数学における大きな成果は対称性の限界を示す

ロバート・ジマーにとって、成功の定義は今日では異なる。2006年からシカゴ大学学長を務める彼は、9桁の寄付金の獲得や、大学の言論の自由を擁護する論説記事の執筆で話題をさらってきた。しかし、ジマーが学長になる前は、数学者だった。そして、本格的な研究を離れてから長い時間が経った今、彼が着手した研究計画がついに実を結びつつある。

1年前、3人の数学者が、幾何学的空間が特定の種類の対称性を示す状況に関する、いわゆる「ジンマー予想」を解明しました。彼らの証明は近年における数学における最大の成果の一つとして知られています。この証明は、1970年代後半から1980年代初頭にかけての活発な知的活動の中でジンマーが抱いていた疑問に決着をつけたものです。

「この5年間、毎晩このことばかり考えていて、かなり夢中になってたので、人々がこの課題を解決するのを見るのは本当に素晴らしいことだと思う」とジマーさんは語った。

一般的な規則として、幾何学的空間の次元数が増えるほど、より多くの対称性を持つことができます。これは、2次元平面上に存在する円と、3次元に広がる球体で確認できます。球体を回転させる方法は、円を回転させる方法よりも多くあります。球体の余分な次元は、新たな対称性を生み出します。

ジンマー予想は、高階格子と呼ばれる特殊な対称性に関するものです。この予想は、幾何学的空間の次元が、これらの種類の対称性が適用されるかどうかを制限するかどうかを問います。今回の研究の著者であるシカゴ大学のアーロン・ブラウンとセバスチャン・ウルタド＝サラザール、そしてインディアナ大学のデイビッド・フィッシャーは、ある次元以下ではこれらの特殊な対称性は見られないということを示し、ジンマー予想が正しいことを証明しました。

彼らの研究は、長年の重要な疑問の一つに決着をつけ、他の多くの疑問を解明する道を開く。また、幾何学的空間に深く内在する本質を明らかにする。対称性は、そのような空間を理解する上で最も基本的な性質の一つである。この新たな研究は、これらの対称性はある種の空間には存在し得るが、別の種類の空間には存在しない、ということを的確に示している。この成果は、この予想の進展が数十年にわたって停滞していた後に達成された。

「これは、人々をかなり長い間夢中にさせるような予想のように見えました」と、今年初めにこの新しい証明に関する会議を主催したシカゴ大学の数学者エイミー・ウィルキンソンは述べた。「そして、彼らは比較的単純な方法で、その疑問を打ち破ったのです。」

満足のいく対称性

対称性は、子どもたちが数学で最初に出会う幾何学の概念の一つです。実際に操作することで、形を回転させたり、反転させたり、スライドさせたりすることで、最終的に元の形に戻ることができることを子どもたちは学びます。このように物体が変化しても保たれるという現象は、心に響くものがあります。それは、宇宙の深い秩序感覚を暗示しているのです。

数学者は対称性を研究するための独自の形式言語を持っています。この言語は、与えられた幾何学的空間に適用される様々な対称性について簡潔に考える方法を提供します。

例えば、正方形には8つの対称性があります。つまり、正方形に戻すために8通りの反転または回転が可能です。対照的に、円は任意の角度で回転できるため、無限の対称性があります。数学者は、与えられた幾何学的物体、つまり空間におけるすべての対称性を取り上げ、「群」としてまとめます。

群はそれ自体が興味深い対象です。群は特定の幾何学的空間の研究を通して現れることが多いですが、全く幾何学的ではない文脈にも現れます。例えば、数の集合は群を形成することがあります。（考えてみてください。ある数に+5または-5を加算できることには、ある種の対称性があります。）

「グループは原理的にはあらゆる種類のものの対称性として発生する可能性がある」とジマー氏は語った。

小学校で習う対称性よりも、もっと変わった形の対称性があります。例えば、格子の対称性を考えてみましょう。最も単純な格子は、単なる2次元の格子です。平面上で、格子を上下左右に任意の数の正方形だけずらすと、元の格子と全く同じ格子が得られます。また、格子を格子内の任意の正方形に鏡映させることもできます。格子が配置された空間には、無限の数の異なる格子対称性が存在します。

格子は任意の次元空間に存在し得ます。3次元空間では、格子は正方形ではなく立方体で構成されるかもしれません。4次元以上では格子を視覚的に描くことはもはや不可能ですが、同じように機能します。数学者はそれを正確に記述することができます。ジマー予想で興味深いのは、特別な「高階」格子、つまり特定の高次元空間に存在する格子を含む群です。「この奇妙な格子は、もし皆さんが見ることができれば、とても美しいでしょう。私には見えませんが」とウルタド＝サラザールは言いました。「きっと、とても素敵な光景になると思います。」

20世紀を通して、数学者たちは幾何学だけでなく、数論、論理学、コンピュータサイエンスなど、様々な分野でこれらの群を発見しました。新しい群が発見されると、当然ながら次のような疑問が湧きます。これらの特定の対称性の集合はどのような空間に見られるのでしょうか？

群が空間に適用できないことは、時に明白です。円の対称群が正方形に適用できないことは、すぐに分かります。例えば、正方形を10度回転させても、元の正方形には戻りません。しかし、無限の対称性を持つ群と多次元空間を組み合わせると、群が適用できるかどうかを判断することが難しくなります。

「グループが高次元でより複雑になるにつれ、こうした疑問はより複雑になります」とジマー氏は述べた。

緩い接続

対称性というと、正方形を時計回りに90度回転させたような、図形全体を回転させた状態を思い浮かべます。しかし、より詳細なレベルでは、対称性とは実際には点の移動です。対称性によって空間を変換するということは、空間内の各点を別の点に移動させることを意味します。この観点から見ると、正方形を時計回りに90度回転させるということは、正方形上の各点を時計回りに90度回転させ、元の辺とは異なる辺に配置されることを意味します。

点の移動は、多かれ少なかれ厳密な方法で行うことができます。最もよく知られている対称変換、つまり正方形を対角線で反転させたり、正方形を90度回転させたりする変換は、非常に厳密です。厳密なのは、点を実際には混ぜ合わせないという意味です。反転前に頂点だった点は、反転後も頂点のままです（単に頂点が異なるだけです）。また、反転前に直線の辺を形成していた点は、反転後も直線の辺を形成します（単に直線の辺が異なるだけです）。

しかし、より緩く柔軟な対称変換も存在し、ジンマー予想において興味深いのはこれらです。これらの変換では、点はより徹底的に再編成されます。つまり、変換を適用した後も、点同士の関係は必ずしも以前の状態を維持するとは限りません。例えば、正方形上の各点を正方形の周囲3単位分移動させることができます。これは、空間内のすべての点を空間内の新しい位置に移動するという、対称変換の基本要件を満たしています。新たな証明の共著者であるアーロン・ブラウンは、球体におけるこれらの緩い変換がどのように見えるかを説明しました。

「北極と南極を反対方向にねじれば、距離と点が引き離されるでしょう」とブラウン氏は述べた。

グリッドについて話すとき、平面上でグリッドを単にシフトさせるだけでなく、グリッドをねじったり、ある場所では引き伸ばしたり、別の場所では縮めたりすることで、変換されたグリッドが元のグリッドに完全に重ならないようにすることができます。このような変換はそれほど厳密ではありません。これらは微分同相写像と呼ばれます。

ジンマーが予想においてこの緩い対称性を採用したのには、十分な理由があった。彼の予想に含まれる特別な高階格子は、1960年代にグリゴリー・マーグリスによって初めて研究され、彼はその研究でフィールズ賞を受賞した。マーグリスは、剛体変換のみを許容する場合、これらの高階格子によってどのような種類の空間が変換できるかを完璧に記述した。

ジマー予想は、マーギュリスの研究の自然な発展形であった。それは、高階格子が作用できる空間のリスト（マーギュリスが発見したリスト）から始まり、格子がより柔軟に作用することを許容した場合に、このリストが拡張されるかどうかを問うものである。

3人の数学者は新たな研究で、高階の格子対称性が適用される場合、対称性の定義を緩和しても実際には変化がないことを証明した。格子が空間を非常に不規則な方法で変形させる場合（剪断、曲げ、伸張など）であっても、格子が作用できる範囲は依然として厳密に制限されている。

「問題に非常に多くの柔軟性が加わったため、当然のことながら、これらの格子は作用できるという素朴な直感がすぐに浮かびます。ですから、答えが「いいえ」、つまり場合によっては作用しないというのは驚くべきことです」とフィッシャー氏は述べた。

「これは、空間がどのように構成されているかという非常に根本的な要素が、そこでこうした行動が可能かどうかを反映することを示しています」とウィルキンソン氏は語った。

ジマー予想は、より大きな計画の第一歩に過ぎません。この予想に答えることで、新研究の共著者たちは、高階格子が作用できる空間に大まかな制限を課しました。次の、そしてさらに野心的な研究段階は、高階格子が実際に現れる空間に焦点を絞り、それらの格子が空間をどのように変換するかを全て分類することです。

「このプログラムは最終的に、これらすべての方法を分類できるようになるはずです。格子が作用できない特定の場所が存在するということを示すだけでなく、他にも多くの興味深い疑問が残されています」とジマー氏は述べた。

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。

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