているのが常だ。スティーブン・ホーキングが1974年にブラックホールは熱を放射し、最終的には蒸発するという発見は、ブラックホールが飲み込んだ情報の行方を問う、悪名高い「ブラックホール情報パラドックス」を引き起こした。物理学者は、ブラックホールに落ち込んだものがどのようにしてブラックホールから脱出するのかを理解するために、量子重力理論を必要としている。この問題は宇宙論や宇宙の誕生にも関連している可能性がある。ビッグバン特異点からの膨張は、重力がブラックホールに逆方向に崩壊するのとよく似ているからだ。

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AdS空間は情報問題を単純化する。AdS宇宙の境界は、ブラックホールも含め、その中のあらゆるものとホログラフィック双対であるため、ブラックホールに落ち込む情報は決して失われないことが保証されている。それは常に宇宙の境界にホログラフィックにエンコードされている。計算によると、境界上の量子ビットからブラックホール内部に関する情報を再構築するには、境界の約4分の3にわたる量子ビットのもつれにアクセスする必要がある。「半分強ではもはや十分ではない」とアルムヘイリ氏は述べた。彼はさらに、4分の3が必要であることは量子重力について重要なことを示唆しているようだが、なぜその割合が出てくるのかは「依然として未解決の問題」だと付け加えた。

アルムヘイリ氏が2012年に初めて名声を博したのは、背が高く痩せ型のアラブ首長国連邦の物理学者と3人の共同研究者が情報パラドックスを深化させた時だった。彼らの推論は、ブラックホールの事象の地平線にある「ファイアウォール」によって、情報がブラックホールに落ち込むことをそもそも防ぐ可能性があると示唆した。

多くの物理学者と同様に、アルムヘイリ氏もブラックホールファイアウォールの存在を真剣には信じていないが、それを回避する方法を見つけることは困難であることが証明されている。現在、彼は量子エラー訂正がファイアウォールの形成を阻止し、ブラックホールの地平線を越える情報も保護すると考えている。10月に発表された最新の単独論文では、量子エラー訂正は「ワームホールと呼ばれる二つの口を持つブラックホールの地平線における時空の滑らかさを維持するために不可欠」であると報告している。彼は、量子エラー訂正はファイアウォールの阻止だけでなく、ブラックホールに落ち込んだ量子ビットが、それ自体がミニチュアワームホールのような内部と外部の間のエンタングルメントの糸を通って脱出する手段でもあると推測している。これはホーキングのパラドックスを解決することになるだろう。

今年、国防総省はホログラフィック時空に関する研究に資金を提供している。少なくともその目的は、この研究の進歩によって量子コンピューター用のより効率的なエラー訂正コードが生まれる可能性に備えている。

物理学の面では、私たちのようなド・ジッター宇宙が、量子ビットとコードを用いてホログラフィックに記述できるかどうかはまだ分かっていません。「この関連性は、明らかに私たちの世界ではない世界について知られています」とアーロンソンは述べています。昨年夏の論文で、現在カリフォルニア大学サンタバーバラ校に所属するドンと、共著者のエヴァ・シルバースタイン、ゴンサロ・トローバは、ド・ジッターの方向へ一歩踏み出し、原始的なホログラフィック記述を試みました。研究者たちはこの提案をまだ検討中ですが、プレスキル氏は量子エラー訂正の言語が最終的には実際の時空にも応用できると考えています。

「空間を一つにまとめているのは、実は量子もつれなのです」と彼は言った。「小さな断片から時空を紡ぎ合わせたいなら、正しい方法で量子もつれを作らなければなりません。そして、正しい方法とは、量子誤り訂正符号を構築することです。」

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