ミシシッピ州の洪水制御の物理学

こんなに長い間、何かの近くに住んでいて、実際にそれを目にしたことがないというのは驚きです。私の場合は、ボネ・カレ・スピルウェイです。これは、ニューオーリンズの上流にあるミシシッピ川の越流弁のようなものです。川の水位が危険なほど高くなると、このスピルウェイが開きます。これにより、川の水の一部が迂回され、下流に流れ込む代わりにポンチャートレイン湖に流れ込みます。このスピルウェイはそれほど頻繁には開きませんが、今年は2回も開きました。これは歴史上初めてのことです。

この放水路が開通するというのは、ちょっとした一大イベントです。ああ、もちろん、州間高速道路でこの上を走っている時に、木々の間を水が流れていくのを見たことはありましたが、それくらいでした。まあ、最近までは。下の息子と一緒にそこまで歩いてみることにしました。楽しかったです。これで、この放水路をToDoリストから消すことができました。

でも待ってください！これは、現実世界の物理学の宿題と推定問題を解く絶好の機会です。ご心配なく。私が手伝います。まずは放水路の基本データを示し、2つの推定値を提示します。その後は各自で考えてください。実は、放水路の様子がわかるこのビデオから始めましょう。完璧ではありませんが、これは私たちが視察に行った時のものです。このビデオで、放水路の様子もご覧いただけます。

[#動画: https://www.youtube.com/embed/s5_hQDiEziw

この短い動画では、飛び跳ねるコイの姿も見られます。この動画から流量の大まかな推定値を得ることができますが、それでも、他の重要なデータと合わせてお伝えします。

放水路の長さは 7,000 フィート (非帝国の場合は 2,134 メートル) です。
開くことができる「ベイ」は 350 個あり、各ベイの幅は 20 フィート (6.1 メートル) です。
最大流量は、1 秒あたり 250,000 立方フィートの水流量です (宿題としてこれを m ^{3 /s に変換できます)。}
洪水路（一時的に川となる土地）の長さは5.7マイル（約9.1キロメートル）です。ミシシッピ川側では幅7,700フィート（約2,200メートル）で、ポンチャートレイン湖に達すると幅12,400フィート（約3,800メートル）になります。
最後に、日ごとに開放されている放水路ベイの数を示した分かりやすい表をご紹介します。上のビデオ（私が訪れた時）では、138のベイが開放されていました。

放水路からどれくらいの電力を得られるのでしょうか?

この放水路が水力発電機のようなものだと仮定しましょう。どれくらいの電力が得られるでしょうか？まずは物理的な話から始めましょう。質量mの水を高さhまで落とすと、重力による位置エネルギーが変化します。このエネルギー変化は次のように表すことができます。

この式では、gは局所的な重力場を表し、その値は約 9.8 ニュートン/kg です。水を少し落とすと、重力による位置エネルギーの変化によって水の速度が上がり、運動エネルギーもそれと同じだけ変化します。しかし、何らかの発電機があれば、このエネルギーを携帯電話などの電気機器に供給することができます。では、電力はどうでしょうか？電力とは、何かがエネルギーを生成する速さの尺度です。つまり、電力はエネルギーだけでなく時間にも依存します。以下は電力を表す式です。

さて、この水が毎秒立方メートル単位の流量fで放水路から流れ出ているとしましょう（そう、放水路のページには毎秒立方フィート単位の流量が記載されています）。水の密度（ ρ）を用いると、毎秒落下する水の質量はρfと求められます。これに重力エネルギーの変化と力の定義を用いると、以下の式が得られます。

ちょっと待って！ eって何？そこに追加したんだけど、効率のことだよ。まさか、水が流れ落ちるエネルギーの全てが役に立つなんて思ってないよね？例えば、この水力発電機の効率はたったの25%（つまりe = 0.25）だとしよう。これは発電機を通過できない水の量と、電力変換プロセスで失われるエネルギーを考慮に入れている。これらの値をすべてPythonの計算機に入力して計算してみる（そうすれば値を変更して再実行できる）。結果はこちら（鉛筆アイコンをクリックするだけでコードを編集できる）。

私の推定では、出力は11.9メガワットです。ちなみに、ほとんどの原子力発電所はこの放水路発電機の少なくとも100倍の電力を生産しています。あ、それから、この放水路発電機はおそらく1ヶ月ほど稼働するでしょう。それでも、これは面白い推定値です。

この放水路にはどれくらいの雨が溜まっているのでしょうか?

念のため確認しておきますが、放水路が開いているのは雨と雪解け水（ただし、今回は主に雨）によるものです。ミシシッピ川流域（広大です）のどこかで雨が降り、その雨水の一部はルイジアナ州に流れ込みます。では、本当の質問です。オハイオ州で雨が降ったとしましょう。現在の放水路の流量（毎秒86,000立方フィート）を得るには、州全体で1日にどれくらいの雨が降る必要がありますか？

一見すると、これは流量の問題です。想像してみてください。オハイオ州に水が流れ込み、放水路を通って流れ出ます。入口と出口の違いは何でしょうか？その違いは断面積です。オハイオ州では、この面積は州全体の大きさに相当します。では、この問題をバックエンドから考えてみましょう。放水路の流量は既に分かっています。これを用いて、1日に通過する水の総量を計算できます。この水量をオハイオ州全体に分配し、降雨量を計算しましょう。

ステップ1は、立方フィート/秒の流量を立方フィート/日に変換します。はい、ヤードポンド法を使用していますが、これはアメリカの州を扱っているからです。ヤードポンド法を採用している他の2つの国、リベリアとミャンマーについても同様に処理します。つまり、これは単なる単位変換の問題です。単位変換のポイントは、分数（1/1）を掛けることです。では、実際に見てみましょう。

3600秒を1時間で割った分数に気づきましたか？3600秒は1時間に等しいので、この分数は1です。どんな数に1を掛けても同じ結果になります。これは重要です。数値は変わりますが、実際の値は変わりません。単位が違うだけで、数値は異なりますが、実際の量は同じです。これが単位変換の鍵です。

オハイオ州の降水量を計算するには、もう一つ単位変換が必要です。体積の単位を立方フィートからオハイオ州あたりのインチに変換するとどうなるでしょうか？はい、もう一度1を掛ければできます。全部書き出すのではなく、変換結果をリストアップするだけです。

1 オハイオ = 208 x 230 平方マイル (おおよそ)。
1マイル = 5,280フィート。平方マイルから平方フィートに変換するには、この変換を2回行う必要があることに注意してください。
12インチ = 1フィート。

こうすると、1日あたりの降水量は0.067オハイオインチになります。そう、オハイオインチは体積の単位です。期間を月数に換算すると（28日と仮定）、1ヶ月あたり1.87オハイオインチになります。まあ、妥当な数字ですね。ああ！でも、オハイオ州に降る雨の多くはルイジアナ州まで届かないことを覚えておいてください。一部は蒸発し、一部は地中に埋まり、一部は人間の利用に使われます。川に流れ込む雨の割合は分かりませんので、答えはそのままにしておきます。

宿題

さあ、あなたの番です。いくつか質問がありますので、考えてみてください。

放水路が完全に開通した場合（すべての湾が開通した場合）、ミシシッピ川の何パーセントが放水路を通って迂回されるでしょうか？はい、ミシシッピ川の流量を推定するか、調べる必要があります。
ポンチャートレイン湖が完全に空だったと仮定します。ボネ・カレ放水路だけを使って湖を満たすのにどれくらいの時間がかかりますか？
放水路の深さはどれくらいですか？ヒント：放水路の寸法と流量を考慮してください。ダブルヒント：川側の方が深くなるはずです。
放水路が30日間開放されている場合、ポンチャートレイン湖の塩分濃度（塩分濃度）の変化を推定してください。これは役に立つかもしれません。