あの忌々しい分母：新型コロナウイルス感染症の厄介な数学

2020年4月23日午前7時

かつて数学は、混乱しているときに私にとって心の安らぎの場所でした。でも今は違います。

人生は雑然としている。数字は整然としている。

少なくとも、私はそう考えてきた。数学は混乱した時に安心できる場所であり、雑音の中から信号を拾い上げ、混沌の中にパターンを見出す方法だった。少なくとも、数学は境界線や足場、そして支えを与えてくれた。数学のちょっとした助けがあれば、私たちは決して理解できない概念さえも理解し始めることができるのだ。

しかし今、皆さん、数字は私を見捨ててしまったようです。これはCOVID-19の陰険な副作用です。ウイルスが解き放った大量のデータは、明らかにするよりも多くのことを覆い隠してしまう可能性があります。土砂降りの雨は不透明です。だからこそ、その中を運転したり、危機を乗り越えようとしたりしない方が良いのです。

最も悪い犯罪者は、忌々しい分母です。分母は、多くの場合、知られておらず、語られておらず、誤用され、疑わしく、欺瞞的で、愚かで、悪魔的ですらあります。

私のような年代の人間にとって、分母は個人的なものです。もし今日73歳だとしたら、分母は何でしょうか？もし74歳なら、別れを告げ、身の回りの整理を始める時期です。死を前にする人は誰でも、人生の分母と向き合っているところですが、パンデミックはそれを客観的に捉えさせてくれます。

ペンシルベニア大学アネンバーグ公共政策センター所長のキャスリーン・ホール・ジェイミソン氏からメールを受け取るまで、分母についてはあまり考えていませんでした。現在、同センターに滞在研究員として在籍しています。「診断された人数は分母として適切ではありません」と、彼女は3月20日、検査が本格化していたまさにその時にスタッフに宛てたメールに書いていました。科学者もジャーナリストも、致死率を「症例数」に基づいて算出していましたが、その数は実際には誰も把握していませんでした。回復率も同様に不明確でした。「回復」とは、感染していたことを意味します。しかし、1月と2月にインフルエンザから「回復」した人のうち、実際にウイルスに感染していた人が何人いたのかは誰にもわかりません。彼らはほぼ確実に症例数としてカウントされていません。

多くの場合、分母は単に消えてしまう。「米国、死者数でイタリアを上回る」とニューヨーク・タイムズ紙（その他）は叫んでいるかのように報じ、路上に死体が転がる光景を思い起こさせた。しかし、米国は人口がはるかに多いため、死者数はもっと多くなるはずだった。人口一人当たりの死者数（分母は入れて！）を見れば、米国の致死率はそれほど悲観的ではないことがわかる。

高齢者や持病のある人の死亡率はずっと高い、と繰り返し言われても、私も同じように「当たり前」という反応しかしません。一体何より高いのか、と疑問に思うかもしれません（疑問に思うべきです）。「分母は？」と。ほとんどの高齢者は持病を抱えており、年齢自体が遅かれ早かれ死因となります。通常の、つまりコロナ禍のない年であれば、亡くなる人のほとんどが80歳以上です。主な死因は心臓病、がん、脳卒中、外傷、自殺です。これらの病気や症状（持病の有無に関わらず）はどのように相互作用し、重なり合っているのでしょうか？

若者の間では、自殺や「不慮の事故」（殺人を含む）が、がんや上気道疾患と並んで増加傾向にあります。どちらも大気汚染の影響を受けていますが、人々が家にいるおかげで大気汚染は減少していると言われています。同時に、家庭内暴力や離婚も増加しています（当然のことですが）。孤立は精神衛生に、そしてストレスにどのような影響を与えるのでしょうか？確かに、人々は漂白剤やトイレットペーパーを買うために列に並んでいますが、銃も購入しています。

これほど多くのことが分かっていないのに、これほど異なる種類のリスクを比較することに意味はあるのでしょうか？おそらく、それほど多くのことは分かっていないでしょう。それでも、科学者（や記者）が、これやあれをすればもっと多くの人が亡くなるだろうと言うなら、私たちは「何より」知っておくべきではないでしょうか？

何かを比較するのであれば、少なくとも何らかの基準となる割合（分母）が必要です。3億8200万人（アメリカの人口）の1.2%は、6000万人（イタリアの人口）の1.2%よりはるかに大きいのです。もし私が「私の住む通りの家の半分にプールがある」と言ったら、あなたは私が高級住宅街に住んでいると結論付けるかもしれません。あるいは、「私の住む通りには何軒の家があるか？」と尋ねるかもしれません。もしその数が2軒だとしたら、確かに見方は変わります。

分母によって状況は大きく変わります。Twitter創業者のジャック・ドーシーは最近、新型コロナウイルス対策に10億ドルを寄付したと発表しました。これは自身の資産の28%に相当します。マーク・ザッカーバーグとジェフ・ベゾスはそれぞれ数百万ドルを寄付しましたが、分母が非常に大きいため、一見寛大に見える寄付も資産の0.1%にも満たない額に過ぎません。金融業界の友人が言ったように、「底値は基本的だ」のです。

したがって、分母が意図的に欺くために使われることがよくあるのも不思議ではありません。大学ランキングを例に挙げてみましょう。入学選抜が厳しい大学ほど、魅力的に見えるのです。しかし、支配的な分母を膨らませるのは、大量の学生に出願を促すのと同じくらい簡単です。すると突然、入学する学生の数は、門を叩く大勢の学生に比べてごくわずかに見えるようになります。これは単純な需要と供給の問題です。ただし、この場合の需要は、一部の人々が「汚れた（確かに疑わしい）分母」と呼ぶものかもしれません。

逆に言えば、分母を（できればゼロに）削減するだけで、簡単に減税を受けられます。金利引き下げなど必要ありません。利益、課税所得、キャピタルゲインを魔法のように消し去るだけです。「オフショア」や「アイルランド」のように、文字通り消え去ることもあります。お金に詳しい人は、お金に関する「シェルター・イン・プレイス（自宅待機）」について熟知しています。

分母の挙動がおかしくなることがあまりにも頻繁に起こるため、私たちはそれを見過ごしてしまうことがよくあります。特に私が苛立たしいと感じるのは、新聞で科学記事を読むと答えた人の割合を計算する際に使われる分母です。この割合は常に小さくなっています。でも、ちょっと待ってください！分母とは何でしょうか？科学を定期的に取り上げる新聞の読者？そもそも？いや、そもそも？自分が触れていないものに興味を抱いたり、存在しない記事を読んだりするのは難しいものです。

自然そのものによって、いくつかの決定的な基準が私たちに与えられています。地球の表面積、そして地球上に存在する資源の大部分は、いわば不変のものとして定められていると言えるでしょう。私たちがこの事実を無視して、物（と空間）の供給が無限であるかのように、空間（と物）を使い果たしてしまうと、大きな危険にさらされることになります。

一方、観測可能な宇宙の大きさと内容は変化します。主要な分母も例外ではありません。「普通の」物質、つまり人、原子、星が、宇宙全体の物質（分母）の20%未満を占めていることを知るだけでも、謙虚な気持ちになります。残りの物質は「暗い」、より正確には透明です。（もし暗いとしたら、影を落とすかもしれません。）それが何なのか、私たちはまだ何も分かっていません。ただ、重力がそれを引っ張っているということだけが分かっています。

1990年代、その分母は（文字通りではないが）爆発した。天文学者たちは、未知の物質が遠方の銀河をどんどん押し（実際には引き）離しているという紛れもない証拠を発見した。宇宙にはダークエネルギーとして知られるその物質が大量に存在し、他のすべてを消滅させてしまった。現在、私たち人間を構成する通常の物質は、宇宙の物質／エネルギーのわずか5%を占めている。

新しい宇宙の分母は単に空間を拡大するだけではなく、その拡大はますます速くなり、つまり加速します。

これは、物がどれだけ速く落ちるかを表す分母と同じような、二重の忌々しい分母です。これは時間とともに変化します。鍵を落とすと、毎秒32フィート/秒の速度で地面に落ちます。つまり、毎秒32フィート/秒ずつ速度が増すということです。落下距離が長くなるほど、落下速度も速くなります。そして、この「毎秒」、つまりオタクなら二階微分と呼ぶかもしれませんが、この数字は見落としがちです。

ジェイミソン氏は最近、パンデミックの州別、都市別拡大を比較した新型コロナウイルス感染症のグラフを見て、特に厄介な二重の「分母」を指摘した。彼女は予測死亡率を見て、自問した。「こうした分析について何も知らない人が、これが人口一人当たりではなく、1日10万人当たりの数字だと気づく可能性はどれくらいあるだろうか？フィラデルフィアの死亡率が0.2%だと見て、『わあ、これはかなり良い、フィラデルフィアはかなり安全だ』と言う可能性はどれくらいあるだろうか？」つまり、2つ目の「あたり」を見逃して誤った結論に至る可能性はどれくらいあるだろうか？

答えは「非常に可能性が高い」です。ジェイミソン氏が最近ウィスコンシン公共ラジオのインタビューで述べたように、「私たちは今や、データを生成する能力が、それを伝達する能力を上回っています。」データが増えても必ずしも理解が深まるわけではありません。むしろ、簡単に得られる情報が豊富に生み出され、都合の良い情報だけを選別し、時には政治的利益のために利用されることもあります。

（これは、新型コロナウイルスと重力が、二重の呪われた分母を超えて共通しているもう1つのことです。どちらも、あなたが左に傾こうが右に傾こうが気にしません。同じようにあなたを下に引っ張るのです。）

膨張する宇宙と新型コロナウイルスによって、分母の意味を再定義する必要に迫られた。天文学者が宇宙に存在する物質の総量を再計算しなければならなかったとき、分母は単なる同じものではなく、これまでは存在が知られていなかったために含まれていなかった何か違うものが含まれるようになったのだ。

そして、そこが難しいところです。私たち一般人のためにCOVID-19の仕組みを何とか理解させようとしているモデル作成者たちは、いわば私たちがびしょ濡れにならないように傘を差し、未知のものをいじくり回すのが得意です。真の悪魔は、未知の未知です。そして、それらの悪魔の多くは分母です。

新型コロナウイルス感染症（COVID-19）の検査、つまり「確定症例」の算出方法を考えてみましょう。これは死亡率の算出基準としてよく使われます。その数値は検査を受けた人によって異なり、検査を受けた人は場所によって異なります。もし感染者だけが検査対象となれば、この病気は実際よりもはるかに危険度が高く見えるでしょう。確定症例だけがカウントされ、検査を受けた人が非常に少ないと、ある場所は一見安全そうに見えてしまうかもしれません。報告方法は非常に多様であるため、数字に最も精通している人でさえ簡単に見失ってしまう可能性があります。

分子は簡単ですが、決して簡単なものではありません。何人が亡くなりましたか？自宅で亡くなった人も含めますか？ウイルス感染で入院した人のうち、実際には他の原因（例えば心臓発作）で亡くなった人は何人ですか？その区別はそもそも重要なのでしょうか？

我々は知らないことを知らない。

モデル作成者は、モデルが間違っていると多くの批判を受けますが、正しいか間違っているかは本質を見失っています。モデルは不確実性を排除するためのものではありません。その役割は、不確実性を明らかにし、定量化し、まとめ、まとめることです。モデルは、起こりうる結果を確率と関連付けて提示します。これは現実世界で得られる最良の方法です。古き良き物理学でさえも、ましてや医学や疫学のような曖昧な分野ではなおさらです。

その意味では、疫学モデルは他の種類のモデル、つまり、73 歳になるまでにおそらくたくさん経験することになるロールモデルとそれほど違いはありません。ロールモデルもまた、可能性について教えてくれます。

20代の頃、ニューヨークのアメリカ自然史博物館でマーガレット・ミードの演奏会を聴きにガールフレンドと行きました。二人は勇敢だったので、彼女を飲みに誘いました。ウイスキーを飲みながら、私はその場で、老後は彼女のようになりたいと決めました。ケープ、杖、そしてあらゆる面で。私は彼女の足跡をそのまま踏襲したわけではありませんが、彼女はある種の勇気と賢さ、そして冒険心を示し、女性であることの意味について全く新しい可能性を私に与えてくれました。

もう一人のロールモデルは、マンハッタン計画に携わった物理学者だった。彼は、人間の知覚器官が真に大きな数字を扱うのにいかに不向きであるかを痛感させてくれた。彼はフランク・オッペンハイマーで、原爆の「父」ロバート・オッペンハイマーの弟だった（つまり、フランクは原爆の「叔父」だったのだ、と彼は考えていた）。

最初の原子爆発を直に体験した他の人々と同様に、彼もその衝撃に打ちのめされ、残りの人生の大半を「核兵器」の意味を人々に伝えることに費やした。彼は、1000倍の違いがもたらす影響を人々に理解してもらうために、身近な例を何度も探し出した。それは100万と10億の違いであり、また、他の爆弾と比べて指数関数的に強力な原子爆弾の破壊力の違いでもある。もし4人でディナーパーティーを開いていて、そこに1000倍の人数が集まったら、同じ家に、同じ料理、同じ食べ物で、 4000人に対応しなければならない、と彼は言った。

あるいは、彼の友人である物理学者アルバート・バートレットはこう言った。「人類の最大の欠点は、指数関数を理解できないことだ。」

当時コロラド大学にいたバートレット氏は、指数関数的な成長を理解できないために、いかにして私たちはしばしば不意打ちを食らうのか、つまりなぜ「予測できない」のかを、鮮やかに描き出した、史上最も説得力のある物語の一つを考案した。彼は、空のコカ・コーラの瓶の中で数匹のバクテリアを育てていると想像してほしいと促す。バクテリアは午前11時に増殖を始め、正午まで毎分倍増し、正午には瓶が満杯になる。先見の明のあるバクテリア政治家でさえ、自分たちの空間が狭まりつつあることに気づくのは一体何時だろうか、とバートレット氏は問いかける。11時59分。正午の1倍増まで。それでも、バクテリアが文明の歴史全体で使ってきた空間よりも多くの空間が残っているのだ。

数学は確率の解釈にも役立ちますが、私たちは確率をあまり尊重していません。直感的には、確率とは「単なる」偶然だと考えています。しかし、十分に高い確率は原因と同じです。銃に弾丸が1発入っているロシアンルーレットをやると、死亡する確率は6分の1です。5発入っていると、ほぼ確実です。最前線の医療従事者にとって、新型コロナウイルス感染症による重症化、そして発症頻度の増加の原因は、多重曝露、感染機会の多さ、そして高い確率、つまり銃弾の多さです。

老化もまた、確率によって引き起こされます。私の顔が自然にリフトアップする可能性はあるかもしれませんが、それはまずあり得ません。物（人間も含む）が崩壊していくのは、腐敗への道筋があまりにも多く存在するからです。ですから、確率は必然的なものになります。この無秩序、つまりエントロピーへの避けられない急激な変化は、あまりにも予測可能なので、顔のしわ、塗装の剥がれ、卵の飛び散りを見るだけで、時間の方向を推測できるほどです。しかし、それは「単なる」確率に過ぎません。

確率と指数関数的成長の両方に密接に関連しているのは、「多ければ多いほど違う」という概念です。これは最近亡くなった物理学者フィル・アンダーソンが的確に表現したものです。量は質を変えます。同じものを増やすと、創発特性と呼ばれる全く新しい現象が生まれます。一つのニューロンが思考することはできず、一人の人間が群衆のように振る舞うことはできず、COVID-19は単なる季節性インフルエンザの拡大版ではありません。

73歳は70歳と比べると単なる歳を重ねただけではない。ましてや50歳や20歳とは比べものにならない。年齢を分母として見れば、老化のスピードが速まる理由が容易に理解できる。1歳の頃は1年が人生のすべてだったが、20歳の頃は1年が20分の1だった。73歳になると1年ははるかに薄くなり、73分の1になる。相対的に見ると、時間はずっと早く過ぎていくのだ。

たとえ切り口が小さくなっても、その数は増え、経験も増え、模範となる人も増えていきます。家に閉じこもっていると、ナチスから逃れるために4年間屋根裏に隠れていた友人のことを思い出します。ポリオの恐怖を思い出します。

私にとって、新型コロナウイルス感染症への恐怖は、おそらく、子供の頃、学校で机の下にうずくまっていた時の恐怖に最も似ている。フルシチョフの核兵器によって蒸発させられると確信していたのだ。彼は結局、私たちを埋めると誓ったのだ。日々の「身をかがめて隠れる」訓練によって、この「実存的」な脅威は、非常に身近で、非常に現実的なものになった。

かつて、爆弾の開発に携わっていた物理学者の友人に、恐ろしい結末を知っていたのに、なぜもっと人々を怖がらせようとしなかったのかと尋ねたことがある。「確かに怖がらせようとはしたよ」と彼は言った。「怖がらせるだけではダメだ。怒らせないといけないんだ」

さて、私は今、怒っています。あの忌々しい分母を抑え、大量の数字の意味を理解するために、十分な数のCOVID-19検査が行われていないことに、私は怒っています。

分母は文脈であり、文脈がなければ数字は何の意味も持ちません。911という数字は、緊急時に電話をかけるべき番号、災害が発生した日付、瓶の中の豆の数などを表すことができます。数字だけでは事実ではなく、ましてや真実とは言えません。バートランド・ラッセルの有名な言葉にもあるように、「数学とは、自分が何について話しているのか、あるいは自分が言っていることが真実なのか、決してわからない学問と定義できるだろう。」

数字という仲間たちへの愛は、いつまでも尽きることはないだろう。自然、不自然、想像、超現実的、超越的、非合理的、素数、複雑、完璧。そんな数字の、実に魅力的な家族全体だ。だが、そんな私でさえ、その権威への誘惑に抗うことはできない。人間の脳がなければ、数字は人間の問題について多くを語ってくれるとは期待できない。意味については、やはり私たち自身にかかっている。

写真：ミゲル・メディナ/AFP/ゲッティイメージズ

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