超高層ビルに滝を設置するには何が必要でしょうか?

高さ350フィート（約100メートル）の人工滝が超高層ビルから流れ出ているなんて、滅多に見られません。見た目はかっこいいのですが、高価に見えます。湧き出る水は無料ではありません。_水を得るだけでなく、それをビルの屋上まで運ぶためのエネルギーも必要です。そのため、このビルではこの滝は短時間しか流れていません。

この現実世界の例は物理学的な特性を持っているため、物理学の宿題に最適です。この滝を動かすのに必要な電力（とコスト）を推定してみましょう。

そもそも、この人工滝はなぜエネルギーを必要とするのでしょうか？仕事-エネルギー原理によれば、システムに対して行われた仕事はそのシステムのエネルギー変化に等しいとされています。

水と地球からなる系を例に挙げると、この系には運動エネルギーと重力による位置エネルギーという2種類のエネルギーが存在します。運動エネルギーは物体の速度が増加すると増加し、重力による位置エネルギーは高度が増加すると増加します。

この巨大な滝では、水は一定の速度で上昇し、運動エネルギーは変化しないと仮定できます。つまり、すべての仕事は水の重力による位置エネルギーの増加にのみ費やされることになります。

さて、少し立ち止まって考えてみましょう。ここで注目すべき重要な点が2つあります。まず、システムを選択し、仕事とエネルギーの方程式を用いたことに注目してください。単に初期エネルギーと最終エネルギーが等しいといった類のものは使っていません。実際、ここではそうではありません。仕事がゼロの場合でも、仕事とエネルギーの方程式から始めるのが賢明です。次に、位置エネルギーは重要ではないことに注意する必要があります。重要なのは位置エネルギーの変化だけです。つまり、y = 0メートルという魔法の場所は存在しないということです。y = 0メートルはどこでもあり得ます。どこかの場所を選ぶだけでいいのです。

しかし、私たちが本当に気にしているのは、ある量の水を動かすのに必要な仕事ではありません。そうではなく、この滝の頂上まで水を動かし続けるために必要な力です。力とは、仕事が行われる速度と定義されます。これを位置エネルギーの変化と組み合わせると、次の式が得られます。

誰も、特定の時間と特定の水の質量を扱いたくはありません。ですから、この2つの要素を単純に組み合わせてみましょう。質量を時間間隔で割ると質量率、つまり滝を流れる水の量（キログラム/秒）の尺度が得られます。これを流量の「f」と呼びます。しかし、これはパワーを計算する上で私が実際に知らない唯一の値です。滝の幅が16メートル（動画から測定しました）、深さが20cmで、流速が1メートル/秒だとすると、流量は3200キログラム/秒（密度1000キログラム/立方メートルを使用）になります^。これを高さ108メートルに適用すると、339万ワットのパワーが得られます。

それはいいのですが、それは間違いです。このサイトによると、滝の電力要件は185kWです。この電力を使って流量を計算すると、174kg/sになります。滝の幅は16メートルで問題ないと思うので、これを使って深さと水流速の新しい値を求めます。深さを10cmにしましょう。そうすれば水流速は0.1m/sになります。これで良さそうです。

実際、この水の速度はさらに低くなります。これは電力エネルギーの使用効率が100%であると仮定した場合です。水深がわずか5cmであれば、速度はさらに低くなるかもしれません。

宿題

追加の宿題の問題はいかがですか？どうぞ。

• これを 1 日稼働させるのにかかるコストを見積もります (1 キロワット時あたりの電気料金をドルで選択します)。
• もし水が空気抵抗なしに落ちたら、地面に着くときにどれくらいの速さで移動するでしょうか？
• この滝を人力で動かしたいとします。一人当たり50ワットの出力を維持できる場合、水を汲み上げるのに何人の人が必要ですか？
• この装置を太陽光発電で稼働させ、日照時間のみ稼働させたいとします。どれくらいの大きさのソーラーパネルが必要でしょうか？ 1平方メートルあたり500ワットの発電量があると仮定します。

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