数学的に見た、ネズミが猫から逃げる最良の方法

みんなパズルが大好きですよね？YouTuber Numberphileさんが作ったこの数学パズルは、シンプルな問いを投げかけます。「ネズミはどうやって猫から逃げられるのか？」。でもちょっと待ってください！ネズミが地面を走っているだけではありません。ネズミは円形のプールで泳いでいて、猫はプールの外側にいます。猫は地面をネズミの4倍の速さで移動できます。では、ネズミはどうやって逃げるのでしょうか？

このパズルは紙と鉛筆だけでも解けるかもしれませんが、数値モデルを構築する方がはるかに楽しいです。数値モデルでは、小さなステップで問題を解きます。今回の場合は、小さな時間ステップ（例えば0.01秒）です。この短い時間間隔で、猫とネズミの動きについて近似値を求めることができ、非常に簡単に解くことができます。もちろん、ネズミがたった0.01秒で逃げるかどうかは分かりません。つまり、これらの単純な計算を何度も繰り返す必要があるということです。この場合は、モデルを1秒間だけ実行したい場合、100ステップをカバーします。

空気抵抗を受けて落下するボールのような多くの問題では、こうした小さなステップの一つ一つに実際の物理学の概念を適用できます。しかし、この猫とネズミの場合は、いくつかの「ルール」を作らなければなりません。まずは、両方の動物の以下の行動から始めましょう。

猫は一定の速度で円に沿って移動し、ネズミに最も近い地点まで移動します。
ネズミは一定の速度で移動し、常に猫から離れる方向へ移動します。

ルールは以上ですが、さらに細かく分解する必要があります。モデルはPythonで構築します。正確にはVPythonです。これはPythonにビジュアルモジュールを追加したもので、3Dアニメーションで何が起こっているかを簡単に視覚化できます。

このプログラムを以下に共有します。実行（再生ボタンを押して）してコード（鉛筆アイコン）を確認してください。その後、重要な詳細をいくつか説明します。

まずは猫の詳細から見ていきましょう。一つ難しい点があります。猫は時計回りに動くべきでしょうか、それとも反時計回りに動くべきでしょうか？猫の方向を判断するにはもっと良い方法があるかもしれませんが、私は外積を使いました。外積はベクトル演算で、別のベクトルを返します。この結果ベクトルは、最初のベクトルの両方に垂直です。猫のベクトル位置とマウスの位置の外積を取ると、Z方向（プールはXY平面にあります）の結果が得られます。マウスが猫の左側にいる場合、この外積はZ軸の正方向になります。そうでない場合は、Z軸の負方向になります。これを使って、猫の角速度の符号を設定し、猫を動かすことができます。

マウスはどうでしょうか？ここでもベクトルを使います。猫からマウスへのベクトルを求め、それを使って単位ベクトルを求めます。単位ベクトルとは、大きさが1で単位を持たないベクトルです（奇妙に思えるかもしれませんが）。この単位ベクトルにマウスの速度を掛け合わせると、ベクトル速度が得られます。