超スローピッチングでメジャーリーグの選手を三振にできるか？

メジャーリーグのピッチャーになりたいなら、時速85マイル（約130～160キロ）くらいの速い球を投げられる必要があります。球速が速いほど、打者が反応してバットを振る時間が短くなるため、ストライクを取る可能性が高くなります。（野球ファンでない方のために説明すると、ストライクとは、打者がストライクゾーンにあるボールを空振り、またはスイングし損ねることです。もちろん、ストライク3回でアウトです。）この条件が、メジャーリーグで投手としてプレーするという私の夢をかなり遠ざけてしまいました。

しかし…もっと遅いスピードでストライクを投げることは可能でしょうか？

実際、TwitterのCodifyBaseballアカウントによると、多くの選手が非常に低い球速でストライクを投げており、中には時速31.1マイル（約50.8km）という低速球を投げた選手もいるという。試合が延長戦に突入し、チームがリリーフ投手を全員使い果たした場合、監督は野手（ポジションプレーヤー）をマウンドに送ることがある。これらの選手は、通常、投球速度は遅いが、それでもストライクを取ることができる。

Python を使用していくつかのピッチをモデル化し、これがどれほど難しいかを確認してみましょう。

ファストピッチの軌道

ボールがピッチャーの手から離れると、ボールは2つの力、つまり下向きに引っ張る重力と、後ろ向きに押す空気抵抗によって支配される軌道を進みます。この2つの力の組み合わせによって、ホームベースに向かうボールの速度が変化します。

重力は、ボールの質量（約0.144キログラム）と重力場（g = 9.8ニュートン/キログラム）のみに依存する一定の力なので、扱いは比較的簡単です。抗力は、その大きさと方向がボールの速度に依存するため、扱いが難しくなります。問題は、正味の力がボールの速度を変化させるにもかかわらず、これらの力の1つ（抗力）がボールの速度に依存している点です。

この動きをモデル化するほぼ唯一の方法は、動きを小さな時間間隔に分割して数値計算を行うことです。各時間間隔では、力が一定であると仮定できます。力が一定であれば、野球ボールの速度と位置の変化を計算できます。次の時間間隔では、速度が変化したため、新たな力を計算し、このプロセス全体を繰り返します。

これは「物理学のカンニング」のように思えるかもしれませんが、この方法でしか扱えない問題は無数にあります。私のお気に入りの例としては、三体問題（宇宙における3つの星の相互作用などを規定する問題）、地球の気候モデル、水素以外の原子の量子力学モデルなどが挙げられます。

しかし、その前によくある質問を2つお答えしたいと思います。まず、空気抵抗を本当に考慮する必要があるのでしょうか？

時速90マイル（約145キロ）のような高速で飛ぶ野球ボールの場合、空気抵抗によって、抵抗のないボールと比べてボールは約10センチも落下することがあります。ストライクを狙う場合、これはかなりの落下距離になります。速度が遅い場合は空気抵抗の影響はそれほど大きくありませんが、面白みを持たせるために残しておきます。

2つ目：カーブボールはどうでしょうか？ ピッチャーはボールに特定の回転をかけることで、ボールを左、右、あるいは上下に曲げることができます。これには空気との相互作用が加わり、マグヌス力と呼ばれます。（サッカーボールでこれをモデル化する例はこちらです。）しかし、このモデルでは回転は考慮しません。なぜでしょうか？それは、私が普段は投球をしないプロ野球選手だと想定しているからです。回転のかけ方を完全にマスターすることはできないでしょう。

まずは、ピッチングマウンドからホームベースまで、時速90マイルの素晴らしい速球を投げるところから始めましょう。

この場合、ボールはストライクゾーンを通過します。ストライクゾーンはモデルに組み込んでいます。公式には、ストライクゾーンとはホームプレートの縁で囲まれた3次元空間で、打者の胴体の中心から「膝のくぼみ」まで垂直に伸びています。もちろん、このゾーンを視覚化し、ボールが通過したかどうかを判断するのは審判の役割です。

(ここでちょっとズルをしたことを認めなければなりません。実際のホームプレートの形状 (2 つの角が切り取られた正方形) の代わりに、正方形だけを使用しています。その方がモデル化がずっと簡単だからです。)

時速90マイルの投球は、水平方向の速度と垂直方向の速度がゼロの状態から始まります。ボールの運動中には、2つの力が作用していることを覚えておいてください。後方に押す空気抵抗は、速度とは逆方向に働くため、ボールを減速させるだけです。重力は下方向に引っ張るため、速度の垂直方向の成分を変化させます。つまり、ボールの垂直方向の速度は飛行中に負の方向に増加し、わずかに落下します。落下が大きすぎると、ストライクゾーンを外してしまいます。落下が大きすぎると、ホームベースに到達する前に地面に落ちてしまい、キャッチャーを怒らせる可能性があります。

この場合、ボールは本塁に向かって飛んでいく途中で確かに落下しますが、それでもストライクゾーンを通過するのに十分な高度を保ちます。打者がスイングしなければ、ストライクと判定されます。

スローピッチの軌道

では、ボールの初速度を時速30マイル（約48km/h）に変更してみましょう。水平方向にこれほど遅い投球では、空中のホームベースまで到達しません。しかし、それを補うために、ボールを上向きの角度で投げることができます。これにより、ボールは初期速度が垂直方向に上昇し、滞空時間が長くなり、ホームベースまで到達できるようになります。

もちろん、真上に投げたらこの方法は使えません。ボールは投げた場所に着地しますが、頭に当たらないことを祈ります。

時速わずか30マイル（約48km/h）から始まるスローピッチでは、どの角度が最も効果的でしょうか？これは実際には簡単な問題ではないので、今回も数値的に解く必要があります。時速90マイル（約145km/h）の場合、ボールは水平方向に飛んでいくところから始めました。今回はどの角度にすればいいのかわからないので、プログラムを何度も実行して、0度から60度までの範囲で、ストライクゾーンにボールを導くあらゆる軌道を解き明かします。

これで、様々なパスをアニメーショングラフとして表示できるようになりました。横から見たストライクゾーンの角を示すために、4つの赤い点を配置しました。

ボールがストライクゾーンを通過する角度を見ると、その低速でもストライクを取ることは可能ですが、34.5度から51度の角度で打ち出さなければなりません。

スローストライク vs. ファストストライク

なるほど、適切な角度のスローピッチならホームベースを越えて打てるかもしれませんが、ピッチャーが最も気にするのは、打者が打てるかどうかです。時速90マイルの野球ボールを打つのは明らかに非常に難しいですが、低速で非常に高い弧を描いて飛ぶボールはどうでしょうか？これもまた打つのが難しいのでしょうか？

難易度を測る一つの方法は、ボールがストライクゾーンに留まる時間を計算することです。当然のことながら、ボールがストライクゾーンに留まる時間が長ければ長いほど、プレーヤーがバットを振る機会が増えます。

比較のために、水平方向の球速 90 マイルと、51 度の高角度で打ち出された低速の 30 マイルの球速の 2 つの球を示します。

時速90マイルのボールがストライクゾーンを通過するのにかかる時間はわずか0.012秒ですが、時速30マイルの高めのボールは0.022秒もストライクゾーンを通過します。これはほぼ2倍の長さなので、打ちやすいでしょう。スローピッチに対しては、これがワンストライクです。

もう一つ考慮すべきタイミング要因があります。それは、ボールがピッチャーの手を離れてからホームベースに到達するまでの時間です。この時間は、打者が軌道を「目視」し、いつスイングすべきかを判断する機会となるため重要です。同じPythonモデルを使用して計算したところ、時速30マイル（51度の角度）のボールがホームベースに到達するまでに2.16秒かかりました。時速90マイルの水平方向の速球の場合、この時間は0.449秒です。

これは大きな違いです。速球が打席に届くまでの時間はほとんどありません。まるで、ボールがピッチャーの手から離れる前から打者はスイングを始めなければならないかのようです。野球選手は一体どうやってそれをやっているのでしょうか？おそらく、高く飛んだボールを捕球するときと似たような動きで、ボールの見かけの動きをゼロにしているのでしょう。いずれにせよ、これはスローピッチに対するセカンドストライクです。

しかし、もう一つ考慮すべき点があります。それは、驚きの要素です。選手たちは、最も頻繁に遭遇する球種、つまり速球に向けて練習します。新しい球種が登場すると、調整が必要になり、それは困難な場合があります。トロント・ブルージェイズのマーク・アイクホーンは、通常よりも遅い球速、つまり70マイル台で三振を取ることで成功を収めました。これは打者にとって困惑するものでした。

だから、もしかしたら、時速30マイルの球を投げる僕にはまだチャンスがあるかもしれない。もしかしたら…